山东省青岛市第四十九中学高三数学理模拟试卷含解析

山东省青岛市第四十九中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b为不同直线，、、为不同的平面.在下列命题中，正确的是（

）A.若直线平面，直线平面，则B.若平面内有无穷多条直线都与平面平行，则C.若直线，直线，且，，则D.若平面平面，平面平面，则参考答案：D【分析】根据空间中平行关系的判定和性质依次判断各个选项即可得到结果.【详解】且，和平行或相交，错误；平面内的无数条相互平行的直线均平行于平面，和可能相交，错误；若，此时直线，直线，且，，和可能相交，错误；由平面平行的性质可知，平行于同一平面的两平面互相平行，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中的平行关系，涉及到线线关系、线面关系、面面关系.2.设实数满足

，则的最小值是

参考答案：A3.复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在A.第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限

参考答案：D4.已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A． B．6 C．11 D．10参考答案：C考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，令z=x+2y，化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，令z=x+2y，化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，联立x﹣y+1=0与2x﹣y﹣2=0解得，x=3，y=4；则x+2y的最大值为3+2×4=11，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．6.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．7.若a满足，b满足，函数

则关于的方程的解的个数是A.4

B.3

C.2

D1参考答案：B【知识点】根的存在性定理，根的个数的判断B9解析：因为a满足，b满足，所以a，b分别是函数与函数，的交点的横坐标，因为函数，互为反函数，图像关于对称，而与交点的横坐标为2，所以，即函数，当时，，当时，，所以有三个解，故选择B.【思路点拨】根据已知构造函数可得：a，b分别是函数与函数，的交点的横坐标，再根据反函数的图像特征，可得，然后利用分段函数求解即可.8.下列说法中正确的是（

）A．“”是“”必要条件B．命题“，”的否定是“，”C．，使函数是奇函数D．设，是简单命题，若是真命题，则也是真命题参考答案：BA．“”应该是“”充分条件.故A错.9.设是双曲线的两个焦点,是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为(

)．

A.

B.

C.

D.参考答案：D10.设函数，且其图象关于直线对称，则A．的最小正周期为，且在上为增函数B．的最小正周期为，且在上为增函数C．的最小正周期为，且在上为减函数D．的最小正周期为，且在上为减函数参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，其中．若对一切恒成立，则以下结论正确的是___________（写出所有正确结论的编号）．①；

②；

③既不是奇函数也不是偶函数；④的单调递增区间是；⑤

经过点的所有直线均与函数的图象相交．参考答案：①

③

⑤为参数。因为，所以是三角函数的对称轴，且周期为，所以，所，所以.①,所以正确。②，，因为，所以，所以，所以②错误。③函数既不是奇函数也不是偶函数，所以③正确。因为，所以单调性需要分类讨论，所以④不正确。假设使经过点（a，b）的直线与函数的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且，即，所以矛盾，故不存在经过点（a，b）的直线于函数的图象不相交故⑤正确。所以正确的是①

③

⑤。12.函数的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是_________.参考答案：【分析】先分析得当时，；当时，，记，利用导数分析得单调性，结合函数的特殊值，且函数图像经过四个象限，分类讨论求解的取值范围即可.【详解】解：当时，；当时，；且记，则①当时，恒成立，且只有，所以在R上单调递增又，所以当时，，；当时，，所以图像经过第一、二两个象限，不符合题意②当时，令，得当和时，，单调递增；当时，，单调递减因为函数的图像经过四个象限所以,解得③当时，令，得当和时，，单调递增；当时，，单调递减因为函数的图像经过四个象限所以,解得综上所述：或故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的图像，综合性较强，属于难题.13.若实数满足不等式组，则的最大值为

．参考答案：略14.在等腰△ABC中，，，则△ABC面积的最大值为__________．参考答案：4【分析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可．【详解】以为轴，以的垂直平分线为轴，设，，，，，，，，，当且仅当时，即，，面积的最大值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题．15.在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若=m+n，则m+n=

．参考答案：1【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出．【解答】解：=+=+=+（﹣）=+，∵=m+n，∴m=，n=，∴m+n=1，故答案为：116.在的展开式中，的系数是_____________.参考答案：17.已知复数z满足=i（其中i是虚数单位），则

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知．（I）若，求函数的最小值；（II）若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围，并证明．参考答案：（1）；（2）19.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，.（1）若，求cosA的值；（2）设，且，求△ABC的面积.参考答案：解(1),，由正弦定理得,,又，即，由余弦定理得;(2)由(1)知,且,，解得，.

20.已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf'（x），其中f'（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．参考答案：解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，ex＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．略21.(本小题满分12分)

以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.（1）求椭圆及其“准圆”的方程；（2）若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，试证明：当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.参考答案：详见解析【知识点】椭圆解：（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，

则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．

（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，

联列方程组

代入消元得：

由

可得

由得即，所以

此时成立，

则原点到弦的距离，

得原点到弦的距离为，则，

故弦的长为定值．22.（12分）坛子中有6个阄，其中3个标记为“中奖”，另外三个标记是“谢谢参与”，甲、乙、丙三人份两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序依次抽取，当有人摸到“中奖”阄时，摸奖随即结束．（1）若按有放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？（2）若按不放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？（3）按不放回抽取，第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金10000元，第二轮摸奖时才中奖可获得奖金6000元，求甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望．参考答案：考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题： 概率与统计．分析： （1）按有放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．（2）按不放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．（3）依题设知ξ的所有可能取值为6000，10000，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望．解答： 解：（1）按有放回抽取，甲中奖概率是：p1=+（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，乙中奖的概率是：p2=（1﹣）×+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，丙中奖的概率是：p3=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=．（2）按不放回抽取，甲中奖