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文档简介

人教版初二上册压轴题模拟数学综合试卷附答案1.如图,是等边三角形,点分别是射线、射线上的动点,点D从点A出发沿着射线移动,点E从点B出发沿着射线移动,点同时出发并且移动速度相同,连接.(1)如图①,当点D移动到线段的中点时,与的长度关系是:_______.(2)如图②,当点D在线段上移动但不是中点时,探究与之间的数量关系,并证明你的结论.(3)如图③,当点D移动到线段的延长线上,并且时,求的度数.2.已知,A(0,a),B(b,0),点为x轴正半轴上一个动点,AC=CD,∠ACD=90°.(1)已知a,b满足等式|a+b|+b2+4b=-4.①求A点和B点的坐标;②如图1,连BD交y轴于点H,求点H的坐标;(2)如图2,已知a+b=0,OC>OB,作点B关于y轴的对称点E,连DE,点F为DE的中点,连OF和CF,请补全图形,探究OF与CF有什么数量和位置关系,并证明你的结论.3.在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于点A(–a,0)、点B(0,b),且a、b满足a2+b2–4a–8b+20=0,点P在直线AB的右侧,且∠APB=45°.(1)a=;b=.(2)若点P在x轴上,请在图中画出图形(BP为虚线),并写出点P的坐标;(3)若点P不在x轴上,是否存在点P,使△ABP为直角三角形?若存在,请求出此时P的坐标;若不存在,请说明理由.4.如图1,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x、y轴上,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使,点C在第一象限.(1)若点A(a,0),B(0,b),且a、b满足,则______,_____,点C的坐标为_________;(2)如图2,过点C作轴于点D,BE平分,交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点G,求证:CG垂直平分EF;(3)试探究(2)中OD,OE与DF之间的关系,并说明理由.5.如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点,点D从点A出发沿射线AB移动,点E从点B出发沿BG移动,点D、点E同时出发并且运动速度相同.连接CD、DE.(1)如图①,当点D移动到线段AB的中点时,求证:DE=DC.(2)如图②,当点D在线段AB上移动但不是中点时,试探索DE与DC之间的数量关系,并说明理由.(3)如图③,当点D移动到线段AB的延长线上,并且ED⊥DC时,求∠DEC度数.6.已知ABC中,∠BAC=60°,以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE.(1)连接AE、CD,如图1,求证:AE=CD;(2)若N为CD中点,连接AN,如图2,求证:CE=2AN(3)若AB⊥BC,延长AB交DE于M,DB=,如图3,则BM=_______(直接写出结果)7.如图,在等边中,,分别为,边上的点,,.(1)如图1,若点在边上,求证:;(2)如图2,连.若,求证:;(3)如图3,是的中点,点在内,,点,分别在,上,,若,直接写出的度数(用含有的式子表示).8.如图,在等边△ABC中,AB=AC=BC=6cm,现有两点M、N分别从点A、B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次回到点B时,点M、N同时停止运动,设运动时间为ts.(1)当t为何值时,M、N两点重合;(2)当点M、N分别在AC、BA边上运动,△AMN的形状会不断发生变化.①当t为何值时,△AMN是等边三角形;②当t为何值时,△AMN是直角三角形;(3)若点M、N都在BC边上运动,当存在以MN为底边的等腰△AMN时,求t的值.【参考答案】2.(1)(2),证明见详解(3)【分析】(1)由题意可知,所以,由等边三角形及中点可知,而,所以可证,进一步可证;(2)猜测,在射线AB上截取,如图(见详解),利用等边三角形的性质及可解析:(1)(2),证明见详解(3)【分析】(1)由题意可知,所以,由等边三角形及中点可知,而,所以可证,进一步可证;(2)猜测,在射线AB上截取,如图(见详解),利用等边三角形的性质及可知为等边三角形,再利用边角边即可证明,最后根据全等三角形的性质即可证明;(3)按照第(2)问的思路,作出类似的辅助线:在射线CB上截取,如图(见详解),用同样的方法证明,再根据ED⊥DC,证出为等腰直角三角形,即可求出∠DEC的度数.(1)解:,证明过程如下:由题意可知,∵D为AB的中点,∴,∴,∴.∵为等边三角形,,∴.∵,∴,∴,∴.(2)解:,理由如下:在射线AB上截取,连接EF,如图所示,∵为等边三角形,∴,.∵,,∴为等边三角形,∴,.由题意知,∴,∴.即.∵,∴.在和中,,∴,∴DE与DC之间的数量关系是.(3)如图,在射线CB上截取,连接DF,如图所示,∵为等边三角形,∴,.∵,,∴为等边三角形,∴,,∴.由题意知,∵,∴,即.∵,∴.在和中,,∴,∴.∵ED⊥DC,∴为等腰直角三角形,∴.【点睛】本题主要考查了等腰三角形,等边三角形,以及全等三角形的判定及性质,能够作出辅助线,并合理利用等边三角形的性质是解题的关键.3.(1)①A(0,2),B(-2,0);②H(0,-2);(2)CF⊥OF,CF=OF,证明见解析.【分析】(1)①利用绝对值、完全平方的非负性的应用,求出a、b的值,即可得到答案;②过C作y解析:(1)①A(0,2),B(-2,0);②H(0,-2);(2)CF⊥OF,CF=OF,证明见解析.【分析】(1)①利用绝对值、完全平方的非负性的应用,求出a、b的值,即可得到答案;②过C作y轴垂线交BA的延长线于E,然后证明△CEA≌△CBD,得到OB=OH,即可得到答案;(2)由题意,先证明△DFG≌△EFO,然后证明△DCG≌△ACO,得到△OCG是等腰直角三角形,再根据三线合一定理,即可得到结论成立.【详解】解:(1)∵,∴,∴,∴,,∴,∴,∴A(0,2),B(2,0);②过C作x轴垂线交BA的延长线于E,∵OA=OB=2,∠AOB=90°,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠ABO=45°,∵EC⊥BC,∴△BCE是等腰直角三角形,∴BC=EC,∠BCE=90°=∠ACD,∴∠ACE=∠DCB,∵AC=DC,∴△CEA≌△CBD,∴∠CBD=∠E=45°,∴OH=OB=2,∴H(0,2);(2)补全图形,如图:∵点B、E关于y轴对称,∴OB=OE,∵a+b=0,即∴OA=OB=OE延长OF至G使FG=OF,连DG,CG,∵OF=FG,∠OFE=∠DFG,EF=DF∴△DFG≌△EFO∴DG=OE=OA,∠DGF=∠EOF∴DG∥OE∴∠CDG=∠DCO;∵∠ACO+∠CAO=∠ACO+∠DCO=90°,∴∠DCO=∠CAO;∴∠CDG=∠DCO=∠CAO;∵CD=AC,OA=DG∴△DCG≌△ACO∴OC=GC,∠DCG=∠ACO∴∠OCG=90°,∴∠COF=45°,∴△OCG是等腰直角三角形,由三线合一定理得CF⊥OF∵∠OCF=∠COF=45°,∴CF=OF;【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,轴对称的性质,非负性的应用,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的作出辅助线进行解题.4.(1)2,4;(2)见解析,(4,0);(3)P(4,2)或(2,﹣2).【分析】(1)将已知等式变形,利用乘方的非负性即可求出a值;(2)根据题意画出图形,由(1)得出OB的长,结合∠AP解析:(1)2,4;(2)见解析,(4,0);(3)P(4,2)或(2,﹣2).【分析】(1)将已知等式变形,利用乘方的非负性即可求出a值;(2)根据题意画出图形,由(1)得出OB的长,结合∠APB=45°,得出OP=OB,可得点B的坐标;(3)分当∠ABP=90°时和当∠BAP=90°时两种情况进行讨论,结合全等三角形的判定和性质即可求出点P坐标.【详解】解:(1)∵a2+b2–4a–8b+20=0,∴(a2–4a+4)+(b2–8b+16)=0,∴(a–2)2+(b–4)2=0∴a=2,b=4,故答案为:2,4;(2)如图1,由(1)知,b=4,∴B(0,4),∴OB=4,点P在直线AB的右侧,且在x轴上,∵∠APB=45°,∴OP=OB=4,∴P(4,0),故答案为:(4,0);(3)存在.理由如下:由(1)知a=﹣2,b=4,∴A(﹣2,0),B(0,4),∴OA=2,OB=4,∵△ABP是直角三角形,且∠APB=45°,∴只有∠ABP=90°或∠BAP=90°,Ⅰ、如图2,当∠ABP=90°时,∵∠APB=∠BAP=45°,∴AB=PB,过点P作PC⊥OB于C,∴∠BPC+∠CBP=90°,∵∠CBP+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠BPC,在△AOB和△BCP中,,∴△AOB≌△BCP(AAS),∴PC=OB=4,BC=OA=2,∴OC=OB﹣BC=2,∴P(4,2),Ⅱ、如图3,当∠BAP=90°时,过点P'作P'D⊥OA于D,同Ⅰ的方法得,△ADP'≌△BOA,∴DP'=OA=2,AD=OB=4,∴OD=AD﹣OA=2,∴P'(2,﹣2);即:满足条件的点P(4,2)或(2,﹣2);【点睛】本题考查了非负数的性质,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,难度不大,解题的关键是要根据直角三角形的性质进行分类讨论.5.(1),;C(8,4);(2)证明见解析;(3),理由见解析.【分析】(1)利用绝对值的非负性求出a,b的值,作轴交于点D,证明,进一步可求出点C坐标;(2)利用已知证明,,再证解析:(1),;C(8,4);(2)证明见解析;(3),理由见解析.【分析】(1)利用绝对值的非负性求出a,b的值,作轴交于点D,证明,进一步可求出点C坐标;(2)利用已知证明,,再证明,得到,,利用平行性质得到,进一步得,再利用HL定理证明,可得,即可证明CG垂直平分EF;(3)证明得到,,又由(2)可知,进一步可得.(1)解:∵,即:,∴,,作轴交于点D,∵,,∴,在和中,∴,∴,,∴,即.(2)证明:∵,BE平分,∴,,在和中,∴,∴,,∵,∴,∴,∴,∴,在和中,∴,∴,即CG垂直平分EF.(3)解:,理由如下:∵,,∴,在和中,∴,∴,,∵,∴,又由(2)可知,∴,即.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,绝对值非负性,垂直平分线的判定,平行线的性质,坐标与图形.本题综合性较强,熟练掌握等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.6.(1)见详解;(2)DE=DC,理由见详解;(3)∠DEC=45°【分析】(1)由题意可知,所以,由等边三角形及中点可知,而,所以可证,进一步可证(2)猜测,寻找条件证明即可.最常用解析:(1)见详解;(2)DE=DC,理由见详解;(3)∠DEC=45°【分析】(1)由题意可知,所以,由等边三角形及中点可知,而,所以可证,进一步可证(2)猜测,寻找条件证明即可.最常用的是证明两个三角形全等,但图中给出的三角形中并未出现全等三角形,所以添加辅助线:在射线AB上截取,这样只要证明即可.利用等边三角形的性质及可知为等边三角形,这样通过两个等边三角形即可证明.(3)按照第(2)问的思路,作出类似的辅助线:在射线CB上截取,用同样的方法证明,又因为ED⊥DC,所以为等腰之间三角形,则∠DEC度数可求.【详解】由题意可知∵D为AB的中点∵为等边三角形,(2)理由如下:在射线AB上截取,连接EF∵为等边三角形∴为等边三角形由题意知即在和中,(3)如图,在射线CB上截取,连接DF∵为等边三角形∴为等边三角形由题意知即在和中,∵ED⊥DC∴为等腰直角三角形【点睛】本题主要考查了等腰三角形,等边三角形,全等三角形的判定及性质,能够作出辅助线,并合理利用等边三角形的性质是解题的关键.7.(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)先判断出∠DBC=∠ABE,进而判断出△DBC≌△ABE,即可得出结论;(2)先判断出△ADN≌△FCN,得出CF=AD,∠NCF=∠AN解析:(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)先判断出∠DBC=∠ABE,进而判断出△DBC≌△ABE,即可得出结论;(2)先判断出△ADN≌△FCN,得出CF=AD,∠NCF=∠AND,进而判断出∠BAC=∠ACF,即可判断出△ABC≌△CFA,即可得出结论;(3)先判断出△ABC≌△HEB(ASA),得出,,再判断出△ADM≌△HEM(AAS),得出AM=HM,即可得出结论.(1)解:∵△ABD和△BCE是等边三角形,∴BD=AB,BC=BE,∠ABD=∠CBE=60°,∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC,∴∠DBC=∠ABE,∴△ABE≌△DBC(SAS),∴AE=CD;(2)解:如图,延长AN使NF=AN,连接FC,∵N为CD中点,∴DN=CN,∵∠AND=∠FNC,∴△ADN≌△FCN(SAS),∴CF=AD,∠NCF=∠AND,∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD+∠ADN=60°∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°,∴∠BAC=∠ACF,∵△ABD是等边三角形,∴AB=AD,∴AB=CF,∵AC=CA,∴△ABC≌△CFA(SAS),∴BC=AF,∵△BCE是等边三角形,∴CE=BC=AF=2AN;(3)解:∵△ABD是等边三角形,∴,∠BAD=60°,在Rt△ABC中,∠ACB=90°-∠BAC=30°,∴,如图,过点E作EH//AD交AM的延长线于H,∴∠H=∠BAD=60°,∵△BCE是等边三角形,∴BC=BE,∠CBE=60°,∵∠ABC=90°,∴∠EBH=90°-∠CBE=30°=∠ACB,∴∠BEH=180°-∠EBH-∠H=90°=∠ABC,∴△ABC≌△HEB(ASA),∴,,∴AD=EH,∵∠AMD=∠HME,∴△ADM≌△HEM(AAS),∴AM=HM,∴∵,,∴.故答案为:.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等边三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,构造出全等三角形是解本题的关键.8.(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)连接DF,根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形,则DF=EF,又△ABC是等边三角形,根据三角形内角和可解析:(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)连接DF,根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形,则DF=EF,又△ABC是等边三角形,根据三角形内角和可得出,∠AFD=∠FEC,所以△ADF≌△CFE(AAS),则AD=CF;(2)过点F作JKAC交AB于点J,交BC于点K,过点F作PIAB交AC于P,交BC于点I,连接DF,则△BJK和△CPI是等边三角形,△BDE≌△JFD≌KEF,所以DJ=BE=FK,因为ABPI,FKAC,所以四边形AJFP是平行四边形,则AJ=PF,易得△CPI为等边三角形,由∠FCB=30°可得CF平分∠PCI,则FI=FP,所以FP=AJ,FK=BE=DJ,FI=FK,所以AJ=DJ=BE,即AD=AJ+DJ=2BE;(3)延长MO到点G,使OG=OM,连接NG,BG,NM,作∠ACQ=∠ABN,且使CQ=BN,连接MQ,AQ,先得到△BOG≌△COM(SAS),再得到△ACQ≌△ABN(SAS)和△BNG≌△CQM(SAS),所以∠NAM=∠MAQ=∠CAM+∠CAQ=∠CAM+∠BAN,所以∠CAM+∠BAN=30°,则∠CAM=,所以∠BAN=30°-.(1)证明:如图,连接,,,∵是等边三角形,∴,∵是等边三角形,∴,,,,,,,;(2)证明:如图,过点作交于点,交于点,过点作交于,交于点,连接,,,和是等边三角形,,,是等边三角形,由(1)中结论可知,,,,,四边形是平行四边形,,,,为等边三角形,,,平分,是等边三角形,,,,,,即;(3)如图,延长到点,使,连接,,,作,且使,连接,,,,,,,,,,,,,,,是等边三角形,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,又,,,.【点睛】本题属于三角形的综合题,涉及全等三角形的性质与判定,等边三角形的性质与判定,等腰三角形三线合一等知识,类比思想及构造的思想进行分析,仿造(1)中的结论构造出全等三角形是解题关键.9.(1)当M、N运动6秒时,点N追上点M;(2)①,△AMN是等边三角形;②当或时,△AMN是直角三角形;(3)【详解】(1)首先设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,表示出M,N的运动路程,N的解析:(1)当M、N运动6秒时,点N追上点M;(2)①,△AMN是等边三角形;②当或时,△AMN是直角三角形;(3)【详解】(1)首先设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,表示出M,N的运动路程,N的运动路程比M的运动路程多6cm,列出方程求解即可;(2)①根据题意设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,然后

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