2023学年浙南名校高二数学第二学期期中联考试卷附答案解析

学年浙南名校高二数学第二学期期中联考试卷考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数则（

）A． B． C．5 D．3．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．5．苍南168黄金海岸线由北向南像一条珍珠项链，串联了一个个金色沙滩､岛礁怪石､肥沃滩涂和一座座渔村古寨､山海营地，被赞为中国东海岸“一号公路”.现有小王和小李准备从烟堆岗，炎亭沙滩，棕榈湾，滨海小镇4个网红景点中随机选择一个游玩，设事件为“小李和小王选择不同的景点”，事件为“小李和小王至少一人选择炎亭沙滩景点”，则（

）A． B． C． D．6．已知正项等差数列的前项和为，则的最大值为（

）A．4 B．8 C．16 D．327．已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．8．已知函数在区间上恰有三个零点，且，则的取值可能为（

）A． B． C． D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知随机变量的分布列如下，则正确的是（

）12A． B．C．若，则 D．10．如图，正方体的棱长为是线段上的两个动点，且，是的中点，则下列结论中正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．平面C．在线段上存在一点，使得平面D．平面截正方体的外接球的截面面积为11．已知函数（是自然对数的底数），则下列说法正确的是（

）A．若，则不存在实数使得成立B．若，则不存在实数使得成立C．若的值域是，则D．当时，若存在实数，使得成立，则非选择题部分三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12．二项式展开式中所有项的系数之和为.13．2024年2月1日至4日花样滑冰四大洲锦标赛在中国上海举行，甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者承担语言服务､医疗服务､驾驶服务3个项目志愿服务，每名志愿者需承担1项工作，每项工作至少需要1名志愿者，甲不承担语言服务，则不同的安排方法有种.（用数字作答）14．已知，对任意都有，则实数的取值范围是.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15．锐角中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.16．已知．(1)当时，求的单调区间；(2)若在上有零点，求实数的取值范围．17．平行四边形中，，点为的中点，将沿折起到位置时，.(1)求证：；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.18．在已知数列中，(1)求及数列的通项公式；(2)已知数列的前项和为，求证：；(3)中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由.19．已知直线与抛物线相交于两点.(1)求（用表示）；(2)过点分别作直线的垂线交抛物线于两点.（i）求四边形面积的最小值；（ii）试判断直线与直线的交点是否在定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由.1．D【分析】根据一元二次不等式的解法解集合A，结合交集的概念与运算即可求解.【详解】，所以.故选：D2．B【分析】根据复数模长的计算公式，直接求解即可.【详解】由题可得：.故选：B.3．A【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解.【详解】若，则，所以方程表示双曲线；若方程表示双曲线，则，解得或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A4．D【分析】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解.【详解】解：因为，所以，设与的夹角为，所以，所以.故选：D5．C【分析】先求出事件发生的概率和事件A和事件B共同发生的概率，利用条件概率公式即可求出.【详解】由题可知，小王和小李从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有种，其中事件的情况有种，事件A和事件B共同发生的情况有种，所以，所以.故选：C.6．B【分析】根据已知条件，求得，再结合基本不等式即可求得结果.【详解】由，可得；又，又，故，当且仅当时取得等号；即的最大值为.故选：B.7．C【分析】设切线为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，由得，进而，根据直线与圆的位置关系与点到直线的距离公式可得，则，即可求解.【详解】如图，设切线方程为，，消去，得，则①，又，所以，代入①，得，则，整理得②.又圆心到直线的距离等于半径，半径，则，解得，代入②，整理得，所以，由，解得.故选：C8．B【分析】利用辅助角公式可得，结合选项，确定的取值范围，根据正弦函数的性质验证函数是否有3个零点且满足即可.【详解】.A：当时，，由，得，函数有3个零点；，所以，不符合题意，故A错误；B：当时，，由，得，函数有3个零点；，，，所以，符合题意，故B正确；C：当时，，由，得，函数不止有3个零点，不符合题意，故C错误；D：当时，，由，得，函数不止有3个零点，不符合题意，故D错误；故选：B【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质的综合问题，确定的取值范围是解决本题的关键.9．ABD【分析】利用分布列的性质求得的关系，再根据随机变量的概率公式与期望、方差公式即可得解.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，，则的分布列如下：14所以，则.故选：ABD.10．AC【分析】利用等体积法转化判断A；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断BC；利用向量求出球心到平面的距离求出截面圆面积判断D.【详解】对于A，三棱锥的体积，点到直线距离为，而，则面积为定值，又点到平面的距离为2，因此三棱锥的体积为定值，A正确；在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，对于B，，与向量不共线，则与平面不垂直，B错误；对于C，令，而，则，要平面，必有，因此，解得，即为的中点，此时平面，则平面，C正确；对于D，正方体的外接球球心是线段的中点，，点到平面的距离，而球半径，平面截球所得截面圆半径，所以该截面圆面积为，D错误.故选：AC11．BCD【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：分类讨论，求方程的根，即可得结果；对于C：分和两种情况，结合分段函数值域分析求解；对于D：先证由是单调递增函数，若存在使得，则，结合题意分析求解.【详解】对于选项A：例如，则，即存在实数使得成立，故A错误；对于选项B：若，对于关于x方程，当时，则，可得，整理得，则，可知方程无解；当时，则，可得，整理得，不成立，可知方程无解；当时，则，可得，整理得，则，可知方程无解；综上所述：关于x方程无解，即不存在实数使得成立，故B正确；对于选项C：若，当时，；当时，；此时的值域为，不为，不合题意；若，当时，；当时，；若的值域为，则，解得；综上所述：的取值范围为，故C正确；对于选项D：当时，易得在上单调递增，所以单调递增，下面证明：是单调递增函数，若存在使得，则，记，则，即和都在图像上假设，因为是单调递增函数，则，即，所以矛盾；假设，因为是单调递增函数，所以，即，所以矛盾；故，即，因此由题意若存在实数使得成立，则存在实数使得成立，又因为即存在实数使得成立而在上递增，所以得，故，故D正确；故选：BCD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接求零点：令，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12．【分析】令，可得所有项的系数之和，运算求解即可.【详解】令，可得所有项的系数之和为.故答案为：.13．100【分析】根据甲不承担语言服务，分别从乙､丙､丁､戊中选1人，2人或3人承担语言服务，再把剩下的人分为2组承担医疗服务､驾驶服务求解.【详解】解：因为甲不承担语言服务，第一类是从乙､丙､丁､戊中选1人承担语言服务，则有种，再把剩下的4人分为2组承担医疗服务､驾驶服务，则有种，共有种；第二类是从乙､丙､丁､戊中选2人承担语言服务，则有种，再把剩下的3人分为2组承担医疗服务､驾驶服务，则有种，共有种；第三类是从乙､丙､丁､戊中选3人承担语言服务，则有种，再把剩下的2人分为2组承担医疗服务､驾驶服务，则有种，共有种；综上不同的安排方法有种，故答案为：10014．【分析】由已知条件得恒成立，构造函数，由单调性转化为恒成立，再次构造函数，由其单调性及最值转化为恒成立，从而得结果.【详解】因为，即，令，令，即，所以，令，即，所以，所以在上为减函数，在上为增函数，依题意有，又，所以在恒成立，令函数，令，即，所以，令，即，所以，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，故，故答案为：.【点睛】关键点睛：本题关键是通过已知条件转化为恒成立，构造函数构造函数，利用导数求其单调性并由单调性转化为恒成立，再次构造函数，根据其单调性及最值可得结果.15．(1)；(2).【分析】（1）分别利用余弦定理或者正弦定理对原式进行边角互化，结合三角形面积公式，求得，即可求得；（2）利用正弦定理，将转化为关于的三角函数，结合的范围，求得该三角函数值域，即可求得结果.【详解】（1）方法一：因为；又因为，所以，即；又因为为锐角三角形，所以.方法二：，所以，即，，则，得；因为为锐角三角形，所以.（2）由正弦定理得：，因为为锐角三角形，所以：，即，所以，即.16．(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出，讨论导数的正负求单调区间即可；（2）分类讨论，当时，将问题转化为在上有解，利用导数得出的单调性及最值，即可求解．【详解】（1）当时，，由显然递增，令，得，所以当，在上单调递增，当，在上单调递减，故在上单调递增，在上单调递减．（2）①当时，，在上有零点，不合题意；②当时，在上有解在上有解，则，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，函数值从0增大到；在上单调递减，函数值从减小到0；因为在上有解所以，解得，综上，．17．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据已知条件及余弦定理及勾股定理的逆定理，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理即可求解；（2）方法一，利用等腰三角形的三线合一及二面角的平面角的定义，再利用勾股定理及线面垂直的性质定理，结合锐角三角函数即可求解；方法二，根据（1）的结论及面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的夹角的关系即可求解.【详解】（1）如图，连接，在中，由余弦定理可得,又,即，易得为正三角形所以与全等，，，又平面，平面，又平面，（2）（2）方法一：取的中点连接，如图所示又为二面角的平面角在正中，，在等腰中，，.由（1）可知平面又平面所以,即，为平面与平面的夹角，在中，,故平面与平面的夹角的余弦值为.方法二：由（1）可知平面，又平面，故平面平面，又平面平面，取点是线段的中点可得，过作.则平面.分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示则，，，设平面的法向量为，由，则,即，令，则，故；由平面，得平面的法向量为，设平面与平面所成角为，则，故平面与平面的夹角的余弦值为.18．(1)9，(2)证明见解析；(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由题意中的递推公式可得、，结合等比数列的定义即可求解；（2）由可得，结合裂项相消求和法计算即可求解；（3）存在不同的三项恰好成等差数列，分类讨论均为奇数、二奇一偶、一奇二偶、均为偶数的情况下，结合等差中项的应用即可下结论.【详解】（1）由题意得，，所以成等比数列，故；，所以成等比数列，故，故；（2）由，得；（3）设中存在不同的三项恰好成等差数列，①若均为奇数，不妨设，则，即，得，因为是奇数，是偶数，故不可能成立；②若二奇一偶，不妨设为奇数，为偶数，则为偶数，为奇数，则，即，因为被3除余2，同理也被3除余2，故被3除余1，而为3的倍数，故不可能成立；③若一奇二偶，不妨设为偶数，为奇数，则为奇数，为偶数，则，即，因为为3的倍数，不是3的倍数（被3除余1），故不可能成立；④若均为偶数，不妨设，则，即，得，因为被3除余是3的倍数，故不可能成立，综上中不存在不同的三项恰好成等差数列.另：情形①的另证：若均为奇数，不妨设，则，即，且得，得，故不可能成立.19．(1)(2)（i）；（ii）是，【分析】（1）联立方程，利用韦达定理结合弦长公式化简即可得到答案；（2）（方法一）（i）设，利用两点间的斜率公式结合垂直关系求出和，从