北京市延庆区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含答案解析）

延庆区2022-2023学年第二学期期中试卷高一数学2023．5本试卷共4页，150分，考试时长120分钟．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算即可求解．【详解】由，即，解得，则，所以．故选：B．2.在平面直角坐标系中，已知，，那么角的终边与单位圆的交点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的定义，即可求解.【详解】设角的终边与单位圆的交点坐标为，因为，，由三角函数的定义，可得，即.故选：D.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算和数量积的定义和计算公式，准确计算，即可求解.【详解】由向量，可得，又由，所以.故选：A.4.已知函数，则“是偶函数”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由三角函数的奇偶性求得的表达式，结合必要不充分条件的定义即可判断.【详解】是偶函数等价于，解得，在这里令，得，所以“是偶函数”是“”的必要而不充分条件.故选：B.5.已知向量，，则在上的投影数量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由投影数量的定义、数量积以及模的运算公式直接计算即可求解.【详解】在上的投影数量是.故选：A.6.如图，四边形ABCD是平行四边形，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量的加减法法则进行计算.【详解】由题意得，，所以.故选：D.7.已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】因为边中点，可得，又因为，可得.故选：B.8.设，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由结合三角函数单调性即可比较大小.【详解】因，所以，即.故选：C.9.在中，，分别为边，的中点，若，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意画出示意图，结合图形，利用平面向量的线性运算性质，从而得到，进而即可求解．【详解】由，又，所以．故选：C．10.已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数的简图，结合图象及对称性可得答案.【详解】设，作出的简图，不妨设，由正弦函数的对称性可知，由图可知，即，解得，所以的取值范围是.故选：A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11._____________．【答案】【解析】【分析】借助正切函数的诱导公式计算即可得.【详解】.故答案为：.12.在半径为的扇形中，弦长为的扇形的面积为_____________．【答案】【解析】【分析】根据题意求出扇形的圆心角，再利用扇形面积公式计算即可．【详解】依题意可画扇形如下，依题意可得，弦长为，则，所以该扇形的面积为．故答案为：．13.不等式的解集为_____________．【答案】【解析】【分析】先解出该不等式在一个周期内的解集，结合三角函数周期性即可求解.【详解】在的解集为，结合的周期为可知，不等式的解集为.故答案为：.14.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若在上是增函数，则a的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，由，可得，所以在上单调递增，所以在上单调递增，因为在上是增函数，所以的最大值为，故答案为：.15.已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为_____________，的取值范围是_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据偶函数可知必为函数的一个零点，由此求得，根据方程的根得，即可求解.【详解】函数在上为偶函数，又函数，有且仅有3个零点，故必有一个零点为，，；结合为偶函数，函数，的零点个数，即方程在有唯一的实数根，所以在有唯一的实数根，解得，时，，时，故且，，故；故答案为：，,．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.设向量，，．（1）求；（2）若与平行，求的值；（3）求证：与垂直；（4）求的余弦值．【答案】（1）（2）（3）证明见解析（4）【解析】【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示以及模的运算公式即可求解；（2）由向量线性运算的坐标表示以及向量平行可列出等式求解；（3）由向量线性运算的坐标表示得出数量积为0即可得证；（4）由向量线性运算以及向量夹角的坐标公式即可运算求解.【小问1详解】因为，，所以，所以.【小问2详解】因为，，所以，，因为与平行，所以，所以.【小问3详解】因为，，，所以，，又因为，所以与垂直.【小问4详解】因为，，，所以，，所以，所以的余弦值为.17.已知函数的部分图象如图所示．（1）写出函数的解析式；（2）求的对称轴方程；（3）求的单调递增区间；（4）函数的图象经过怎样的变换能得到函数的图象．【答案】（1）；（2）；（3）单调递增区间为；（4）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的函数图象，利用五点作图法求出即可得的解析式.（2）（3）利用余弦函数的对称性、单调性列式求解即得.（4）利用三角函数图象变换法则叙述变换过程.【小问1详解】观察图象，得，周期，则，又图象过点，则，即，于是，，而，则，所以函数的解析式.【小问2详解】由，，得，，所以的对称轴方程是.【小问3详解】由，，得，，所以函数的单调递增区间为．【小问4详解】把函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象；再把所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象；最后把所得图象向左平移个单位，得到的图象．18.已知．（1）化简；（2）若是第二象限角，且，求的值；（3）求函数的定义域和对称中心．【答案】（1）（2）（3）定义域为，对称中心为【解析】【分析】（1）由商数关系、诱导公式整体代换即可化简函数不等式；（2）由诱导公式、平方关系以及商数关系可得，从而即可得解；（3）由题意，由整体代入法直接列式求解函数的定义域以及对称中心即可.【小问1详解】.【小问2详解】因为，即，因为是第二象限角，所以，所以.【小问3详解】因为，所以，因此，即，，所以的定义域为，因此令，即，，所以的对称中心为.19.已知函数．（1）写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成下表：0200（2）求与的交点坐标；（3）若对对任意都有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2），.（3）【解析】【分析】（1）根据三角函数的五点作图法，即可求解；（2）令，即，求得方程的解，进而得到交点坐标；（3）因为，求得，得到函数最值，结合题意，转化为，即可求解.【小问1详解】解：根据三角函数的五点作图法，可得：00200【小问2详解】解：由函数，令，即，可得或，解得或，所以与函数的交点坐标为，.【小问3详解】解：因为，可得，所以，当时，即时，；当时，即时，，对任意都有成立，即，所以，所以实数的取值范围.20.已知，函数．（1）当时，求的最大值和最小值，以及使取得这些值时的值；（2）当时，函数的最大值是，求的解析式．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，当时，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解；（2）由题意得，令，可得，由时，求得，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：由向量，当时，可得，所以，当时，即或时，；当时，即时，；【小问2详解】解：由函数，令，可得，当时，可得，即，因为二次函数的图象开口向下，且对称轴为，①当时，即时，此时函数在上单调递减，所以的最大值为；②当时，即时，此时函数在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为；③当时，即时，此时函数上单调递增，所以的最大值为，综上，函数的最大值的解析式为.21.已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”.（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案.（2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案.【小问1详解】，，若是“自均值函数”，则存在实数，使得对于任意都存在满足，即，即，函数的值域为，的值域为，不满足条件，故函数不是为“自均值函数”.【小问2详解】存在，对于，存在，有，即，当时，值域是，在值域包含，当