2024年高考数学复习解答题解题思路训练专题03 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练) 含解析

2024年高考数学复习解答题解题思路训练专题03利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 2题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 3题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 4三、专项训练 5一、必备秘籍一、含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）借助导函数有效部分的图象辅助解题：①令，确定其零点，并在轴上标出②观察的单调性，③根据①②画出草图2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有效部分的图象辅助解题：①对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点②观察的开口方向，③根据①②画出草图3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型①对，求②分类讨论③对于，利用求根公式求的两根，④判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负⑤画出草图二、含参问题讨论单调性的原则1、最高项系数含参，从0开始讨论2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论3、考虑根是否在定义域内二、典型题型题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.3．（2023上·四川成都·高三成都外国语学校校考开学考试）已知函数，(1)当时，求的最值；(2)求的单调区间．4．（2022上·湖南邵阳·高二统考期末）设函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求；(2)求函数的单调区间．题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，讨论的单调区间.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性．3．（2023·全国·高三专题练习）讨论的单调性．4．（2023·全国·模拟预测）已知.(1)讨论函数的单调性.5．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型1．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；2．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知函数，其中.(1)令，讨论的单调性；3．（2023上·安徽淮南·高三校考阶段练习）已知函数，其中．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；3．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；三、专项训练1．（2024上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，其中a是正数．(1)讨论的单调性；2．（2023上·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知，，其中是自然对数的底数.(1)若在处取得极值，求的值；(2)讨论的单调区间；3．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间.4．（2023上·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知函数，其中．(1)若是函数的极值点，求a的值；(2)若，讨论函数的单调性．5．（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)讨论的单调性.6．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调区间；7．（2023上·河南·高三西平县高级中学校联考阶段练习）设函数，．(1)讨论的单调性；8．（2023上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数，为的导函数．(1)当时，讨论函数的单调性9．（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知函数(1)求函数的单调区间；10．（2023下·河北石家庄·高三校联考期中）已知函数．(1)求函数的单调区间；专题03利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型） 2题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 4题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型 7三、专项训练 10一、必备秘籍一、含参问题讨论单调性第一步：求的定义域第二步：求（导函数中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.第四步：确定导函数有效部分的类型：1、导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）借助导函数有效部分的图象辅助解题：①令，确定其零点，并在轴上标出②观察的单调性，③根据①②画出草图2、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型借助导函数有效部分的图象辅助解题：①对因式分解，令，确定其零点，并在轴上标出这两个零点②观察的开口方向，③根据①②画出草图3、导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型①对，求②分类讨论③对于，利用求根公式求的两根，④判断两根，是否在定义域内：对称轴+端点正负⑤画出草图二、含参问题讨论单调性的原则1、最高项系数含参，从0开始讨论2、两根大小不确定，从两根相等开始讨论3、考虑根是否在定义域内二、典型题型题型一：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.【答案】答案见解析.【详解】由函数，可得，设，可得，①当时，恒成立，所以在单调递增；②当时，令，解得，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，综上，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性.【答案】答案见解析；【详解】由题可知的定义域为，，当时，，函数在上单调递减；当时，令得，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增；综上，当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.3．（2023上·四川成都·高三成都外国语学校校考开学考试）已知函数，(1)当时，求的最值；(2)求的单调区间．【答案】(1)，无最大值．(2)答案见解析【详解】（1）当时定义域为，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，即，无最大值．（2）定义域为，且，当时恒成立，所以在上单调递减，当时，令解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上可得：当时在上单调递堿；当时在上单调递减，在上单调递增．4．（2022上·湖南邵阳·高二统考期末）设函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求；(2)求函数的单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）由于切点在切线上，所以，函数通过点又，根据导数几何意义，；（2）由可知当时，则；当时，则；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为当时，单调递增区间为，单调递减区间为.题型二：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，讨论的单调区间.【答案】答案见解析【详解】的定义域为，，若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.若，则恒成立，在上单调递增.综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性．【答案】答案见解析【详解】由题设且，当时在上递减；当时，令，当时在区间上递减；当时在上递增．所以当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为.3．（2023·全国·高三专题练习）讨论的单调性．【答案】答案见解析【详解】函数的定义域为：，．（1）当时，，若，则；若，则；∴在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，若或，则；若，则，∴在上单调递减，在上单调递增；（3）当时，，若或，则；若，则，∴在上单调递增，在上单调递减；（4）当时，，∴在上单调递增；（5）当时，，若或，则；若，则，∴在上单调递增，在上单调递减．综上所述：（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，在上单调递增，在上单调递减；（4）当时，在上单调递增；（5）当时，在上单调递增，在上单调递减．4．（2023·全国·模拟预测）已知.(1)讨论函数的单调性.【答案】(1)答案见解析(2)不存在，理由见解析【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，且

①当时，因为，所以，所以.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.②当时，由，解得；由0，解得或.所以在上单调递减，在，上单调递增.③当时，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增.④当时，由，解得；由，解得或.所以在上单调递减，在，上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.5．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）解：因为，所以，设，则，设，可得，可得在上单调递增，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，若，则，所以，在上单调递增；若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．题型三：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型1．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)见解析；【详解】（1）因为函数，所以定义域为：.，当时，，则在区间上单调递增；当时，，即，，所以方程有两个实数根，.①当时，，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；②当时，，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；综上所述：当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；2．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知函数，其中.(1)令，讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）,定义域为,,方程的判别式，当时，，恒成立，所以，在单调递增；当时，，方程有两个不等实根，，∵，∴，∵，∴，∴当或时，；当时，，∴在单调递增；在单调递减.3．（2023上·安徽淮南·高三校考阶段练习）已知函数，其中．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；【答案】(1).(2)详解见解析.【详解】（1）当时，，定义域为，则，所以切线的斜率为，又，所以该切线方程为：，即；（2）函数的定义域为，，令，则.当或即时，恒成立，所以函数在上单调递增；当即时，令或，令，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.3．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）令，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，一元二次方程的判别式为，当时，方程有一个正根，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增；当时，方程有两个正根，分别为，当，或时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立，所以在上单调递减；三、专项训练1．（2024上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，其中a是正数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）因为，所以．①当时，，在上严格递增；②当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；③当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；2．（2023上·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知，，其中是自然对数的底数.(1)若在处取得极值，求的值；(2)讨论的单调区间；【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）由题意可知.由已知得，解得，此时.易知在区间上，；在区间上，即函数在处取得极小值，因此.（2）由可知，所以可得.①若，即时，在上单调递减，在上单调递增；②若，即，则在上单调递减；.综上所述，当时，的减区间是，当时，的减区间是，增区间是3．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，，函数在点处的切线方程为，即.（2）①当时，，函数在上单调递增；②当时，由得，时，单调递减；时，单调递增.综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.4．（2023上·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知函数，其中．(1)若是函数的极值点，求a的值；(2)若，讨论函数的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1），因为是函数的极值点，所以，解得，当时，，若，则，若，则或.即函数在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点.故．（2），，当时，令，解得或，当，即时，当时，，当或时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，当时，，当或时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当，即时，，所以在上单调递减.综上，当时，在上递减，在上递增，在上递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．5．（2023上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，此时，定义域为，所以易知，，所以切线方程为：，整理得.（2）由题意得，①当时，，则在上单调递增；②当时，当时，，则在上单调递增，当时，，在上单调递减；综上，①当时，在上单调递增；②当时，在上单调递增，在上单调递减.6．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调区间；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）函数定义域为，求导得令，得.①当时，，当或时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减；②当时，，所以在上单调递增；③当时，，当或时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.7．（2023