高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1全称量词1.4.2存在量词备课省公开课一等奖新名师获奖PP

1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1/53【自主预习】1.全称量词与全称命题(1)全称量词:在指定范围内,表示整体或全部含义短语,如“_______”“_________”,符号:___.(2)全称命题:含有_________命题叫做全称命题.符号表示:____________.全部任意一个∀全称量词∀x∈M,p(x)2/532.存在量词与特称命题(1)存在量词:表示个别或一部分含义短语,如“_________”“___________”.符号:___.(2)特称命题:含有_________命题叫做特称命题.符号表示:_____________.存在一个最少有一个∃存在量词∃x0∈M,p(x0)3/53【即时小测】1.以下命题中,不是全称命题是()A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值二次函数【解析】选D.A,B,C都是全称命题,D是特称命题.4/532.以下命题中假命题是()A.存在实数α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβB.不存在无穷多个α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ5/53C.对任意α和β,有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβD.不存在这么α和β,使cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ6/53【解析】选B.如α=β=kπ(k∈Z)时,cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ,故B为假命题,其余为真命题.7/533.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a取值范围是________.【解析】对任意x>3,x>a恒成立,即大于3数恒大于a,所以a≤3.答案:(-∞,3]8/534.已知命题:“存在x0∈[1,2],使x02+2x0+a≥0”为真命题,则a取值范围是________.【解析】要使命题为真命题,则22+2×2+a≥0,即a≥-8.答案:[-8,+∞)9/53【知识探究】探究点全称量词(全称命题)与存在量词(特称命题)了解1.你能说出一些惯用全称量词和存在量词吗?提醒:全称量词:一切、任意、任给、每一个、都是(有)、全体、全部、…,存在量词:有一个、有一些、有、对某个、不都是、个别、部分、….10/532.全称命题∀x∈M,p(x)为真含义是什么?提醒:对M中每一个个体x,都含有或满足性质p(x),毫无例外.3.特称命题∃x0∈M,p(x0)为真含义是什么?提醒:在M个体中,最少有一个x0含有或满足性质p(x0),而不是全部个体都不含有性质p(x).11/53【归纳总结】1.了解全称命题及特称命题时应关注三点(1)全称命题就是陈说某集合中全部元素都含有某种性质命题,常见全称量词还有“一切”“每一个”等,对应词语是“都”.12/53(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“全部有理数都是实数”.(3)特称命题就是陈说某集合中存在一个或部分元素含有某种性质命题,常见存在量词还有“存在”等.13/532.全称命题与特称命题区分(1)全称命题中全称量词表明给定范围内全部对象都含有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.(2)特称命题中存在量词则表明给定范围内对象有例外,强调“个别、部分”.14/53易错警示:经过举例验证方式判断全称命题为真易犯以偏概全错误.15/53类型一全称命题与特称命题判定【典例】1.以下语句不是特称命题是()A.有无理数平方是有理数B.有无理数平方不是有理数C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数D.存在x0∈R,2x0+1是奇数16/532.判断以下语句是全称命题,还是特称命题:(1)凸多边形外角和等于360°.(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|.(3)对任意a,b∈R,若a>b,则(4)有一个函数,既是奇函数,又是偶函数.17/53【解题探究】1.典例1中特称命题特征是什么?提醒:含有存在量词,如:有,有些等.2.典例2中判断一个命题是全称命题,还是特称命题关键是什么?提醒:关键是分清量词类型,若没有量词可依据命题意义将量词补上.18/53【解析】1.选C.因为“有”“存在”为存在量词,“任意”为全称量词,所以选项A,B,D均为特称命题,选项C为全称命题.19/532.(1)能够改写为“全部凸多边形外角和等于360°”,是全称命题.(2)含有存在量词“有些”,故是特称命题.(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.(4)含有存在量词“有一个”,是特称命题.【延伸探究】把本例1中各个选项用符号∃,∀表示:20/53【解析】A:∃x0∈{无理数},x02∈Q.B:∃x0∈{无理数},x02∉Q.C:∀x∈Z,2x+1是奇数.D:∃x0∈R,2x0+1是奇数.21/53【方法技巧】判断一个语句是全称命题还是特称命题步骤(1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题.(2)若是命题,再分析命题中所含量词,含有全称量词命题是全称命题,含有存在量词命题是特称命题.22/53(3)当命题中不含量词时,要注意了解命题含义实质.尤其提醒:全称命题可能省略全称量词,特称命题存在量词普通不能省略.23/53【拓展延伸】全称命题、特称命题不一样表述形式应用命题全称命题“∀x∈M,p(x)”特称命题“∃x0∈M,p(x0)”表述方法①全部x∈M,有p(x)成立②对一切x∈M,有p(x)成立③对每一个x∈M,有p(x)成立④任选一个x∈M,有p(x)成立⑤凡x∈M,都有p(x)成立①存在x0∈M,使p(x0)成立②最少有一个x0∈M,使p(x0)成立③对有些x0∈M,使p(x0)成立④对某个x0∈M,使p(x0)成立⑤有一个x0∈M,使p(x0)成立24/53【变式训练】设非空集合P,Q满足P⊆Q,则表述正确是()A.∀x∈Q,有x∈PB.∀x∈P,有x∈QC.∃x0∉Q,使得x0∈PD.∃x0∈P,使得x0∉Q【解析】选B.因为P⊆Q,则由子集定义,P集合中任何一个元素都在Q中,所以选B.25/53类型二全称命题与特称命题真假判断【典例】1.(·新乡高二检测)有以下四个命题:①∀x∈R,2x2-3x+4>0;②∀x∈{1,-1,0},2x+1>0;③∃x0∈N,x02≤x0;④∃x0∈N*,x0为29约数.其中真命题个数为()A.1B.2

C.3D.426/532.(·太原高二检测)已知命题p:∀x>0,x+≥4;命题q:∃x0∈(0,+∞),则以下判断正确是()A.p是假命题B.q是真命题C.p∧(¬q)是真命题D.(¬p)∧q是真命题27/53【解题探究】1.全称命题和特称命题为真含义是什么?提醒:全称命题为真必须所给范围内每一个元素都满足后面性质,特称命题为真必须最少一个元素满足后面性质.28/532.基本不等式内容和指数函数定义域是什么?提醒:基本不等式:a,b∈R+时,

,指数函数定义域为R.29/53【解析】1.选C.对于①,这是全称命题,因为Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故①为真命题;对于②,这是全称命题,因为当x=-1时,2x+1>0不成立,故②为假命题;对于③,这是特称命题,当x0=0或x0=1时,有x02≤x0成立,故③为真命题;对于④,这是特称命题,当x0=1时,x0为29约数成立,所以④为真命题.30/532.选C.由基本不等式知命题p正确;由知,x0=-1,故命题q不正确;结合逻辑联结词含义可知应选C.31/53【延伸探究】1.本例2中命题p改为∀x∈R(x≠0),x+≥4,判断其真假.【解析】当x∈R(x≠0)时,x+∈(-∞,-4]∪[4,+∞),故命题为假命题.32/532.本例2中命题q改为∀x∈(0,+∞),2x>,判断其真假.【解析】当x∈(0,+∞)时,2x>1>恒成立,所以命题为真命题.33/53【方法技巧】全称命题与特称命题真假判断技巧(1)全称命题真假判断:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合M中一个x=x0,使得p(x0)不成马上可(这就是通常所说“举出一个反例”).34/53(2)特称命题真假判断:要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成马上可;不然,这一特称命题就是假命题.尤其提醒:判断全称命题为假比判断其为真轻易,只需一个反例即可;判断特称命题为真比判断其为假轻易,只需一个特例.35/53【赔偿训练】1.以下命题否定为假命题是()A.∀x∈R,-x2+x-1<0B.∀x∈R,|x|>xC.∀x,y∈Z,2x-5y≠12D.∃x0∈R,sin2x0+sinx0+1=036/53【解析】选A.命题否定为假命题亦即原命题为真命题,只有选项A中命题为真命题,其余均为假命题.37/532.以下命题中是真命题且为特称命题是()A.棱柱是多面体B.对任意φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数C.对任意实数x,有cosx≤1D.最少有一条直线过点(2,0)且与圆x2+y2=1相交38/53【解析】选D.A省略了全称量词“全部”是全称命题;B,C中命题都是全称命题.39/53类型三全称命题与特称命题应用【典例】1.(·雅安高二检测)若命题“∃x0∈R使得x02+mx0+2m+5<0”为假命题,则实数m取值范围是()A.[-10,6]B.(-6,2]C.[-2,10]

D.(-2,10)40/532.(·山东高考)若“∀x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m最小值为________.41/53【解题探究】1.典例1中二次不等式解集非空时,判别式应满足什么条件?提醒:大于0.2.典例2中正切函数在上单调性是怎样?提醒:增函数.42/53【解析】1.选C.命题“∃x0∈R,x02+mx0+2m+5<0”为真时,说明不等式x2+mx+2m+5<0有解,所以判别式Δ=m2-4(2m+5)>0,解得m<-2或m>10,所以当命题为假时,m取值范围是[-2,10].43/532.若“∀x∈,tanx≤m”是真命题,则m大于或等于函数y=tanx在上最大值.因为函数y=tanx在上为增函数,所以,函数y=tanx在上最大值为1.所以,m≥1,即实数m最小值为1.答案:144/53【方法技巧】应用全称命题与特称命题求参数范围两类题型(1)全称命题常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应集合中每一个元素都含有某种性质,所以利用代入能够表达集合中对应元素详细性质;也能够依据函数等数学知识来处理.45/53(2)特称命题常见题型是以适合某种条件结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,普通要先对结论作出必定存在假设,然后从必定假设出发,结合已知条件进行推理证实,若推出合理结论,则存在性随之处理;若造成矛盾,则否定了假设.46/53【变式训练】若∀x∈R,f(x)=(a2-1)x是单调减函数,则a取值范围是________.【解析】依题意有:0<a2-1<1⇔⇔-<a<-1或1<a<.答案:(-,-1)∪(1,)47/53【赔偿训练】若∀x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a图象和x轴恒有公共点,求实数a取值范围.48/53【解析】(1)当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒相交,所以a∈R.(2)当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a图象和x轴恒有公共点充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立.又4m2+4am+1≥0是一个关于