2024年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）专题08 圆锥曲线（六大题型解析版）

专题08圆锥曲线题型01圆的方程1.（2024·广东湛江·二模）若复数的实部为，则点的轨迹是（

）A．直径为2的圆 B．实轴长为2的双曲线C．直径为1的圆 D．虚轴长为2的双曲线【答案】A【详解】因为，所以，即，所以点的轨迹是直径为2的圆.故选：A.2.（2024·广东韶关·二模）过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】如图，设经过点的直线交x轴于点，反射直线与圆相切于点，直线，即，令，解得，即，又，所以，所以直线，即，则点到直线直线的距离为，即.故选：D3．（2024·广东佛山·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D． E．均不是【答案】B【详解】圆可化为，即圆心为，半径为，故圆心到点的距离为，则，由，故，故.故选：B.4.（2024·广东深圳·模拟预测）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．内含 D．内切【答案】C【详解】圆即圆的圆心半径分别为，圆的圆心半径分别为，因为，解得或（舍去），从而，所以，因为，所以圆M与圆的位置关系是内含.故选：C.5.（2024·广东清远·二模）已知分别是圆与圆上的动点，若的最大值为12，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】圆的圆心为半径，圆的圆心为半径，故两圆不是内切和内含，由题意知的最大值等于12，则，所以.又，所以.故选：D.6.（2024·广东中山·二模）直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，令劣弧的两个端点为，则为等边三角形，故圆心到直线的距离等于，即，解得.故选：B.7．（2024·广东肇庆·二模）已知为圆上的动点，点满足，记的轨迹为，则下列说法错误的是（

）A．轨迹是一个半径为3的圆B．圆与轨迹有两个交点C．过点作圆的切线，有两条切线，且两切点的距离为D．点为直线上的动点，则PB的最小值为【答案】D【详解】对A，设，，则由得，即，又因为为圆上的动点，所以满足，即轨迹是一个半径为3的圆，故A正确；对B，因为圆心距，所以圆与轨迹有两个交点，故B正确；对C，由于，半径为3，所以切线长为4，所以两切点的距离满足，即，故C正确；对D，首先圆心到直线的距离为，则该直线与圆相离，因为点为直线上的动点，则PB的最小值为，故D错误；故选：D.8.（2024·广东梅州·二模）已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（

）A．一个离心率为的椭圆上 B．一个离心率为2的双曲线上C．一个离心率为的椭圆上 D．一个离心率为的双曲线上【答案】D【详解】圆的圆心为，依题意可知直线过圆的圆心，则，所以点必在双曲线即上，且该双曲线的离心率．故选：D.9.（2024·广东东莞·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为.【答案】【详解】由于直线与平行，且均与相切，两直线之间的距离为圆的直径，即，又在上，所以为切点，故过且与垂直的直线方程为，联立，所以与相切于点，故圆心为与的中点，即圆心为，故圆的方程为，故答案为：题型02椭圆、双曲线的离心率1.（2024·广东佛山·二模）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．下图展示了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点表示地球中心，点表示月球中心．嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道作圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点处沿圆的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道运行，并且点为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在近月球表面附近的点处减速变轨作圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道的离心率约为（

）A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.97【答案】D【详解】设此椭圆的长半轴长为，半焦距为，月球半径为，地球半径为，月球中心与地球中心距离为，则，，于是，，所以离心率为．故选：2．（2024·广东肇庆·二模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，

则根据椭圆及双曲线的定义得：，，设，根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则，则在中，由余弦定理得，，化简得，即，则，当且仅当，即时等号成立，故选：A.3.（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是C的两个焦点，，点Q在的平分线上，O为原点，，且．则C的离心率为A． B． C． D．【答案】C4.（2024·广东佛山·模拟预测）已知圆：（）与双曲线：（，），若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】B【详解】由，故，则，即双曲线与圆有交点，即，即，即，即双曲线的离心率的取值范围是.故选：B.5.（2024·广东佛山·模拟预测）已知，为双曲线（，）的两个焦点，为双曲线上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3 E．均不是【答案】A【详解】如图，设，，，则（当且仅当在顶点时取等号），所以，即，所以.故选：A.6.（2024·广东东莞·模拟预测）已知椭圆，直线与椭圆交于两点（点在点上方），为坐标原点，以为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点，若，则的离心率的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】椭圆的左顶点为，直线过点，且直线与椭圆交于两点（点在点上方），所以，因为，只要，即只要.联立，得，即（*）注意到为方程（*）的一个根，故，则，所以点，可得，由于，故，令，得，即，所以离心率的取值范围是，则的离心率的最大值为.故选：C7.（2024·广东河源·二模）已知分别为双曲线的左､右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，且，在中，由余弦定理得：.因为，所以，平方化简整理得，.又，所以，即，所以，得，则.故选：B.8.（2024·广东湛江·二模）已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是.【答案】【详解】因为，所以，则，所以，则，又.所以C的离心率的取值范围是.故答案为：9.（2024·广东清远·二模）已知双曲线，若，则该双曲线的离心率为.【答案】【详解】.故答案为：.题型03双曲线的渐近线1.（2024·广东韶关·二模）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设双曲线右焦点为，连接.又中，，则,由直线可得，则，又由双曲线可得，则，则有，即又，则有，整理得，解之得则双曲线的渐近线方程为.

故选：C3.（2024·广东东莞·模拟预测）已知直线与双曲线相交于不同的两点，，，为双曲线的左右焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】因为点在双曲线上，所以根据双曲线的定义，可得，又因为，所以，.因为点是的中点，所以，平方后得①.在中利用余弦定理可得：，即②.①②两式联立得：.又因为在双曲线中，所以，即.所以渐近线方程为.故选：C4.（2024·广东珠海·二模）已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为，当时，，即，又，因为M是线段的中点，所以，得，所以，即，所以C的渐近线方程为.故选：C.

题型04抛物线1.（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【详解】由题意可知，设，，联立直线与抛物线方程，所以，而.当且仅当时取得等号.故选：D2.（2024·广东江门·二模）如图，过点的直线交抛物线于两点，点在之间，点与点关于原点对称，延长交抛物线于，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，的面积为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【详解】由题意可得直线斜率不为零，设，，、、，联立，得，，即，，，联立，得，，，，则，则，故，，有，解得，则，，故，点到直线的距离，故.故选：A.3.（2024·广东惠州·模拟预测）已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】过分别作，则是梯形的中位线，故,由于,所以,故,,当且仅当时取等号，故，故的夹角最大值为，故选：C4.（2024·广东中山·二模）已知等轴双曲线的渐近线与抛物线的准线交于两点，抛物线焦点为，的面积为4，则的长度为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】由题意，等轴双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，联立方程组，解得，可得，同理可得，因为的面积为4，可得，解得，则.故选：D.

5.（2024·广东·二模）（多选）设为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点，过点分别作的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的有（

）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】由已知，，设过点的直线方程为：，设点，则，，由，得，所以，，，，所以，故A正确，，故B错误，，,故，C正确，，由选项C可知，所以，故,D正确；故选：ACD6.（2024·广东中山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，则的坐标为；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点；且，则.【答案】【详解】由抛物线，可得，设，则，故，所以，所以.

故答案为：；.7.（2024·广东·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线方程为，则；设为原点，点在抛物线上，若，则.【答案】【详解】由抛物线准线方程为，故，则，，由在抛物线上，故，由，可得，即，即.故答案为：；.8.（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为上一点，且.(1)求的方程；(2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.（i）求点的坐标；（ii）求与的面积之和的最小值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【详解】（1）由题意可得，解得，所以的方程为：；（2）（i）由已知可得直线的斜率不为0，且过点，故可设的直线的方程为，代入抛物线的方程，可得，方程的判别式，设，，不妨设，则,所以直线AD的方程为：，即即，令，可得，所以，所以所以；（ii）如图所示，可得，，所以与的面积之和当且仅当时，即时，等号成立，所以与的面积之和的最小值为.

题型05直线与圆锥曲线的位置关系1.（2024·广东佛山·模拟预测）（多选）已知圆，椭圆，直线，点为圆上任意一点，点为椭圆上任意一点，以下的判断正确的是（

）A．直线与椭圆相交B．当变化时，点到直线的距离的最大值为C．D．【答案】ABD【详解】根据题意可知圆的圆心为，半径为，椭圆的长轴为4，短轴为2，直线恒过定点，显然点在椭圆的内部，如下图所示：显然，直线与椭圆相交，即A正确；当变化时，易知圆心到直线的距离的最大值为，所以点到直线的距离的最大值为，即B正确；设点满足且，可得又易知，显然，显然当时，，可得，即可得C错误，D正确；故选：ABD2.（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（

）A．B．离心率C．面积的最大值为12D．以线段为直径的圆与圆相切【答案】BCD【详解】因为椭圆，则，由椭圆的定义可知，，故A错误；由椭圆离心率公式可得，故B正确；因为设点到轴的距离为，显然，则面积的最大值为，故C正确；线段的中点为，则以线段为直径的圆的方程为，其圆心为，半径，且圆的圆心为，半径，则两圆的圆心距为，即两圆外切，故D正确；故选：BCD3．（2024·广东珠海·二模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以为焦点，过的直线交抛物线于两点，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．当时，直线的倾斜角为C．若为抛物线上一点，则的最小值为 D．的最小值为9【答案】AD【详解】A选项，由题意得，故抛物线方程为，由抛物线定义得，A正确；B选项，由于直线的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，设直线，联立，得，设，则由韦达定理得，故，解得，故直线的斜率为，倾斜角不为，B错误；C选项，由题意得，准线方程为，过点作⊥于点，由抛物线定义得，故，要想求得的最小值，则过点作⊥于点，故的最小值为，最小值为，C错误；D选项，由题意得，由于，故，，因为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9，D正确.故选：AD4.（2024·广东韶关·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．①求点的轨迹方程；②若面积为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）①：由（1）知，，设，则，易知当时，，，此时，由，解得，即；当时，，，设直线的斜率为，则，所以直线方程为，又直线方程为，由，得，即，解得，将代入直线方程，得，即，又，所以，故点的轨迹方程为；②：由，得，又，所以，得，整理得，又，所以，整理得，即，由，解得.5.（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．(1)求椭圆C的方程：(2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得，可得，设椭圆的方程为：，，又因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为：；（2）设与直线平行的直线的方程为，联立，整理可得：，，可得，则，所以直线到直线的距离．所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．6．（2024·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.(1)求双曲线的方程；(2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率.【答案】(1)(2)1【详解】（1）椭圆的焦点为，故，由双曲线的渐近线为，故，故，故双曲线方程为：.（2）设，的中点为，因为在直线，故，而，，故，故，由题设可知的中点不为原点，故，所以，故直线的斜率为.此时，由可得，整理得到：，当即或，即当或时，直线存在且斜率为1.7.（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点A在椭圆E上且在第一象限内，，点A关于y轴的对称点为点B．(1)求A点坐标；(2)在x轴上任取一点P，直线与直线相交于点Q，求的最大值；(3)设点M在椭圆E上，记与的面积分别为，，若，求点M的坐标．【答案】(1)(2)3(3)或【详解】（1）解：由椭圆的左，右焦点分别为，，设，因为，可得，整理得，又因为，联立方程组，解得，，所以点点坐标为.（2）解：设P点坐标为，则可得Q点坐标为，由，当时，取最大值，最大值为.（3）解：点的坐标为，点的坐标为，则点O到线段的距离，若，则点M到线段的距离应为，故M点的纵坐标为或，代入椭圆方程，解得M点的横坐标为或，故M点的坐标为或.

题型06圆锥曲线情境题、创新题型1.（2024·广东梅州·二模）（多选）如图，平面，，M为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为30°，点P为平面内的动点，则（

）A．以为球心，半径为2的球面在平面上的截痕长为B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线C．若P到直线MN的距离为1，则的最大值为D．满足的点P的轨迹是椭圆【答案】BC【详解】对于A，由于MN与平面的所成角大小为30°，所以点到平面的距离，故半径为的球面在平面上截面圆的半径为,故截痕长为，A错误，对于B,由于平面，所以以为，在平面内过作,平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系，则,设，则，化简得，故P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，B正确，,所以P到直线MN的距离为，化简可得，所以点的轨迹是平面内的椭圆上一点，如图，当在短轴的端点时，此时最大，由于,故，因此,C正确，对于D,，,若，则，化简得且，故满足的点P的轨迹是双曲线的一部分，D错误，故选：BC2.（2024·广东梅州·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为．已知两定点，，则满足的点M的轨迹所围成的图形面积为．【答案】6【详解】设，由题意,,，可知，故当时，，当时，，当，，当时，，当时，，轨迹方程的图形如图，图形的面积为：．故答案为：6．3.（2024·广东·模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为．

【答案】【分析】设，由，解出得点坐标，结合得抛物线方程.【详解】以的中点为原点，为轴，建立平面直角坐标系，不妨设．由，则有，解得，又，解得，，则有，故抛物线方程为．故答案为：4.（2024·广东·模拟预测）现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A点．物件可绕A点在平面内旋转．AP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．

(1)在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少；(2)为了使椭圆物件能自由绕A点自由转动，AP间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性．【答案】(1)(2)，证明见解析【详解】（1）由题意，如图，该椭圆的方程为，，分别为椭圆的2条切线，切点分别为，设直线的斜率分别为.设，当时，其中1个不存在，另1个趋于；当时，设过点P的直线为，，所以，整理，得，①由是方程①的2个实根，得，所以，又，所以，当时，点P在圆的外部，则，此时；当时，点P在圆的内部，则，此时，所以.又或，所以或，整理，得或.要求的最小值，只需考虑为钝角的情况，即且，得.令，则且，即，解得，所以，所以，当且仅当三点共线时等号成立.故，得.综上，的最小值为.（2）当恒为正实数R时，设为椭圆上任意一点，则，当且仅当时等号成立，所以.由（1）知，或，由，得或，即或，整理，得或，令，则，得或，.当即时，或，令，则，得或，又，得或，而，所以，整理，得，即.当时，，符合题意.综上，，则，即，解得，所以R的最小值为，即的最小值为.

5.（2024·广东佛山·二模）已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．(1)（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长；（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．(2)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)（ⅰ）2；（ⅱ）．(2)存在，点A到直线距离的最大值为2，．【详解】（1）（ⅰ）由题意可知双曲线的实轴在上，联立，解得或，即双曲线的两顶点为，故实轴长为；（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，曲线的方程为；（2）方法一：设，，，显然直线的斜率存在，设：，联立：得，所以，，①，因为：，令，则，同理，，②依题意得，③由①②③得，，所以，即或，若，则：过点A，不合题意；若，则：．所以，恒过，所以，．当且仅当，即时取得，此时方程为，结合，解得，，，综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆