高考数学经典易错题会诊与高考试题预测5

经典易错题会诊与2012届高考试题

预测(五)

考点5三角函数

经典易错题会诊

命题角度1三角函数的图象和性质

命题角度2三角函数的恒等变形

命题角度3三角函数的综合应用探究开放题预测

预测角度1三角函数的图象和性质

预测角度2运用三角恒等变形求值

预测角度3向量与三角函数的综合

命题角度1三角函数的图象和性质

1.(典型例题)函数f(x)=sinx+2|sinx|,xe(0,2页)的图像与直线y=k有且仅有两个不

同的交点，则众的取值范围是.

［考场错解］填［0,3］

：f(x)=13sinx,xe［0㈤

［-sinA\xG(万,2万］

的值域为(0,3),；f(x)与y=k有交点，

Ake［0,3］.

［专家把脉］上面解答求出k的范围只能保证y=f(x)的图像与y=k有交点，但不能保证

y=f(x)的图像与y=k有两个交点，如k=l,两图像有三个交点.因此，正确的解答要作出了

y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解.

［对症下药］填(1,3)

Vf(x)，sinx”(0㈤作出其图像如图

［-sin-x,xe(4,24］

从图5-1中可看出：当Kk<3时，直线y=k与yf(x)有两个交点.

2.(典型例题)要得到函数y=VIcosx的图像，只需将函数y=VIsin(2x+&)的图像上

4

所有的点的()

A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动2个单位长度

28

B.横坐标缩短到原来的工倍(纵坐标不变)，再向右平行移动巳个单位长度

24

C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动X个单位长度

4

D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动J个单位长度

O

［考场错解］B或D

•••将函数y=6sin(2x+?)的所有点的横坐标缩短到原来的g倍，得函数

y=后sin(x+：)的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y=后sin(x+］)=拉cosx

的图像.

故选B.

将函数y=V2sin(2x+C)变形为sin2(x+&).若将其图像横坐标伸长到原来的2

44

倍(纵坐标不变)后得函数y=^sin(x+J)的图像.再向右平行移动营个单位长度后得

oo

y=V2cosx的图像,选D.

［专家把脉］选B有两处错误，一是若将函数yf(x)二6sin(2x+X)横坐标缩短到原来

4

的4倍，(纵坐标标不变)所得函数y=f(x)=sin(4x+-),而不是f(x)=VIsin(x+X),二

244

是将函数y=f(x)=V2sin(x+C)向右平行移动X得函数y=f&)=拒sinx的图像，而不是y=

44

f(x)=V^cosx的图像.因为函数图像变换是针对自变量而言，应该是X变为x-X选D同样

4

是两处错误.一是横坐标伸长到原来的

倍(纵坐标不变)得函数y=痣sin(x+&)而不是y=V2sin(x+—).由y二忘sin(x+工)的图

448

像向右平移,个单位长度得了sinx的图像，而不是丫=近cosx的图像.

8

［对症下药］选C将函数y=痣sin(2x+&)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍

4

(纵坐标不变)，得函数y=VIsin(x+C)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得

4

y=V2sin(x+—+—)=72cosx的图像.故选C.

44

3.(典型例题I)设函数f(x)=sin(2x+e)(-J<0<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线

x=—.

8

(1)求夕;

(2)求函数y=f(x)的单调增区间；

⑶画出函数y二f(x)在区间［0,冗］上的图像.

［考场错解］

(1)：X=*是函数y=f(x)的图像的对称轴，.•.sin(2X*+9)=±l,?+夕=kir+|k

Z.9=kn+生，\"-n<<p<0,；.(p=~—n.

44

⑵由⑴知9=-n,因此y=sin(2X-3").

44

•.•最小正周期为丁=至=".由题意得

4

kn—%W2x—包Wkn+工,kez.

242

解得kn+—^x^-kn-+JI,k£Z.

828

所以函数产sin(2x-，)的单调查递增区间为山万+卫一氏+，］丘Z.

4|_2828_

［专家把脉］以上解答错在第(2)小题求函数单调区间时，令万-乙，氏+安

4L22_

处，因若把21-也看成一个整体u,则y=sinu的周期为2元。故应令2人现

44,

_,71cl汽1_

2k兀2k兀+—,kwZ.

L22］解得的x范围才是原函数的递增区间.

［对症下药］(1)解法1•.•♦=£是函数y=f(x)的图像的对称轴，.%行⑵生+0)=±

88

lo

•冗.7t.„.7T八，.||L3

・・——+(!)=kTT+—,k€Z,...(p=k/r+—,•.•<(p<0,.\k=——n.

4244

解法2>也是y=f(x)图象的对称轴，.•.对任意的x有f(x)=f(C-x).令x=0时，有

84

f(0)=f(?).BPsine=sin(1+Q)=COSegptan8=1又夕(一万Q).，9=一(加

33

⑵由(1)得夕=一彳巴因此,y=sin(2x-j).

由题意得

2k兀---《2x--—W2k兀H—,kGZ.

242

解得女4+工<X<k4+2乃,kGZ.

88

・,.函数y=sin(2x-1;r)的单调递增区间的版•+(X乃+,keZ.

(3)由y=sin(2x-空)知

7C3兀5474

X0ITT~8~JI

_V2_V2

y-1010

22

故函数尸f(x)在区间［0,句上图像是

5.(典型例题)求函数y=sin4x+2VJsin工cosx-cosj的最小正周期和最小值；并写出该

函数在［0,兀］上的单调递增区间.

［考场错解］y=sin4x-cos4x+2\/3sinxcosx

=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+后sin2x

=-cos2x+旧sin2x=2sin(2x-.).

故该函数的最小正周期T=—=^.

2

当2x-―=2比一纥丘Z,即芯=「万一"时，函数y有最小值-2.

626

当xe［0,C］时，函数单调递增.

_2_

，函数递增区间是「09.

_2_

［专家把脉］上面解答错在求函数的递增区间上，•..当xe［o,£］时,2x-&(-£,』

6666

")函数不为单调函数.应先求出函数y=2sin(2x-C)在R上的单调递增区间，再求它与区

6

间［0,的交集.

［对症下药］二•函数y=sin4x+6sinxcosx-cosx=(sin2X-cos2x)(sin?x+cos2x)+

V2sin2x=V3sin2x-cos2x=2sin(2x--).故该函数的最小正周期是冗.

6

当2x-X=2k冗一工时，即x二k冗一工时，y有最小值

626

2.令2kn—XW2x-XW2kr+X,k£Z.

262

解得kn--WxWkn+—,keZ.

66

令K=0时，一工(xW&.又TOWxWn，・・・0(xWX,K=1时，OnWxW。兀又TO

63364

WxW兀.♦・一nWx<n.

6

函数y=2sin(2x-^)的递增区间是［0,理"，

636

专家会诊

利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值)，应以基本的三角函数图

像y二sinx,y=cosx,y=tanx为基础，在研究单调性要注意复合函数(如y=1sin(x+g),

6

y=sin(f-2x),y=logsin(2x+工))的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+工，

646

g-2x,2x+±,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题.

64

y二Asin(3x+0)与y=sinx图像间的关系：由y=sinx图像可以先平移后仰缩，也可先伸

缩后平专家会诊移.要注意顺序不同，平移单位也不同.

一般地,y二Asib(3x+p)的图象向左平移a个单位得到y二Asin［s到+a)+°］的图象，

再把其上所有点的横坐标变为原来的工，即得到y=Asin［3w1+3a+夕］的图像.

W

考场思维训练

1已知函数丫』@11在(-£,乙)内是减函数，则()

22

A.0<341B.-1忘3<0C.32lD.3W-1

答案：D解析•・•函数y=tano)x在)内是减函数，・2<(),又•函数y=tan(-wx)在

(二二二)上是增函数，，有2-2卬二卬4一］

2卬2w4〈乃

2函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期为()

A.-B.-C.nD.2n

42

答案：C解析：・.,f(x)二忘|sin(x+X)|.・.・y二sin(x+X)

44

的最小正周期为2n,/.f(x)=V2|sin(x+-)1的最小正周期为

4

3当0〈x〈巳时，函数f(x)=l+cos2x+8sin2.t的最小值为()

2xin2x

A.2B.26C.4D.46

答案：C解析：；f(x)=2c°sj+8sin-=cotx+4tanx

2sinxcosx

*/0<x<—,tanx>0,cotx>0,...f(x)2Jcotx・4tanx=4

2

4化简f(x)=cos+++2x)+cos(-1n-2x)+2V3sin(—+2x)(x^R,k£Z)求函数

333

f(x)的值域和最小正周期.

答案：解析：*/f(x)=cos(2kn+—+2x)+cos(2kn

3

---2x)+2后sin(—+2x)=2cos(—+2x)+26sin(—+2x)=4sin(—+

33336

—+2x)=4sin(—+x)=4cos2x.

32

•••f(x)的值域为［-4,4］；最小正周期为T：^=n.

2

命题角度2

三角函数的恒等变形

1.(典型例题H)设a为第四象限的角，若史必=只，贝Ijtan2a=_______.

sina5

［考场错解］填土』2=而⑷+纭)=sjpac£a+n2a=_2&+2cos?a=中

4sinasinasina5

,3八sin2a

2cos2a=-,/.cos/2a=-sin2a=±V1=±—./.tan2a=----—tan2zz—i-.

555cos2a44

5

［专家把脉］上面解答错在由cos2a=:得Sin2a=±g时没有考虑角a是第四象限角.2

a是第三、四象限角sin2a只能取负值.因而tan2a也只能为负值.

［对症下药］填二包头=邺。+2a)=sinacos2a+cosasin2a=co$2a+2c。1a=2cos2a

4sinasinasina

+1=U.,cos2a二士.又•・•a为第四象限角，即2k冗+工<a<2k冗+2冗，keZ,A4kn+3

552

n<2a<4k冗+4冗，kGZ即2a为第三、四象限角./.sin2a

3

J_=_3

4-4,

5

2.(典型例题)L_i知-X<x<0,sinx+cosx=-,

25

⑴求sinx-cosx的值;

x

3Csi.n2X-2Csi•nX+cos2

⑵求z-----2-----1的值.

tanx+cotx

［考场错解］(1)由sinx+cosx=g,平方得sin"x+2sinxcosx+cos2x=(T)»即

2sinxcosx=--.(sinx-cosx)-2sinx•cosx=—

2525

X*.*--<x<0,Asinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0.

2

・.7

,・sinx-cosx二一一

5

c.2XC•Xx2x).2x.［

3sin-2sincos+cos•-2sin-----sinx+1«,,,

⑵2222_2_1+cosx-sinx+1=cosx•sinx(2+cosx-sinx)

tanx+cotxsinxcosx.22

+———smx+cosx

cosxsinxcosx•sinx

7、204

=(z——)(2+-)=---------

255125

［专家把脉］以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误.即由

c.2X■,

2sin-sinx+1

——二-------二sinxcosx(2-sinx-cosx)变形时认为2sin2=1+cosx,用错了公式，因为

-s-m---x+-c--o-s-x-

cosxsinx

2sin2=l-cosx.因此原式化简结果是错误的.

［对症下药］解法1(1)由sinx+cosx=-,平方得sin」x+2sinxcosx+cos'x=’•即

525

.24

2osinxcosx=-——.

25

*.*(sinx-cosx)2=l-2sinxcosx=l+—=—

2525

7

XV--<x<0,sinx<0,.".cosx>0,sinx-cosx<0./.sinx-cosx=-・

25

⑵

3sin-----2sin—cos—4-cos"—2

2sin--sinx+11-cosx-sinx+1=sinx.cosx(2-cosx-sinx)=(-l|)(2-l)=^

2222_=

.72

tanx+cotx-s-in-x+-c-o-s-xsin~x+cos

cosxsinxsincosx

.?->1

sinx+cosx~~①

解法2(1)联立方程

sin2x+cos2x=1②

由①得sinx=g-cosx,将其代入②，整理得25cos4-5cosxT2=0,I.cosx=-3或(COSX二W)

55

3

smx=——

-<x<0,：5故sinx-cosx-7

245

cosx=—

5

工X2Xc.2X.

3Csi.n2—X2csi•n—cos-+cos;—2sin——sinx+l

2)2222二2=sinxcosx(2-cosx-sinx)=

sinxcosx

tanx+cotx---+----

cosxsinx

,3、4K43、108

(一一)x—(2——十—)=-------

5555125

3.(典型例题)已知6sin2a+sinacosa一2cos'Q=0,ae,6求出（20+?的值•

2

［考场错解］山已知1得(3sinQ+2cosa)(2sinQ-cosQ)=0=>3sina+2coscI=0或2sina

-cosa=0.

2、j

tana二一一或tana=-

32

又,.•sin(2a+—)=sin2acos—+cos2a•sin-

33*3

=sinacosa+—(cos2a-sir?a)

2

sinacosacos2a-sin•2a

2

_s.in)-a+cos2aa+cosa

7a

tanaV3l-tan~a

=l+tan2cr+~x--------5—

1+tana

将tana冶代入上式得sin（2a+?

2

1+(-|)21+

将tana《时代入上式得疝3+令=

10

即sin（2a+争=4+焉石或唁

［专家把脉］上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用,.•.aG（3,n）,tana<0,

•..tana*应舍去，因此原题只有一解.

［对症下药］解法1由已知得(3sina+2cosci)(2sina-cosa)=0<=>3sina+2sina=0

2sina-cpsa=0.

由已知条件可知cosa2*0,所以a#乙，即ad(C,Jr).

22

2

于是tana<0,tana=-

3

sin(2a+—)=sin2acos—+cos2a•sin—

333

■^32)

=sina・cosa+——(cosa-s\n~a)

2

sinacosa后.cos2a-sin2a

sina4-cosa2cosa+sma

tana61-tan2cr

=-------5—+-------------z-

1+tana21+tana

将tana=-2代入上式得sin(2a+X)=g+3上左_=色+工石

33］+(_|)221+(,|)21326

解法2由已知条件可知cosaW0,则a#工，所以原式可化为6tar?a+tan。-2=0.

2

即(3tana+2)(2tana-1)=0.

又Tae(£,n).\tana<0

2

/.tanQ,下同解法1.

3

4.(典型例题)若函数f(x)=“cos?”—asE)COS(B-工)的最大值为2,试确定常数a的

4sin(|+x)22

值.

2sin2x1.

［考场错解］vf(x)=7^r+rsinx

=(-+-a)sinx

22

Ysinx的最大值为1,.T%?.

・・・a二3

［专家把脉］上面解答在三角恒等变形中，用错了两个公式：①l+cos2xW2sir?x；②

sin(—+x)^sinx因为cos2x=l-2sin2x=2cos'x-l.

2

1+COS2X=2COS3X.由诱导公式“奇变偶不变”知sin(匹+x)=cosx.

2

［对症下药］f(x)=~C0SA+asin—cos—=—cosx+—asinx=J—+—sin(x+y)其中角9满足

4cosx2222V44

sin9=-j=J^=由已知有"!■+幺一=4,解之得，a=±VL5

44

专家会诊

由于三角函数式中包含着各种角，不同的三角函数的种类，以及不同的式了结构，所以三角

函数配凑、降次与升累、引入辅助角等.同时在三角恒等变形中应多观察，以便发现角、三

角函数名称及式子结构差异，运用公式，找出差异的内在联系，选择适当的公式促使差异的

转化.另外，由于公式记错而在考试中失分是很常风的，应该熟练掌握各种要求记的公式及

其使用范围.

考场思维训练

］2sin2acos2a_()

1+cos2acos2a

A.tanaB.tan2a

c.1D.-

2

2

答案：B解析：原式=网学・竺12气@112a.

2c/acos2a

2若sin(2-a)二，则cos(至+2Q)=()

答案：A解析：・・・(工-°)+(2+a)二.・・.sin(&-a)

6326

=cos(—+a)=1.则cos(—+2a)=cos2(—+a)

3333

=2cos2(£+a)-1=2X(1)2-l=-2.

339

3已知a、B均为锐角，且cos(a+B)=sin(a-B),则

tana=.

答案：1解析：Vcos(a+P)=sin(a-3)=>cosacosP-sin

asinB=sinacos8-cosa•sinB=cosa(cosB+sinB)

=sina(sinB+cosB)

V0G(0,—),sinP>0,cos0>0,/..tan(a=1.

2

4己知函数f(x)二-石sin'x+sinxcosx

⑴求f(学)的值；

6

父;安・・•25万125万

合案：.sin——=-,cos——=—

6262

・,,254、石.225.25)25%_

・・/(----)=-V3sm—乃+sin-----cos-----=0.

6666

(2)设ae(0,n),f(里求sina的值.

242

答案：fMcos2x+-sin2x-

222

・「/a、后1.V3173

••/(一)=—cos(XH—sin(X-----=--------

222242

16sin2a-4sina-11=0,解得sina=

8

VaG(0,n),.\sina>0,则sina="3近

8

5已知函数f(x)=2sir?x+sin2x,xG(0,2」)求使f(x)为正值的x的集合.

答案：解：Vf(x)=l-cos2x+sin2x=l+V3sin(2x~—),

4

・・・f(x)>0=1+72sin(2x--)>0.

4

=sin(2x-&)>-^=-&+2kn〈2x-生<.+2kw<=>kn<x<-n+kn,又•.♦xG[0,2n,

424444

Axe(0,—)U(Jt,卫).

44

6若函数f(x)"c°s2x+sinx+a2sin(x+C)的最大值为拒+3,试确定常数队a.

2sin(--x)4

答案：f(x)=2cosx+sinx+a2sin(x+—)

2cosx4

=cosx++sinx+a2sin(x+—)

4

=V2sin(x+)+a2sin(x+—)

4

=(V2+a2)sin(x+—)

4

・・・f(x)的最大值为拉+a2.令6+@2=拒+3.

a=±VJ

命题角度3三角函数的综合应用

1.(典型例题)如图，在直径为1的圆0中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字

形，其中y>x>0.

(I)将十字形的面积表示为0的函数；

(II)。为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少？

［考场错解］设S为十字形的面积，则S=2xy=2sin。,cos0=sin20(―^6<—).

42

⑵当sin20=1即6=生时,S最大，S的最大值为1.

4

［专家把脉］上面解答错在面积S的计算上，因为卜字形面积等于两个矩形面积和还需减

去中间一个边长为X的正方形面积.

［对症下药］(1)设S为十字形的面积,则S=2xy-xJ2sin。cos。-cos20(C<。〈生)

42

(2)解法1S=2sin0cos0-cos'0=sin20--cos2。=—sin(2^-^)-—,其中

222

0=arccos^•，当sin(26-e)=1,即2。一8二/时,S最大.

.•.当9=&+_LARCCO5亚时，S最大，S的最大值为3二1.

4252

解法2VS=2sin0cos。-cos2。,

...S'=2cos"0-2sinJ0+2sin0•cos0=2cos20+sin20.

令S'=0.即2cos20+sin20=0,

可解得。二三+'arctan(-2).

22

.•.当0=工+_12.1@11(-2)时，S最大，S的最大值为止」.

222

2.(典型例题)若0<x〈工，则2x与3sinx的大小关系为()

2

A.2x>3sinxB.2x<3sinx

C.2x=3sinxD.与x的取值有关

［考场错解］选A设f(x)=2x-3sinx,.\f(x)=2-3cosx,V0<x<—f(x)>0.

2

・・・f(x)在(0,X)上是增函数

2

Af(x)>f(0)=0.

即2x>3sinx,选A

［专家把脉］•••伊(X)=3(2-COSX).当0〈x〈X时，f'(x)不一定恒大于0,只有当x£

32

(arccosZ?)时f'(x)才大于0.因而原函数f(x)在(0,工)先减后增函数，因而2x与3sinx

322

的大小不确定.

［对症下药］选D设y=(x)=2x-3sinx,

Vy,=2-3cosx=3(--cosx).二•当cosx<2即xE(arccos—,—)yr>0.当x£(0,

3332

arcccosg)时,y'<0.

即当x£(arccos—,工)时，f(x)>0.口P2x>3sinx当x£(0,arccoss-)时，f(x)<0.即

323

2x<3sinx.故选D.

3.(典型例题)设函数f(x)=xsinx(xGR)

(1)证明f(x+2kn)f(x)=2knsinx.其中k£Z；

(2)设x。是f(x)的一个极值点.证明［fG。)］二』；

l+^o

(3)设设x)在(0,+8)的全部极值点按从小到大的顺序ai,比，…，a,…，证明:—<ai-a<

n2n+n

人.

［考场错解］(1)证明：由函数f(x)的定义，对任意整数k,有f(x+2kn)-f(x)=(x+2k

兀)・sin(x+2kn)-xsinx=(x+2kn)sinx-xsinx=2karsinx.

(2)函数f(x)在定义域R上可得f'(x)=sinx+xcosx.令f'(x)=0,sinx+xcosx=0.显

然,对于满足上述方程的x有cosx#0,上述方程化简为x=-tanx,此方程一定有解,f(x)

的极值点xo一定满足tanxo=-xo•

•2,02,224

由加2>—^="=,得如2演=上多,严(%)=/・sin2x°=*•上夺=君・3=气.

sinx+cosx1+tanx1+tanx01+tan1+XQ1+XQ

⑶证明:设x,〉0是『，(x0)=0的任意正实根即x。=-tax。，则存在一个非负整数k,

使x°G(X+kn,n+km).即X。在第二或第四象限内.

2

由题设条件，ai,a2,•••,a”为方程x=-tanx的全部正实根，且满足a《a2<a3,…a"，…，

/K么对于an+「an=-(tanan+i-tanan)=-(1+tanan^i,tana),tan(an+「a”)②

由于工+(n-l)汽<an<n+(n-l)五，—+nn<a.i<n+nn,贝Ij卫<an+l-an<-n

22n22

由于tana、•tanaQO,山②式知tan(a「i,-a,.)<0.由此可知既+厂区必在第二象限

••—<an+i—an<n.

2

［专家把脉］上面解答的错误出现在第三小题的证明，设X。是ff(X。)的根，则认为xo

是f(x)的一个极值点，没有判断f'(x)在(g+kn,X。)和(xo+n+kn)上的符号是否异号，

这显然是错误的.

［对症下药］(1)证明：由函数f(x)的定义，对任意整数k,有f(x+2kn)-n(x)=(x+2k

n)sin(x+2kn)-xsinx=(x+2k冗)sinx-xsinx=2knsinx.

(2)证明：函数f(x)在定义域R上可导f'(x)=sinx+xcosx,①

令f'(x)=0,得sinx+xcos=0显然，对于满足上述方程x有cosxWO,上述方程化简为

x=-tanx.如图所示，此方程一定有解f(x)的极值点xo一定满足tanxo=-xo•

i-,-2_si.n-9xtan2x.?tan2x(\

rEtlsinx=------=----—得sin-X。=-----产一.

sinzx+coszx1+tan2x1+tanzxg

[f(Xo)]*二*•sin?勺=X°

l+%6

(3)证明：设x0>0是f'(x)=O的任意正实根，即xo-tanxo,则存在一个非负整数k,使

X口>"，"⑺，即x,在第二或第四象限内.由①式f，(x)sx(tanx+x)在第二象

限或第四象限中的符号可列表如下：

X工0与，兀+k兀

『(X)的符号K为奇数-0+

K为偶数+0-

所以满足f'(x)=0的正根X。都为f(x)的极值点.

由题设条件,aba2>…，an…为方程x=-tanx的全部正实根且满足a《a2<……那么对

于n=L2,

-_

an+ian=-(tananHtanan)

-

=-(l+tanan*i•tanan)tan(an*ia„).②

由于C+(nT)n<a»<n+(n-l)n,—+nn<an+i<冗+n五，则—<an+l_an<网■，由于

2222

tanan+i•tanal(>0,由②式知tan(an+]-an)〈.0由此可知2田-&1必在第二象限，即兀.

综上，—<a»i-a<叮

2nn

专家会诊

处理与角度有关的应用问题时，可优先考虑三角方法，其一般步骤是：具体设角、构造

三角函数模型，通过三角变换来解决.另外，有些代数问题，可通过三角代换，运用三角知

识来求解.有些三角问题，也可转化成代数函数，利用代数知识来求解如前面第2、3题.

考场思维训练

1将参数方程小，2二'(。为参数)化为普通方程，所得方程是_____________

[y=2sin夕

答案：解析：(x-l)2+y、4由[X=1+21S9

[y=2sm8

.Jx-1=2cos^

>[y=2sin

2若x?+y2=4,则x-y的最大值是.

答案：2Vl解析：设x：2cos0,y=2sin0,贝ljx-y=2(sin0-cos0)=2后sin(0-工)

当0=2kn”时,(x-y)max=242

4

3某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室,如图所示，ABCD是一块边长为

50米的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40米，矩形AGHM就是拟建的

健身室，其中C、M分别在AB和AD上，H在EF上，设矩形AGHM的面积为S,ZHCF=0,

请将S表示为0的函数，并指出当点H在EF的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是

多少？

答案：解：延长GH交CD于P

VGH//AM,AHP1CD.

VZHCP=ZHCF=0,CH=40,

VHP=CH-sin。=40sinO.

CP=CH•cos0=40COS0.

于是HG=50-40sin。，HM=50-40cos。,

・,・矩形AGHM的面积S=HG.HM=(50知Osin0)(50-40cos0)(0W0W工).

2

整理,得S=100[25-20(sin8+cos0)+16sin6cos9].

设sin0+cos0=t,贝ij2sin8cos。=t2-l.

V0^0-,・・.iwtw拒

2

S=100[25-20t+8(t-l)]=100(8t-20t+17)=800(t--)2+450.

4

当t=l时，S有最大值，且S或大值=500.

此时，2sin0cos0=0,即sin20=0.

70^