高等数学第二部分-指导与开拓

第二部分指导与开拓

第一篇函数的概念、极限与连续

I内容小结

一元函数极限与连续

关系:收敛唯一性2.1

Th2.1保号性2.2

单调有界性2.3

收敛

liman=a-N"定义2.3迫敛性2.4

数列的极限w->x

定理：定理2.1与定理2.2四则运算2.5

r-1

Xf4-00

r=定义2.4X->-co

Xr—T¥o8c•1

函数的极限

X—>Xg右极限

Ilim/(x)4="£一6”定义2.5

।X->XQ左极限

limf(x)=/=limf(x)=lim=A

XfX。X->XQ

Afoo

（定义2.6r定义2.8

f+性质2.5无穷大量jf+"8-00”型不定式

一〔运氨一

运算1X件」2.6->有界量与无穷小量]X乘积为无穷大

定

无穷小量《的乘积为无穷小量〔+“岩'型不定式

义〔+明"型不定式

求

极阶的比较（定义2.7）

限lim/（X）=/o/（x）=4+a（a为无穷小量）A=f（x0）

I连续

rf（x）在闻处连续o/（%）在与处既左连续又右连续

「在•点劭处连续定义2.9-2.C四则运算

I运算4复合运算初等函数在定义域内连续

I反函数的连续

V

连4在区间I上连续：VxG/,/（X）在X处连续=/（X）在/上连续

续最值性定理2.13

闭区间[a,b]上连续函数的性则有界性定理2.14

I介值性定理2.15二零点定理2.16（根的存在性）

侔义2」4

（间断，[I类间断点定义2.15

分类-

III类间断点定义2.16

76

二一元函数与二元函数极限与连续的关系

分类一元函数二元函数

内容'7y=f(x)Z=f(X,y)

设数集(二维)D非空，若有一规则f,

设数集D非空，VxeZ)，若有一规则/,

Vxj€有唯一的数z与之对应，

定义有唯一的数y与之对应，则称/为定义

在D上的函数记为产/x)则称/为定义在D上的函数，

记为产力'))

定义域X坐标轴上的区间X。＞平面内的区域

几何意义xoy平面内的一条曲线Oxyz平面内的一张曲面

lim/,(x)=/o"£—b"定义

XT%

极限limf(x,y)-Ao“£一b”定义

［路径：沿X轴pip。

以X—>x()'［方向：xTX。从左右两个方向

J路径:任意值线，曲线…)

讨.方向：任意方向pfp

P(x,y)TP(x0,yn)limf(x)=/o0

A—

为例

limf(x)=limf(x)=A

lim/(x,y)=/(Xo/o)

lim/(x)=/Go)pfpii

连续

结论:二元初等函数在定义域内都

结论：•元初等函数在定义域内都连续

连续

II解题方法

一.求极限(以一元函数为例研究)

求函数的极限，其难点在于求初等函数不定式的极限。本章涉及的不定式有：,七，0.OO,

00-00,r,0",8°型，其背后的初等函数都是多种多样，解题方法更是千变万化。可以说是一

个无限的范畴。但如果从基本初等函数的分类(五类)入手，就可以把无限转化成有限。因为初等

函数(无限)是由基本初等函数(五类)经过有限次四则运算与复合得到的。从而可以窥其端倪，

找出一般规律。

1、含有“事函数”的不定式求极限

(1)、多项式函数/(x)-an+atx+...+anx"

1)lim/(x)=lim(a0+qx+…+=lim<70+lim(X+…+limanx"

X-¥XQXTX0X->X0XfX0X->XQ

n

=%+atx0+...+anxo=/(x())

2)limf(x)-oo

Xfco，

a+ax+...+ax"

(2)有理函数/(x)=0{n

m

Q,„Mbi)+b］x+...+bmx

77

黑4=/(x。)Q“,(x”0

0〃(Xo)

....a+ax+...+axn

1)lim/(x)=lim-0---x!---------n--=<00(Xo)=O,匕(%o)。。

mQm

xf。-x。b。+b[X+...+bx

m件(因式分解)Z(x°)=O，e(Xo)=O

*=/。0)n=m

bm

!

2)lim/(x)=lim---------------=<0

n，n<m

…fO4+哪+...+bmX

00n>m

(3)含“无理函数”的极限(分子或分母有理化)

例1求lim"/+1--1)

A->00

22

解lim(7x+l-7x-l)=lim/-t-------=0

…18&+1+&2一1

...._1.J1+X—1

例2求hm-7=——-=

2。万工一百

J1+X—1(Vi+x-i)(Vi+x+i)(V3+x+V3)

解lim.=---产=lim

j3+x-V3(J3+x-V^)(J3+x+V3)(V1+x4-1)

=lim"/二/⑶=lim=V3

1。x(vl+x+1)1。Jl+x+1

2、含“三角函数,反三角函数”的不定式求极限

sin

此类问题一般考虑用重要极限I：lim网土x=1,

•2°X

n*介4八*「sin1[.tanx〔..l-cosxI..arcsinx1

及推J公式：lim----=I;lim-----=I；lim-----——=—；lim------=1.

口->0x-»0xxfO工~2-v->0%

”14.tanx-sinx

例3求hm-----；----

xfOx

sinx(1-1)

tanx-sinxAcosx..sinx(l-cosx)

解hm----------=hm-----笔江——=hm-------------

XXf°X10-COSX

sinx1-cosx11

=lim------------------=—

I。xxcosx2

3含“指数函数，对数函数，器指函数”的不定式求极限

此类问题•般考虑用重要极限II：lim(l+—)v=e;lim(l+x)(

X->8Xx->0

及推广公式：lim(l+)=e;lim(l+-)=e;lim+=1;lim-----=1;

口一>o口TOOx->oxXTOx

78

1

a-1

lim=Ino(Q>0,Qw1).

x->0x

I

例4求lim(cosVx)Y.

XTO+

分析此题是含有三角函数，但属于10°型基指函数求极限的问题，应考虑用重要极限Iio

£1]cos4x-1

解lim(cos4K=lim[l+(cos77-1)];=lim[l+(cosVx-l)]cos^-'

xW

C-24

-2sin——

_______2_

=lim[l+(cos6—x

x->0+

.\!x

sin—

cos守

=lim[l+(cosVx-1)]2

10+

.y/x

sin——

5可以提到指数上去。^4

注2)2]

4x2

2

ax+bx+cxL

例5求lim(—)x(a,b,c>0)

x->03

3/、+於+，、-3

rv

+cy+〃-3xxx

解a+b'=lim[1^a+b+c-33x

3XTO3

3Iax+bx+cx-\

+"+…一3

-lim[l3

x->03

i(lna+lnZ>+lnc)

e3

、、「1Q*+b-1,ax-l+6v-l+cx-l

汪lim-------------------------=-lim-----------------------------

-03x37x

=-=-(lna+ln6+lnc)

3—°xxx3

4利用等价无穷小求极限

利用等价无穷小求极限时.，一定要熟记一些结论。如当x-»0时，sinx~x,l-cosx--x2

2

e"-1~x,ln(l+x)~x,Jl+x—1〜1-万工等。

79

ln(l+4x)

例6求lim

x->0e~2x-1

解因为ln(l+4x)~4x,e—1~—lx

ln(l+4x)=lim^-=-2

所以四

-1-0-2x

利用等价无穷小求极限时，若分子，分母含有加、减运算，不能作个别代换，一定要分子，分

母整体代换；或把分子，分母化成乘积形式后，再作代换。

sinx-tanx

例7求lim

x->0x3

错误解法因为sinx~x,tanx-x(x->0)

sinx-tanx[.x-x

所以物=lim——=0

3

XXT。X3

sinx-tanxsinx(l一表)sinx(cosx-1)

正确解法lim=lim=lim

x->0X3A->0X3x->0x3C0SX

•(―打)_1

=lim-(sinx~x,cosx-1——x2)

3

XTOX'COSX22

注对用等价无穷小求极限，若不十分熟练，建议一般不要采用此方法。

5利用“洛必达法则（^Hospital）”求极限

洛必达法则（定理内容参看教材P87页）是求函数不定式极限的一种通用方法.它虽然只针对两种

2

艺型不定式情形给出了结论，但其它不定式0-8,00-00,r,0,°,00°型则可以通过适当

0GO

的恒等变形，化成9,2型，从而求出极限。

000

,、000000

如(J-00=—=或（）•00=—一,具体化成哪种情形，视问题而定，-•般把对数函

1

0100

oo0

数放到分子的位置。

0

1I0-8InI0

OOj-00?=e

1IJ___L0r

°°|O02OOjoo2

0/2,8°同理可行。

在具体运用“洛必达法则”求极限时，还应注意四点:

1洛必达法则只适用9,方型不定式求极限；

0GO

2洛必达法则求导运算，是分子，分母分别求导，

limZW=lim£W=limrM=...=limk,

g(x)g'(x)g”(x)g⑺(x)

/"(x)g(x)二g，(x)/(x)

不要与商的导数分式］混为•谈;

g(x)一g2(X)

3每一次运用洛必达法则之前，都需先化简;

80

4在运用洛必达法则的过程中，可以用“提取极限”的方法，使问题简单化。

例8求1叫（十一七）

解！吧（土一士）（叫-82）

xTTnx

=limInx-(x-l)

XTl

1-1

X（化简）

日

lnx+X

x-l

=limInx+x-1)

XTlx

=lim------------=—

“riInx+1+12

生「sinx-xcosx0

例9求hm----------------(z-

J。sinx0

sinx-xcosx、

解lim(/一0)

XTOsin3x0

xsinx

=lim（提取lim」一=1）

x->03sin2xcosxI。COSX

xsinx（）

=lim2

x->03sin2xo

..sinx+xcosx

=lim----------------(提取lim」一=1)

XT。6sinxcosx10COSX

「sinx+xcosx,0、

=lim----------------(一)

XT。6sinx0

..2cosx-xsinx1

=lim------------------=—

XT。6cosx3

虽然洛必达法则是求极限的一种通法，但有时会失效。

00、

例10求lim--------(―)

xx

XT+8e+e~00

00

解(—)

lim—*XX

Z+8C_|_e-00

..e+e00、

=hm---------(—)

xf+oo000

=lim—出现循环现象，洛必达法则失效!

XX

XT+ooe+e-

改用传统方法

..e2x_]l-e-2x

lim=lim—lim1

XT+00XT+<».XT+coe-2x+1

洛必达法则在解决特殊问题时:未必简单。

81

3020

(2X-1)(5X+2)00

例11求(―)

X照(3X+1)2°(7X+3)3000

分析本题若用洛必达法则，将会使问题变得非常复杂，因为每一次运用洛必达法则，都会使

分母的项数成几何倍数增加，所以运用法则不会得出结果。

改用传统方法

解破.-1)；*+2)：=］而(2-?：(5+?：

(分子，分母同除以/°)

2020

…抬(3x+1)(lx+3)3°(3+1)(7+?)3°

230.520

二地了。T。

6二元函数的极限

二元函数的极限，limf(x,y)^A,因为p(x,y)->小。。)。)时，方向任意，路线任意的特

PTPo

点，而使二元函数求极限已变得不可能。除非极特殊的二元函数，如limSin(j+?)令/+/=〃

斌x+y=—^

tin

lim--=1。此类问题已无太大意义。但同样利用p->Po的特点，可以说明二元函数的极限不

"T°U

存在。

2a2/+/=0

例12证明/(x,y)=，x2+V当Mx,y)-p0(0,0)时的极限不存在。

0x?+//o

分析p(x,y)-»%(0,0)是p(x,y)沿着任意路线由任意方向趋近于Po(O,O)时，/(xj)的

极限都存在并且相等。但如果选择p(x))->Po(O,O)两条不同的路线，/(xj)的极限不相等，从

而可以说明/(x,y)当p(x,y)-»po(O,O)时极限不存在。

证明①沿》轴0=0),p(x,y)->/?o(O,O)

x-0

limf(x,y)=limy-0lim-----=0

22

x->0x->0x+yXTOJT+0'

v->0y->0

②沿直线y=2x,p(x,y)->p0(0,0)

x-lx2

limf(x,y)=lim孙y=2xlim-------

27?

xfO.10x+yio+(2x)-5

y->0j->0

因此,p(x,y)->Po(O,O)时/(x,y)无极限。

二连续函数

函数在一点的连续是极限的特殊情况，即lim/(x)=/(x0)。此定义包含三层意思:

280

82

1/(x)在/处有定义；2存在；3lim/(x)=/(x。)。三条全部满足，/(x)在

x->x0x-»x0

/处连续。若三条至少有•条不满足，则/(X)在X。处间断。

间断点的分类也是由极限来区分的：1若lim/(x)与lim/(x)都存在，则X。是/(x)的I类

XT汇X->XQ

间断点(若limf(x)—lim/(x)，/是fix')的可去间断点)。2若lim/(x)与lim/(x)至少

XTXQXT环X->XQXTX：

有一个不存在，则/是/(x)的II类间断点。

连续函数的问题，大致有三类：

1利用函数的连续性求极限

因为初等函数在定义域内都连续,所以求初等函数在定义域内的极限，就等于求函数值，例题略。

2求函数y=.f(x)的间断点，并判断其类型。(或求函数的连续区间)

此类问题又分两种情况：•种是y=/(x)为初等函数，间断点一般在函数/(x)无定义的点考

虑；另一种是歹=/'(x)为分段函数，间断点在/(X)的分界点考虑(注：分界点不一定是间断点！)。

例13求f(x)=3的间断点，并指出其类型。

sinx

解因为x=0,x=k7r(左=±1,±2…)使/(x)无定义。

X

①当x=0时，lim——=1,x=0为/(X)的I类(可去)间断点。

xfosinx

x

②当》=左乃(左=±1,±2…)时'lim——'=8,x=k兀(左=±1,±2…)为/'(x)的

x->sinx

n类间断点。

例14求=-7<x<l的间断点，并指出其类型。

(x-l)sin^-1cx

解x=-7,x=l为/(x)的分界点，

①limf(x)=lim-—=oo,

lim/(x)=limx=-7,x=—7为/(x)的II类间断点，

x->-7+x->-7+

②lim/(x)=limx=1

x^-rx^-v

limf(x)=lim(x-1)sin--=0,x=1为/(x)的I类间断点。

X--1+x->-l+

连续区间为(-00,-7)U(-7,1)U(l,+oo)。

83

3利用零点定理判断根的存在性

例15证明方程/+/+/=—1在（-1,1）内有唯一实根.

证明构造函数/(x)=/+/+》+1j(x)在(一口)内连续,

/(-I)=-2<0,/(1)=4>0,/(-1)./(I)<0

方程/+/+x=一1在（一1,1）内至少有一个实根.

又在（-1,1）内，/口）=5/+3/+1>0,/（幻在（//）内单增,

所以/+x3+x=—1在（一1』）内有唯一实根。

III学习开拓

一数列的无限项和求极限

例16求1加士(/+2?+...+〃2)

H—>00n

解1加±(『+22+...+W2)=lim4=lim=-

"TOOnW—>conNT86"3

例17求limJL啦•啦…亚

“Too

!!!L1/+1++-L

解limV2-V2-V2---^2=lim25-2*-2»•­-2F=lim25zV"F

n—>oon—>oon—>oo

扑g)"l

lim"-(；尸】

2

=lim22=2…=2

”->00

二利用两边夹法则求极限

例18求lim(1^=+/1+...+/1=)

…J/+iJ/+2J〃2+〃

解设Cn=;-H1+...H—

yin24-1yjn2+2J/+〃

n

。“<3+4+.-+上=

+1+1n2+77

n

于是I--)---------<cn〃

yjn~+n

84

1

而右rlim,n--=hVm—=lim.n==lim.—=1

〃一>8

〃2+〃"T8+1"T8J/+1"T8Jl+3

所以lim(­/H.r+,..4.r)=1

"T8J/+1J/+2J/+〃

三利用变上限函数求极限

「e”

例19求lim包-----

72x

ferdte-1

解lim—------=lim——=—

.\—o2X1。22

四利用定积分定义求极限

例20求lim

①式的和是函数/（》）=«在［0,1］上的特殊和，它是把［0,等分，媒取［幺二1,勺的右端

nn

lrIT「

点。（即4=—,f（短）=J—）构成的积分和。因为函数/（x）=&在［0,1］上可积，由定积分

nV〃

五利用级数敛散性求极限

2”・m

例21求lim-------

解构造级数£?二2"■・m巴，设乙=2乙"・巴m，由比值判别法

〃=i砂屋

n]

lim如=lim2向・(”+1)!/2"•〃!

(〃+1严/n"=lim2•(-----)"=2lim(l--------)〃2<1

〃〃—>8〃->877+18〃+1

工2"•"2”・印

级数£二■生收敛，由收敛的必要条件lim—^=O.

念nn…nn

六其它

85

例22设/(x)=x+[x]，求/(1+。)，/(l-o)o

解/(I+。)=lim/(x)=lim(x+[x])=2

/(l-o)=lim/(x)=lim(x+[x])=1

x->rx->r

IV错误辨析

86

I2Yl

1错lim(——H——+...4——)析因为数列极限的四则运算只适用有限项

isnnn

1v2..n

-lvim--~~Flim—■—+…+lim——本题为无限项求和，/而不能进入无限

/Z—>00W—>Q0M—

—0+0+…+0—0项求和运算

2错limxsin一析因为函数极限的四则运算要求每一个函

x->0x

数的极限都存在，本题limsin」不存

=limx-limsin—

x->0x-0%XTOX

=0-limsin一=0在，所以/而不能进入乘法运算。

XT。X

3错有界数列一定收敛析a”=(-1)”为有界数列,但析m(-l)"

M->00

在1与一1摆动，所以无极限。

sinx八

----xw0

4错分段函数的分界点一定是间断点。析/(x)=<x,x=0

1x=0

winY

为分界点，lim/(x)=lim业■=1

x—0x->0%

/(O)=1所以/(x)在x=0处连续。

5错单调的数列•定收敛.析4=单调，但]im/=oo发散.

“T8

皿1+(T)"5.

6错收敛的数列一定单调.析%=——一收敛f，

n

但｛%｝：0,30,；广・不单调.

11

7错lime*=oo析limex=oo,limex=0.

XTOXTO+XT(T

8错两发散数列之和一定发散.析4=〃2发散，2=]_〃2发散,但

an+/>,；=1收敛.

sinx八

----xw0

9错若/(X)在X。处间断，析/(x)=<X在x=0

0x=0

g(x)在x0处连续，处间断，8(》)=0在8=0处连续,

则/(x)g(x)在/处间断./(%应。)=0在》=0处连续.

87

88

第二篇导数、微分及应用

I主要知识内容

——元函数导数、微分及应用知识网络

「Ax,缈定义形式「（x0）=lim/一―一）二/四0）

AJOAX

r定义

一左右导数及导数存在的充要条件

几何意义

导数与连续的关系

r定义求导（左、右导数）

四则运算:基本公式

导数

求导方法反函数求导

/复合函数求导

对数求导法

隐函数求导

＜参数方程求导

r定义

V高阶导数

兀I求高阶导数方法

函

数《

工定义(4y=/(Xo+Ax)—/(Xo)=〃At+o(Ar)(Ax->0))

微）

\导数与微分关系dy=f'(x0)dx

分

学

r罗尔定理

＜中值定理J拉格朗日定理（两个重要推论）

L柯西定理

c单调性与导数的关系

单调性与极值-J极值的第一、二判别法

L凸凹性判别及拐点

i应用《

”利用微分中值定理

证明不等式＜利用函数单调性

、利用极（最）值

连续函数介值定理｝判断根存在性

罗尔定理

、方程根的讨论

函数的单调性\判断根的个数

极值与最值

89

二多元函数偏导数、全微分及其应用知识网络

r定义

几何意义

用定义求偏导

(偏导数＜

I求偏导方法＜多元复合函数微分法

多元隐函数微分法

多

C定义

元.高阶偏导＜'

函L求高阶偏导方法

数

微'

"定义dy^fdx+fdy

分xy

学全微分＜求全微分方法

、可微与偏导数，连续的关系

‘曲面的切平面与法线方程

I应用，空间曲线的切线与法平面

、极值与条件极值

II解题方法

-用导数定义求导

适用：(1)函数在个别点的函数值单独定义，其余点的函数值用统一解析式定义

(2)分段函数的分段点

方法：先求山，再求lim电，在求lim电时要分左导与右导，有时可以不分。下

-Ax-TOAX

面举例说明。

x2sin]xw0

例1求函数/(x)=＜x在x=O处的导数。

0x=O

1

解：Ay=/(0+Ax)-/(0)=(Ax*9*)sin——

Ax

2

A(Ax)sin^-.

AyAy-1xM

...vlim——=lvim---------=hmZ(AAx•sin——)=0

Av->0Ax->0AX°Ax

90

即函数/(x)在x=0处可导，且/'(0)=0。

例2设函数/(x)=(x