内蒙古自治区呼和浩特市东红胜中学高三数学理模拟试卷含解析

内蒙古自治区呼和浩特市东红胜中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则的值等于A．

B．

C． D．参考答案：D2.成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，如“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．”意思是：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）（其中1匹=4丈，1丈=10尺，1尺=10寸）A．5寸另寸 B．5寸另寸 C．5寸另寸 D．5寸另寸参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】设该妇子织布每天增加d尺，由等差数列前n项和公式能求出d，再把尺换算成寸即可．【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知，解得d=尺．尺=寸=5寸另寸．故选：A．3.设用二分法求方程在区间（1，2）上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间（

）A.（1,1.25）

B.(1.25，1.5)

C.(1.5,1.75)

D.(1.75,2)参考答案：B4.集合A={x，B=，则=(

)A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{-1，0，1}参考答案：B5.为了解某协会400名会员的年龄情况，从中随机抽查了100名会员，得出频率分布表（左图），据此可知，下列结论中不正确的是（

）A．频率分布表中的①、②位置应填入的数据为20和0.350；B．可以得出频率分布直方图（右图）；C．可以估计该协会年龄分组属于的会员共有140人；D．可以估计该协会所有会员的平均年龄为32.5岁参考答案：F6.在中，，，，的面积为，则A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象是A．关于直线对称

B．关于点对称C．关于直线对称

D．关于点对称参考答案：

依题意得，故，所以，，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称.故选8.设{an}是等比数列，则“a1＞a2＞a3”是“数列{an}是递减数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C略9.已知函数的定义域为R，，对任意都有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由所以所以.10.已知集合，，则集合（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果点P在平面区域内，点Q在曲线上，那么的最小值为_________________.参考答案：12.若x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（2，0）．化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故答案为：4．13.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是___________________参考答案：或，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以，即的取值范围是。14.若等比数列的各项均为正数,且,则

.参考答案：50

15.设是等差数列的前项和，若，，则数列的通项为

参考答案：2n+1略16.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则

。参考答案：-217.已知数列{an}的通项公式an=11﹣2n，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，则T10的值为．参考答案：50【考点】数列的求和．【分析】设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=10n﹣n2．令an=11﹣2n≥0，解得n≤=5+．则T10=|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+…+a5﹣a6﹣…﹣a10=2S5﹣S10．【解答】解：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn==10n﹣n2．令an=11﹣2n≥0，解得n≤=5+．设T10=|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+…+a5﹣a6﹣…﹣a10=2S5﹣S10=2×（10×5﹣52）﹣（10×10﹣102）=50，故答案为：50．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数的图像过点，且在该点的切线方程为.（Ⅰ）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数恰好有一个零点，求实数的取值范围.参考答案：（本小题满分14分）解：（1）由…1分

所以…………3分在上恒成立即

……………………5分（2）

和恰好有一个交点①当时在区间单调递减，在上单调递增，极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴上方，并且无限接近于轴）所以或………8分②当时：(ⅰ)当，即时，在区间单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）当即时，或当时，即时，或……11分(ⅱ)当时，即

时在区间单调递增，在上单调递减，极小值为，极大值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）或………13分（ⅲ）时，即时，在R上单调增（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）此时

………14分19.已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a为常数）．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点分别为x1，x2．不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据f（x1）+f（x2）=a（lna﹣a﹣1），得到=lna﹣a﹣1，a∈（4，+∞），令φ（a）=lna﹣a﹣1，根据函数的单调性求出λ的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=+x﹣a=（x＞0），①当a＜0时，解f′（x）=0得，x=，f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；

②当0≤a≤4时，x2﹣ax+a=0的△=a2﹣4a≤0，所以f′（x）≥0，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；

③当a＞4时，△=a2﹣4a＞0，解f′（x）=0得，x1，2=，f（x）的单调增区间为（0，），（，+∞），单调减区间为（，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）有两个极值点时，设为x1，x2，则a＞4，x1+x2=a，x1x2=a故f（x1）+f（x2）=alnx1+﹣ax1+alnx2+﹣ax2=aln（x1x2）+（+）﹣a（x1+x2）=aln（x1x2）+（x1+x2）2﹣x1x2﹣a（x1+x2）=a（lna﹣a﹣1）于是=lna﹣a﹣1，a∈（4，+∞）．令φ（a）=lna﹣a﹣1，则φ′（a）=﹣．因为a＞4，所以φ′（a）＜0．于是φ（a）=lna﹣a﹣1在（4，+∞）上单调递减，因此=φ（a）＜φ（4）=ln4﹣3．且可无限接近ln4﹣3．又因为x1+x2＞0，故不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）等价于＜λ，所以λ的最小值为ln4﹣3．20.（本小题满分12分）设集合的定义域为R(1)若命题,命题,且“且”为假,“或”为真,试求实数m的取值范围.(2)若是A到B的函数,使得,若,试求实数a的取值范围;参考答案：(1)A=……2分;B=

……4分当P真Q假时,;当P假Q真时,,所以…

…7分(2)A=;B=;,

……12分21.在正四棱柱，已知底面的边长为2，的长度是4，点是的中点，求异面直线和所成角的大小。参考答案：解：

为异面直线和所成角或其补角。

…2分又,,

…4分

…7分

异面直线和所成角为。

…8分

略22.（本小题满分12分）新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：①；

②试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.参考答案：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立………3分（Ⅱ）①对于函数模型：当时，是增函数，则显然恒成立

……4分而若使函数在上恒成立，整理即恒成立，而，∴不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．