高考数学导数及其应用　

导数及其应用

第n步试六题

A组新题速递

（2015・陕西，15,易）设曲线产ex在点（0,1）处的切线与曲线片*>0）上点尸处的切线垂直，则尸

的坐标为.

【解析】设P（%o，歹o）（x（）>O），

由、=廿，得_/=炉，

•'-/k-o=1-

由y=:,得了=

「.Xo=1或Xo=-1（舍去）,

.1,

•・泗=[=1，

•••点产的坐标为（1,1）.

【答案】（1,1）

B组经典回顾

1.(2011•江西，4,易)若/(x)=7—2x—41nx,则/(x)>0的解集为(

A.(0,+°°)B.(-1,0)U(2,+00)

C.(2,+8)D.(-1,0)

【答案】C7U）的定义域为（0,+°°）,

解得一1<X<O或x>2,

所以/，（x）>0的解集为（2,+8）.

2.（2011•大纲全国，8,中）曲线y=e-2JH在点（0,2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的

面积为（

A.|B.；C.|D.

【答案】A；/=一2b2”,.♦.曲线在点（0,2）处的切线斜率左=一2,.•.切线方程为歹=-2%+2,

该直线与直线y=0和》=x围成的三角形如图所示,

(22、12I

其中直线y=-2x+2与y=x的交点心，于，所以三角形面积S=]X1X]=],故选A.

3.(2012•广东，12,易)曲线y=x3—x+3在点(],3)处的切线方程为.

【解析】=在点(1,3)处的切线斜率左=2,由点斜式方程，得切线方程为y-3=

2(x-1),即2x-y+1=0.

【答案】2x-y-\-1=0

4.(2014•广东，10,易)曲线y=e-x+2在点(0,3)处的切线方程为.

5x

【解析】'.'y'=-5e~,-'-k=y'[x.o=-5,故所求切线方程为y-3=-5x,即5x+y-3=0.

【答案】5x+y-3=0

5.(2014・江苏，11,中)在平面直角坐标系xQy中，若曲线歹="2+§s，。为常数)过点P(2,—5),

且该曲线在点P处的切线与直线7x+2》+3=0平行，则a+b的值是.

【解析】因为曲线歹=af+§过点PQ,-5),所以4a+，=-5.①

6b7

又y=2ax-7,且曲线在点P(2,-5)处的切线与直线7x+2y+3=0平行，所以44-1=-].②

a=-\,

由①②解得，所以a+b=-3.

(b=-2.

【答案】-3

Inr

6.(2013•北京，18,13分，中)设£为曲线C：丁=一；在点(1,0)处的切线.

(1)求L的方程；

(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方.

解：⑴设危)=乎，则/(x)=l芳

所以切线的斜率4=/(1)=1,所以L的方程为歹=x-1.

(2)证明：令g(x)=x-1则除切点之外，曲线。在直线L的下方等价于g(x)〉0(Vx〉0,x*l).

x2-]+Inx

g(x)满足g(l)=o,且g'(x)=1-f(x)='

当0<x<1时，x2-1<0,lnx<0,

所以g'(x)<0,故g(x)单调递减；

当x〉l时，x2-1>0,lnx>0,

所以g'(x)〉0，故g(x)单调递增.

所以，g(x)>g(l)=0(Vx〉0,x*1).

所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.

笼❷花J理能&

考向1导数的运算

1.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

./(%)=C(C为常数)f(x)=Q

Xx)=x°(aeQ*)f(x)=ax(i

f(x)=sinxff(x)=cosx

/(x)=cosxf(x)=—sinx

Ax)=axf(x)=/Ina(〃>0)

J(x)=e'fW=ex

/(x)=lo氐x/0)—xlna(">°'旦"D

，(：

7(x)=lnxx)=

2.运算法则

(1)导数的运算法则

①伏X)土g(切'=/(x)土g'(x)；

②[/(x)-ga)T=/(x)g(x)+/(x)g'(x);

f(x),f(x)g(x)-f(x)g'(x)

(g(x)WO).

3[g(x)]2

(2)复合函数的求导法则

y=/(M(X))的导数为y'x=yw.U，X.

4注意

(1)分析清楚复合函数的复合关系，确定出内函数与外函数，适当选定中间变量，由外向内逐层求导,

做到不重不漏.

(2)特别要注意的是中间变量的系数，避免出现(cos2x)，=-sin2x的错误.

□E9EIE11(1)(2014•大纲全国，7)曲线y=xe'T在点(1,1)处切线的斜率等于()

A.2eB.eC.2D.1

(2)(2015•浙江温州高三月考，5)已知函数/(x)的导函数〃x),且满足/(x)=2切⑴+lnx,则/'(1)=()

A.-eB.-1C.1D.e

(3)(2013•江西，13)设函数加)在(0,+8)内可导，且人芳)=%+炉，则/(1)=.

【解析】⑴•.？=-e、T+Ty=(1+x)e、1

•••曲线在点(1,1)处的切线斜率为y|x-i=2.故选c.

(2)V/(x)=2x/，(D+lnx,

：.f(x)=[2x/，(l)]，+(lnx),=2/(l)+p

•••/(1)=MD+1,即/⑴=-1.

⑶令f=e、，故x=lnf,••#)=ln/+f,即/(x)=Inx+x,」./(x)=：+1,：,f(1)=2.

【答案】(1)C(2)B(3)2

【点拨】解题(2)时注意弄清八1)为常数而非变量；解题(3)时先换元求解析式，然后再求导.

历四国囹导数运算的原则和方法

(1)原则：先化简解析式，再求导.

(2)方法:

①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；

④根式形式：先化为分数指数毒的形式，再求导；

⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；

⑥复合函数：由外向内，层层求导.

4注意

要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记混公式法则.

国国B3E3(2015•江西九江月考，15)给出定义：若函数7(x)在。上可导，即/(x)存在，且导数/(x)在

。上也可导，则称/(x)在。上存在二阶导数，记为/'(x)=/(x)Y，若/"(x)<0在。上恒成立，则称/(x)在。

上为凸函数.以下四个函数在(0,高上是凸函数的是(把你认为正确的序号都填上).

@/(x)=sinx+cosx；®/(x)=lnx-2x；

(§y(x)=-J?+2x—1；④/(x)=xe±

【解析】由①知，/(x)=cosx-sinx,

则f'(x)=-sinx-cosx

=-啦5亩(》+3<0在区间(0,总上恒成立；由②知，了(x)=q-2(x>0),则/<x)=-}<0在区间

(0,总上恒成立；由③知，/(x)=-3x2+2,则/<x)=-6x<0在区间(0,3上恒成立.故①②③中的

函数为凸函数.由④知，/(x)=eFe—(x)=2efeKx+2)>0在区间(0,①上恒成立，故④中

的函数不是凸函数.

【答案】①②③

考向2导数的几何意义及其应用

导数的几何意义

函数/(X)在X=Xo处的导数/的)的儿何意义是在曲线y=/(x)上点P(x0,/(Xo))处的切线的斜率(瞬时速

度就是位移函数s(f)对时间，的导数).相应地，切线方程为y—/(xo)=/"(xo)-(x—xo).

«注意

“过某点”与“在某点''的区别:曲线.=於)“在点尸(如泗)处的切线”与“过点尸(如州)的切线”

的区别：前者P(xo，州)为切点，而后者P(xo，州)不一定为切点.

□0EI02⑴(2014•课标H,8)设曲线y=ax—ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()

A.0B.1C.2D.3

(2)(2015•山东威海质检,7)已知函数5x)=xlnx,若直线/过点(0,-1),并且与曲线)=危)相切,

则直线/的方程为()

A.x+y—1=0B.x—y-1=0

C.x+y+l=0D.x—y+l=0

(3)(2014•江西，13)若曲线歹=。'上点P处的切线平行于直线2x+y+l=0,则点P的坐标是.

4

(4)(2015•河南郑州模拟，12)已知点P在曲线y=n上，。为曲线在点尸处的切线的倾斜角，则a

的取值范围是.

【解析】(l)y=a-由题意得川x=0=2,即a-1=2,=3.

(2)VA(0,-1)不在曲线/)=xlnx上,

.,.设切点为(%0,歹01

州=xolnx(),

又'."'(x)=1+lnx,--J/、

尻+1=(1+lnx0)孙

解得xo=1，%=o.

，切点为(1,0),.­.f(1)=1+ln1=1.

直线/的方程为丁=x-1,即x-y-1=0.故选B.

(3)设P(xo，州)，'-'y=e'x,'''y,=-e-*,

•••点P处的切线斜率为左=-e-%o=-2,

-xo=In2,.*.xo=~In2,

.••y()=eln2=2,...点P的坐标为(Tn2,2).

4

(4)"Rp

・20'."+*2,

-9-yf€[-1,0),.*-tana6[-1,0).

「37T、

又a£[0,n),a€nI.

【答案】(1)D(2)B(3)(-ln2,2)(4)[手，n)

【点拨】解题(1)时注意弄清点(0,0)在曲线上；解题(2)时注意弄清过曲线“在某点”和“过某点”

的曲线的切线的区别；解题(3)的关键是弄清曲线在点尸处的导数与直线斜率之间的关系；解题(4)时注意

正切函数在0,y)U[j-,兀)的图象与其正切值之间的对应关系.

国图3囹与导数几何意义有关问题的常见类型及解题

策略

(1)已知切点求切线方程.解决此类问题的步骤为：

①求出函数歹=〃)在点x=xo处的导数，即曲线歹=/(x)在点尸(X0,加)))处切线的斜率；

②由点斜式求得切线方程为y—yo=f(xo)•(x-xo).

(2)已知斜率求切点：已知斜率左，求切点(修，/(xi)),即解方程八处)=左.

(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函

数的单调性解决.

国图01包(2015•河北石家庄一模，14)已知点尸为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P

JI

处切线倾斜角的取值范围为［o,彳J则点P横坐标的取值范围是.

【解析】设P(x(),州)，尸点处切线倾斜角为a,贝4OWtanaWl,

由J［x}=x2+2x+3,得/(x)=2x+2,

令OW2%o+2W1,得-1Wxo<-2,

【答案】［—1,—3

第❸步JI过桢拟4

I.(2015•江西赣州高三期末，5)已知，为实数，/(》)=(小一4)G一。且/(—1)=0,则f等于()

A.0B.-1C.1D.2

【答案】C依题意得，f(x)=2x(x——4)=3x2—2tx—4,(-1)=3+2/—4=0,即t

=亍

2.(2014•河南平顶山模拟，8)点P是曲线f-y—lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x—2的

最小距离为()

A.1B.坐C.9D.啦

【答案】D将d—y—lnx=O变形为y=x2—lnx(x>0),则y=2x—±令_/=1,则x=l或x=-g

(舍)，可知函数y=7一］nx的斜率为1的切线的切点横坐标为x=l,纵坐标为少=1.故切线方程为x—y

|0+2|

=0.则点尸到直线丁二》一2的最小距离即切线方程x—y=0与y=x—2的两平行线间的距离,d=L"=

啦.

方法点拨：解答本题的关键是将点到直线的最小距离转化为两平行线间的距离.

3.(2015•云南昆明一中调研，9)若曲线/(x)=acosx与曲线g(x)=/+bx+1在交点(0,⑼处有公切

线，则a+b=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C依题意得，f(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,于是有/(0)=g'(0),即一asin0=2X0

+b,故b=0,又有加=/(0)=g(0),则加=a=l,因此a+b=l,选C.

4.(2015•山西大同质检，7)已知a为常数，若曲线^="2+3]一Inx存在与直线x+y—1=0垂直的

切线，则实数。的取值范围是()

A[T+°°]-1

C.[-1,+°°)D.(-8,-I]

1、

【答案】A由题意知曲线上存在某点的导数为1,所以_/=2依+3—j=1有正根，即2-+2x

—1=0有正根.当时，显然满足题意；当。<0时，需满足/20,解得一.综上，心-今

5.(2015•山东济宁二模，6)若曲线y=/+Hnx(a>0)上任意一点处的切线斜率为上若后的最小值为

4,则此时该切点的坐标为()

A.(1,1)B.(2,3)

C.(3,1)D.(1,4)

【答案】Ayuf+alnx的定义域为(0,+°°),由导数的儿何意义知_/=2x+f22，五=4,即a

=2,当且仅当x=l时等号成立，代入曲线方程得y=l,故所求的切点坐标是(1,1).

6.(2015•河南新乡质检，12)过点Z(2,1)作曲线3》的切线最多有()

A.3条B.2条C.1条D.0条

【答案】A由题意得，/(x)=3f—3,设切点为(xo,焉一3的)，那么切线的斜率为k=3xl-3,

利用点斜式方程可知切线方程为丁一(近一3xo)=(3焉一3)(x-xo)，将点N(2,1)代入可得关于xo的一元三次

方程2xW—6焉+5=0.令y=2xj—6xj+5,则_/=6/一12x().由_/=0得x()=0或劭=2.当x()=0时，y=5>0；

xo=2时，丁=一3<0.所以方程2近一6/+5=0有3个解.故过点4(2,1)作曲线/(x)=/—3x的切线最多

有3条，故选A.

方法点拨：曲线y=/(x)过点(X0,/)(点不在曲线丁=«0上)的切线方程的求解步骤：

⑴设出切点坐标P'(X|,./(%,))；

(2)写出过Pg/(xi))的切线方程为y-/(xi)=/(%i)-(x-xi);

(3)将点P的坐标(xo,")代入切线方程，求出为；

(4)将xi的值代入方程丁-«叫)=/(xi)(x-xi)可得过点P(xo，州)的切线方程.

7.(2015•广东惠州质检，11)曲线歹=一5炉+3在点(0,—2)处的切线方程为.

【解析】由_y=-5e'+3得，y'=-5ev,所以切线的斜率左=_/|门()=~5,所以切线方程为y+2

=-5(x-0),即5x+y+2=0.

【答案】5x+y+2=0

8.(2014•湖北武汉三模，14)已知曲线段)=x〃+i(〃CN*)与直线x=l交于点P,设曲线y=/(x)在点P

处的切线与X轴交点的横坐标为X",则log20l$Xl+log20l5X2H--------Hog20132014的值为.

【解析】/(x)=(M+l)xn,左=/(1)=〃+1,点P(l,1)处的切线方程为y-1=(〃+1)。-1),令y=0,

12320132014]

XXXXX=5

一为,.......^20i4=234-"201420152015

贝,Jlog201/1+log201K2+",+log2015X2014=10g2015(Xl•X2............014)=log2015y-1-

【答案】-1

9.(2015•河北唐山一中月考，20,12分)已知函数/(》)=。？+3/—6依一11,g(x)=37+6x+12和直

线〃?：y=kx+9,且/'(—1)=0.

(1)求a的值；

(2)是否存在A,使直线加既是曲线歹=/(x)的切线，又是曲线〉=g(x)的切线？如果存在，求出％的值;

如果不存在，请说明理由.

解：⑴由已知得尸(x)=3ax2+6x-6a,

(-1)=0,.,.3a-6-6a=0,•"=-2.

(2)存在.由已知得，直线加恒过定点(0,9),若直线机是曲线y=g(x)的切线，则设切点为(xo,3君+

6xo+12).

•；g'(xo)=6x()+6,

切线方程为y-(3%o+6xo+12)=(6祀+6)(x-劭),

将(0,9)代入切线方程，解得的=土L

当M=-1时，切线方程为歹=9;

当配=1时，切线方程为y=\2x+9.

由(1)知"c)=-2/+3x2+12x-11,

①由/(x)=0得一6d+6x+12=0,解得x=-1或x=2.

在x=-1处，y=/(x)的切线方程为》=-18;

在x=2处，y=/(x)的切线方程为y=9,

=危)与y=g(x)的公切线是y=9.

②由/(x)=12得-6f+6x+12=12,

解■得x=0或x=1.

在x=0处，y=/(x)的切线方程为y=12x-11；

在x=l处，y=/(x)的切线方程为y=12x-10,

=/(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.

综上所述，y=y(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时斤=0.

导数的应用

第n步试真题

A组新题速递

1.(2015•课标II,12,难)设函数F(x)是奇函数f(x)(xdR)的导函数，<-1)=0,当x>0时，xf(x)

-/(x)<0,则使得/(x)>0成立的x的取值范围是()

A.(-8,-l)U(0,1)B.(-1,0)U(L+8)

C.(-8,-1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+8)

【答案】A设力(x)/二.•••/(x)是奇函数，

•；/(—x)=­/(X)，

/'(—x)f(x)

h[-X)-———----=/i(x).

."(X)是偶函数.

••W(X)一危)<0，

M(X)一于(x)

：.h'(x)=

，〃(x)在(0,+8)上为减函数，在(一8,0)上为增函数，且0(±1)=0,如图所示,

可知满足於)>0的x的取值范围是(-8,-l)U(0,1).

思路点拨：构造函数〃⑴=2■广，并判断其奇偶性和单调性，最后数形结合求解不等式.

2.(2015•课标I,12,难)设函数|x)=e'(2x—1)—ax+a,其中"1,若存在唯一的整数刈使得/的)<0,

则。的取值范围是()

A[T，1)B[一宏,0

C岛4)D岛1)

【答案】D设g(x)=e"(2x-1),y=ox-4,由题意知存在唯一的整数x(),使得g(x())在直线y=ox

—a的下方.因为g(x)=e*(2x+l),所以当x<—g时，g'(x)<0；当x>—T时，g'(x)>0.所以当x=一

1■时，[g(x)]min=-2e—I；当x=0时，g(0)=­1；当x=l时g(l)=e>0.又直线y=ax—a恒过点(1,0)

且斜率为a,故一a>g(0)=-1,且g(—1)=-3/12—a—a,

3

解得WWaVl,故选D.

3.(2015•山东,21,14分,难)设函数/(x)=ln(x+l)+a(x2—x),其中aWR.

(1)讨论函数/(x)极值点的个数，并说明理由；

(2)若Vx>0,大幻20成立，求a的取值范围.

解：(1)由题意知，函数/(X)的定义域为(-1,+°°),/(x)=+a(2x-1)=----,

令g(x)=2ax2+ax-a+1,x€(-1,+°°).

(i)当“=0时，g(x)=1,此时/(x)>0,函数次x)在(-1,+8)单调递增，无极值点；

(ii)当“〉0时，A=a2-8a(1—a)=a(9a~8).

Q

①当0<aW§时，1W0,g(x)>0,

f(x)20,函数/(x)在(-1,+8)单调递增，无极值点；

8

②当时，/〉0,

设方程+QX-Q+1=0的两根为X2(X\<X2)>

因为X]+&=-g，

也，11

所以Xj<>2>一不

由g(-l)=l>0,可得-1<修<-/

所以当xd(-l,X1)时，g(x)>0,f(x)>0,函数/)单调递增；

当xegM)时，g(x)<0,f(x)<0,函数人X)单调递减；

当Xd(X2，+8)时，g(x)>0,f(x)>0,函数/(x)单调递增.

所以函数有两个极值点.

(iii)当。<0时，/〉0,

由g(-l)=l〉O,可得修<-1,

当xC(-1,必)时,g(x)>0,f(x)>0,函数/(x)单调递增；

当xe(X2，+8)时，g(x)<0,f(x)<0,函数/(x)单调递减.

所以函数有一个极值点.

综上所述，

当a<0时，函数/(X)有一个极值点；

Q

当OWaWd时，函数“X)无极值点；

V

8

当a〉g时，函数人x)有两个极值点.

⑵由(1)知，

Q

(i)当OWaWg时，函数/(x)在(0,+8)上单调递增.因为/(0)=0,

所以x£(0,+8)时，火幻〉0,符合题意；

Q

(ii)当时，由g(0)20,得X2<0,

所以函数段)在(0,+8)上单调递增，又40)=0,所以xd(0,+8)时，火幻〉0,符合题意;

(iii)当a>l时，由g(0)<0,可得也>0.

所以x6(0,也)时，函数/(X)单调递减；

因为<0)=0,

所以xe(0,切)时，段)<0,不合题意；

(iv)当&<0时，iZh(x)=x-ln(x+1).

]X

因为X£(0,+8)时，hf(x)=1=^y〉0,

所以〃(x)在(0,+8)上单调递增.

因此当x£(0,+8)时，〃(工)〉〃(0)=0,

即ln(x+l)<x.

可得/(x)<x+々(x2-%)=ax2+(1~a)x.

1

当x〉1一/时，ax0+(1-a)x<0.

此时./(x)<0,不合题意.

综上所述，4的取值范围是[0,1].

4.(2015•课标H,21,12分，难)设函数/(x)=e""+d一加x.

(1)证明:左)在(—8,0)单调递减,在(0,+8)单调递增;

(2)若对于任意xi，%2G[-1]»都有/(X2)|We—1,求机的取值范围.

解：⑴证明：/'(X)=Me""-1)+2%.

mx

若〃??0,则当xd(-8,0)时，e-KO,f(x)<0；

当xe(O,+8)时，e^-1^0,f(x)>0.

若加<0,则当xW(-8,o)时，e,,u-l>0,/(x)<0;

mv

当xC(O,+8)时，e-l<0,f(x)>0.

所以，_/(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.

⑵由(1)知，对任意的孙危)在[-1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故危)在x=0处取得最小值.所

1/(1)~f(0)We~1,

以对于任意修，X2e[-1,1],]/(xi)-y(X2)|We-1的充要条件是，/八,

(-1)-/(0)We-1,

em-mWe-1,

即<.①

,e+We-1.

设函数g(t)=e'-1-e+1,

则g")=e'-L

当Z<0时，g'(z)<0;

当Z>0时，g'(r)>0.

故g(。在(-8，0)单调递减，在(0，+8)单调递增-

又g(l)=O,g(-1)=e1+2-e<0,

故当ZG[-1,1]时，g(f)WO.

当加e[-i,1]时，g(m)WO,g(-/M)WO,即①式成立；

当"?>1时，由g⑺的单调性得，g(⑼>0,即e"-/n>e-l;

当机<-1时，g(-7«)>0,^l7e+m>e-1.

综上，加的取值范围是[-1,1].

5.(2015•课标I,21,12分，难)已知函数危)=/+狈+；,g(x)=—Inx.

(1)当。为何值时，x轴为曲线_y=/(x)的切线；

(2)用min(加，〃)表示加，〃中的最小值，设函数〃(x)=min(/(x),g(x)}(x>0),讨论〃(x)零点的个数.

31

xo+axo+w=O,

解：(l)f'(x)=3x2+a.设曲线y=/(x)与x轴相切于点(如0),则汽沏)=0,f(x())=0,解

3%o+a=0.

解得xo=1,a=

3

因此，当〃=-^时，x轴为曲线y=y(x)的切线.

(2)当xC(l,+8)时，g(x)=-lnx<0,从而//(x)=min{/(x),g(x)}Wg(x)〈0,故/?(x)在(1,+8)无零

点.

当x=1时，若-永则/(1)=a+1^0,A(l)=min{/(l),g(l)}=g(l)=0,故x=1是〃(x)的零点.若

a<则//(1)=min{/(l),g(l)}=/(1)<0,故x=1不是力(x)的零点.

当x£(0,1)时，g(x)=-lnx>0.所以只需考虑小)在(0,1)的零点个数.

(i)若aW-3或心0,则/(x)=3d+a在(0,1)无零点，故人x)在(0,1)单调.而X0)=/川)=a

+所以当aW-3时，/(x)在(0,1)有一个零点；当“20时，危)在(0,1)没有零点.

(ii)若-330,则危)在0,单调递减，在1单调递增，故在(0,1)中，当刀=

1

时,兀取得最小值,最小值为f

04-

3

①若/>0,即-不5<0,«r)在(0,1)无零点；

3

②若/，即4=-不则网在(0,1)有唯一零点；

31553

③若/<0,即-3<«<一不由于火。)=不用)=。+不所以当-彳<。<-^时，")在(0,1)有

两个零点；当-3<aW-^时，{x)在(0,1)有一个零点.

35a=-.时，〃有两个零点；当-^<a<

综上，当1或时，〃(X)有一个零点；当4=(x)

3

一^时，人(x)有三个零点.

6.(2015•安徽，21,13分，难)设函数/(》)=》2—依+4

(1)讨论函数次sinx)在(一方，雪内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值;

(2)id/o(x)=x2—aox+ho,求函数,(sinx)—/°(sinx)|在一方，"上的最大值。；

(3)在(2)中，取的=%=0,求z=b一^•满足条件。<1时的最大值.

解：(l)/(sinx)=sin2x-^zsinx+b

..7T7T

=sinx(sinx-a)+h,-~^<x<

7T7T

[/(sinx)]f=(2sinx-a)cosx,-~^<x<

因为一所以cosx〉0,-2<2sinx<2.

①当aW-2,66R时，函数/(sinx)在1-三，多内单调递增，无极值；

②当。22,6ER时，函数Hsinx)在[-/,?内单调递减，无极值；

③对于-2<。<2,在(-★?内存在唯一的劭，使得2sinxo=a,

7T

当-E<xWx()时，函数/(sinx)单调递减；

7T

当x()Wx<E时，函数/(sinx)单调递增，

因此，-2<a<2,b£R时，函数/(sinx)在沏处有极小值/(sinxo)=/。=力一生

.nIT,

⑵当一了W、<3■时，

]/(sinx)-/o(sinx)|=|(劭-〃)sinx+h-Z?o|^|^_〃o|+\h-6o|,

当3o-a)(6-瓦)20时，取工=:~,等号成立；

当(劭一a)(6-d)<0时，取工=一丁，等号成立.

7TJT

由此可知，/(sinx)-%(sinx)|在-5~,立■上的最大值为。=|a-a+/-瓦|.

2

(3)。<1即为同+|加1,此时OW/WI,-1W6W1,从而z=b%〈l.

2

取a=0,b=\,则|a|+向W1,并且z=b-上=1.

2

由此可知，z=b-会满足条件1的最大值为1.

B组经典回顾

1.(2013•浙江，8,中)已知e为自然对数的底数，设函数/)=©—1)。-1)/=1,2),则()

A.当左=1时，於)在x=l处取到极小值

B.当％=1时，/(x)在x=l处取到极大值

C.当后=2时，段)在x=l处取到极小值

D.当k=2时，/(x)在x=l处取到极大值

【答案】C当左=1时，4)=(一-1)。-1),/。)=疣'-1,/⑴W0,故A,B错；当左=2时，

J(x)=(e'—1)(x—1)2,f(x)=(x2—l)eA—2x+2=(x—l)[(x+l)ev—2],故/(x)=0有一根为修=1,另一根

X2e(0,1).当X@(X2，1)时，/'(x)VO,/(x)递减；当x£(l,+8)时，/，(幻>0,/(X)递增，.•./(X)在工

=1处取得极小值，故选C.

2.(2012・重庆，8,中)设函数段)在R上可导，其导函数为/'(x),且函数y=(l—x)/(x)的图象如

图所示，则下列结论中一定成立的是()

A.函数/(X)有极大值/(2)和极小值/⑴II1'

B.函数/(x)有极大值/(—2)和极小值/(I)A"

C.函数.危)有极大值人2)和极小值近-2)M'

D.函数人冷有极大值火一2)和极小值人2)

【答案】D①当x<—2时，1-x>0.

V(l-x/(x)>0,

：.f(x)>0,即於)在(一8,一2)上是增函数.

②当一2<%<1时，1—x>0.

V(l-x)/f(x)<0,

：.f(x)<0,即贝x)在(-2,1)上是减函数.

③当l<x<2时，l—x<0.

V(l-x)r(x)>0,：.f(x)<0,

即/(x)在(1,2)上是减函数.

④当x>2时，1-x<0.

V(l-x/(x)<0,

：.f(x)>0,即加)在(2,+8)上是增函数.

综上，/(一2)为极大值，/(2)为极小值.

3.(2014陕西，10,中)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点幺的水平距离10千米

处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()

y

.2

:'、、...............5.

-5OX：*

-2地面跑道

133c24

A•片国-尹B.y=^x3-尹

3

C.>>=Y|^X3—xD.j^=­j|^x+'1x

177

【答案】A根据题意，知所求函数在（一5,5）上单调递减.对于A,歹=台2

一|=总（刀2—25）,二\。金（一5,5）,y'<0,，y=Wx3一1x在（一5,5）内为减函数，同理可验证B,C,

D均不满足此条件，故选A.

4.（2014•课标I,11,难）已知函数/（》）=公3—3/+1,若/（x）存在唯一的零点刈，且x0>0,则。的

取值范围是（）

A.（2,+8）B.（1,+00）

C.（-8,-2）D.（—8,-1）

2

【答案】C方法一：由已知可知。±0「./（幻=362—6x,令/（x）=0,得x=0或x=7

①当。>0时，函数人x）在（-8,0）上单调递增，在（0,|）上单调递减，在（1,十8）上单调递增，且

./（0）=1>0,故/（X）有小于0的零点，不合题意.

②当。<0时，函数/（X）在（一8,力上单调递减，在停0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减，要

使xo>O且唯一，只需b0，即d>4,故选C.

方法二：fr（x）=3ax2—6x,

2

当Q=3时，/（X）=9X-6X=3X（3X-2）9

则当（—8,0）时，吐（力>0；x£（0,|）时，/（x）<0；x4|,+8）时，/（》）>0,注意火0）=1,

不符合题意，排除A,B.

当a=—§时，，(x)=—4/—6x

——2x(2x+3),

则当xG(—8,一|)时，f(x)<0,xe(-|，0)时，/(x)>0,xF(0,+8)时，f(x)<0,注意/(0)

=1,/(一|)=—今则大x)的大致图象如图所示.

不符合题意，排除D.

5.(2014•课标H,12,难)设函数/)=#5由《不若存在火x)的极值点祀满足/+[/(xo)]2(加2,则加

的取值范围是()

A.(一8,—6)U(6,+°°)B.(-8,-4)U(4,+°0)

C.(-8,-2)U(2,+°°)D.(-8,-1)U(1,+8)

【答案】Cr(x)=G^cos费，

由题意知，存在/(X)的极值点刈，

则有fg)=木之cos詈=0,

JiXon

即—-=^~+kJi,k，

m2

m

则XO=5+6H,左£Z.

22

又xo满足xo+[/(xo)]<w,

即（5+而）+h「sin亍31<m2,左GZ,

；・（相上+?+黄sin.n+»I<m,kGZ,

即加2（4+'+3<m\Z：EZ.

（1辛/w2—3

Vzn^O,・・・«十寸Vf-，kGZ.

又・・•存在X0满足/+[/(•")]2V加2,即存在kWZ满足上式,

2

・加J3.m

・・m2—><92/，・・m-3〉才4，

/.机2>4,/.m>2或m<—2,故选C.

6.(2013•重庆，17,13分，中)设/(x)=a(x—5)2+61nx,其中a®R,曲线夕=/(x)在点(1,/(I))处的

切线与N轴相交于点(0,6).

(1)确定。的值；

(2)求函数大刈的单调区间与极值.

解：⑴因为/(x)=a(x-5)2+61nx,

故/(X)=2a(x-5)+p

令x=l,得-1)=16。，/(1)=6-8a,所以曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程为y-16a=(6-

8a)(x-1).由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=；.

(2)由(1)知，/(x)=；(x-5)2+61nx(x>0),

"/6(x-2)(x-3)

f(x)=x-5+-=------------------------

令/(x)=0，解得xi=2,X2=3.

当0<x<2或x>3时，/(x)>0,故7(x)在(0,2),(3,+8)上为增函数；当2<x<3时，f(x)<0,故

/(x)在(2,3)上为减函数.

9

由此可知，/)在x=2处取得极大值义2)=]+61n2,在x=3处取得极小值<3)=2+61n3.

7.(2014•山东，20,13分，难)设函数/(x)=%—d|+lnx｝左为常数，e=2.71828…是自然对数的底

数).

(1)当％W0时，求函数段)的单调区间；

(2)若函数在(0,2)内存在两个极值点，求人的取值范围.

解：(1)函数y=/(x)的定义域为(0,+8),

xex一2eAk(x_2)(x_2)(eA-Ax)

=X3—X2=X3.

由awo可得炉一h>0,

所以当x£(0,2)时，/(x)<0,函数y=/(x)单调递减;

当xd(2,+8)时，/(%)>0,函数歹=y(x)单调递增.

所以/(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为Q,+°°).

(2)由(1)知，攵<0时，函数/(X)在(0,2)内单调递减，

故4c)在(0,2)内不存在极值点；

当人>0时，设函数g(x)=e*-Ax,x€[0,+°°).

因为g\x)=ex-k=ex-e'nk,

当时，

当xe(0,2)时，g'(x)=ex-k>Q,y=g(x)单调递增.

故/(x)在(0,2)内不存在两个极值点.

当k>\时,

得xG(0,In左)时，g'(x)<0,函数y=g(x)单调递减;

x€(Ink,+8)时，g'(x)>0,函数y=g(x)单调递增.

所以函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=^(1-Ink).

函数/(x)在(0,2)内存在两个极值点,

〃g(0)>0,

g(In左)<0,

当且仅当，

g(2)>0,

<0<lnk<2.

解得e<%<.

综上所述，函数Hx)在(0,2)内存在两个极值点时，4的取值范围为

8.(2014•课标H,21,12分，难)已知函数/(》)=百一「“一2》.

⑴讨论/(X)的单调性；

⑵设g(x)=/(2x)—4/(x),当x>0时，g(x)>0,求b的最大值;

(3)已知1.4142〈啦<1.4143,估计In2的近似值(精确到0.001).

解：(l*(x)=eX+eT-220,等号当且仅当x=0时成立.

所以/(X)在(-8,+8)上单调递增.

(2)g(x)=/(2x)-4"(x)

=e2v-e2x_4b,(e*-ex)+(8b-4)x,

g,(x)=2[e2r+ea_2b(e，+e~x)+(4b-2)]

=2(ex+ex-2)(ev+ex-2b+2).

①当bW2时，g'(x)>0,等号当且仅当x=0时成立，

所以g(x)在(-8,+8)单调递增，而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.

②当b>2时，若x满足2<e'+er<2b-2,即0<x<ln(b-1+声-21)时,g'(x)<0.而g(