湖南省娄底市茶溪中学高一数学理月考试题含解析

湖南省娄底市茶溪中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A.

B.

C.

D.

参考答案：B略2.（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）=（） A． ﹣ B． C． ﹣2 D． 2参考答案：B考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据幂函数y=f（x）的图象过点（，），求出函数的解析式，计算f（2）即可．解答： 设幂函数y=f（x）=xa，其图象过点（，），∴=，解得a=，∴f（x）==；∴f（2）=．故选：B．点评： 本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的问题，是基础题目．3.已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AD⊥BC，D为垂足，以AD为折痕，将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥面BCD；④△ABC是等边三角形；其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据在折叠后，AD与BD、CD的垂直性不变来判断AD与平面BCD的垂直，判断③是否正确；利用题设条件△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，来判断BD与CD的垂直关系，从而判断①的正确性；利用三垂线定理，判断BD与AC的垂直关系，判断②是否正确；再根据得到的垂直关系，计算△ABC的各边长，来判断△的形状，从而判断④是否正确【解答】解：∵将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴∠SDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，∴BD⊥CD，①正确；∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴AD⊥平面BCD，CD是AC在平面BCD内的射影，由三垂线定理得BD⊥AC，∴②③正确；∵D是中点，∴AD=BD=CD，设AD=1，由①得AC=AB=BC=，故④正确．故选D4.下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．与

B．与C．与

D．与参考答案：A5.定义在区间（）的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x)。当时，f(x)=x,则

f(7.5)等于(

)（A）0.5

（B）-1.5

（C）-0.5

（D）1.5参考答案：C6.已知正六边形的边长为1，则的最大值是（）A.1 B. C. D.2参考答案：B【分析】依题意得，分别计算出当时的值，比较即可得出答案.【详解】解：如图，当时，的值相应是，故最大值为.【点睛】本题考查正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识.7.如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运(

)A．3年

B．4年

C．5年

D．6年参考答案：C略8.等比数列{an}的公比q＞1，，，则a3+a4+a5+a6+a7+a8等于（）A．64B．31C．32D．63参考答案：D略9.当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是（）A．

B． C． D．参考答案：C【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=logax，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．10.下列函数中既是奇函数又是上的增函数的是.

.

.

.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．参考答案：【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意利用勾股定理可得[+22]++22]=+42，由此求得T的值，可得结论．【解答】解：A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，由题意可得∠AOB=，∴由勾股定理可得[+22]++22]=+42，求得T=，故答案为：．12.

；

参考答案：，13.已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为___________。参考答案：略14.已知为等差数列，且，，则=

.参考答案：略15.已知集合A=，B=,若BA，则m=

；参考答案：略16.一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为__________.

参考答案：17.已知，则

_____

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知三棱锥P-ABC中，，.若平面分别与棱相交于点且平面.求证:（1）；（2）.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用线面平行的性质定理可得线线平行，最后利用平行公理可以证明出；（2）利用线面垂直的判定定理可以证明线面垂直，利用线面垂直的性质可以证明线线垂直，利用平行线的性质，最后证明出.【详解】证明（1）因为平面，平面平面,平面，所以有,同理可证出,根据平行公理，可得；（2）因为，，,平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理，线面垂直的判定定理、以及平行公理的应用.19.（本小题满分12分）某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中

,x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总收益﹣总成本．（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？

参考答案：解：（1）依题设，总成本为20000+100x，则；（2）当0≤x≤400时，，则当x=300时，ymax=25000；当x＞400时，y=60000﹣100x是减函数，则y＜60000﹣100×400=20000，∴当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元．

20.已知，，求和的值参考答案：由

--------------（1）

两边平方，得

----------------------4分又

则

-----（2）

------