浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（）A．FC＝BD B．EF平行且等于AB C．∠B＝∠ACB D．AC平行且等于DE3．（3分）若a＞b，则下列式子中正确的是（）A． B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．a﹣b＜04．（3分）下列命题是真命题的是（）A．如果ab＝0，那么a＝0 B．相等的角是对顶角 C．若|a|＜b，则a2＜b2 D．同旁内角互补5．（3分）函数y＝（k2﹣1）x+3是一次函数，则k的取值范围是（）A．k≠1 B．k≠﹣1 C．k≠0 D．k≠±16．（3分）下列各式中计算正确的是（）A．＝12 B．＝3 C．3+2 D．7．（3分）平面直角坐标系中，若点A（﹣1，a+b）与点B（a﹣b，3）关于x轴对称，则点C（a，b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（3分）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为（7x+9）棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（）A．7x+9≤2+9（x﹣1） B．7x+9≥9（x﹣1） C． D．9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．若∠BCD＝3∠CBE，则∠A的度数为（）A．38° B．36° C．34° D．32°10．（3分）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（）A．甲车的速度是120km/h B．A，B两地的距离是360km C．乙车出发4.5h时甲车到达B地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题．12．（4分）如果关于x的不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围是．13．（4分）如图，将一副直角三角板放置，使含30°的三角板的较短直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一直线上，则∠1的度数是度．14．（4分）以A（﹣1，7），B（﹣1，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为：（﹣1，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移5个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为．15．（4分）函数y＝﹣x+5（﹣1≤x≤6）的图象与x轴的交点坐标是；函数的最大值是．16．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC与点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝2，BC＝12，则AF＝．三、解答题（共7题，共66分）17．（6分）解下列不等式和不等式组：（1）2（x+1）＞3x﹣4；（2）．18．（8分）已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠A＝∠E，（1）求证：△ABC≌△EDF；（2）当∠C＝90°，∠CBA＝60°时，求∠E的度数．19．（8分）如图，在8×8的正方形网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（4，2）（1）将点A向下平移5个单位，再关于y轴对称得到点C，求点C坐标；（2）画出三角形ABC，并求其面积．20．（10分）某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：甲种产品乙种产品成本（万元/件）25利润（万元/件）13（1）若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？（2）若车间计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．①求证：△ADE是等腰三角形；②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．22．（12分）在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上（不与点B，C重合）．（1）如图1，点E在AB上（不与点A，B重合），且∠ADE＝∠B．若BD＝AC，求证：△DBE≌△ACD；（2）若△ADC是直角三角形，求AD的长．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA＝3，OB＝5，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动．（1）当点P与点C重合时，求直线DP的函数解析式；（2）设运动时间为t秒．当点P在运动过程中，①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②是否存在等腰三角形△BDP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（）A．FC＝BD B．EF平行且等于AB C．∠B＝∠ACB D．AC平行且等于DE【分析】根据全等三角形的性质可得FD＝BC，∠F＝∠B，∠EDF＝∠ACB，EF＝AB，AC＝DE，再依次判断即可．【解答】解：∵△ABC≌△EFD，∴FD＝BC，∠F＝∠B，∠EDF＝∠ACB，EF＝AB，AC＝DE，∴FD﹣CD＝BC﹣CD，即FC＝BD，故A选项不符合题意；∵∠F＝∠B，∴EF∥AB，∴EF平行且等于AB，故B选项不符合题意；没有足够的条件证明∠B＝∠ACB，故C选项符合题意；∵∠EDF＝∠ACB，∴AC∥DE，∴AC平行且等于DE，故D选项不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．3．（3分）若a＞b，则下列式子中正确的是（）A． B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣3a＜﹣3b D．a﹣b＜0【分析】根据不等式的性质进行判断．【解答】解：A、不等式a＞b的两边同时除以2，不等式仍成立，即＞，故本选项不符合题意；B、不等式a＞b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意；C、不等式a＞b的两边同时乘﹣3，不等式仍成立，即﹣3a＜﹣3b，故本选项符合题意；D、不等式a＞b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a﹣b＞0，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．4．（3分）下列命题是真命题的是（）A．如果ab＝0，那么a＝0 B．相等的角是对顶角 C．若|a|＜b，则a2＜b2 D．同旁内角互补【分析】根据对顶角，同旁内角及实数相关运算逐项判断．【解答】解：如果ab＝0，那么a＝0或b＝0，故A是假命题，不符合题意；相等的角不一定是对顶角，故B是假命题，不符合题意；若|a|＜b，则a2＜b2，故D是真命题，符合题意；两直线平行，同旁内角互补，故C是假命题，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．5．（3分）函数y＝（k2﹣1）x+3是一次函数，则k的取值范围是（）A．k≠1 B．k≠﹣1 C．k≠0 D．k≠±1【分析】根据一次函数定义可得k2﹣1≠0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：k2﹣1≠0，解得：k≠±1，故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．6．（3分）下列各式中计算正确的是（）A．＝12 B．＝3 C．3+2 D．【分析】根据二次根式的运算法则可得答案．【解答】解：A.，故A符合题意；B.≠3，故B不符合题意．C.≠，无法进行运算，故C不符合题意D.，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．7．（3分）平面直角坐标系中，若点A（﹣1，a+b）与点B（a﹣b，3）关于x轴对称，则点C（a，b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而结合各象限内点的坐标特点得出答案．【解答】解：∵点A（﹣1，a+b）与点B（a﹣b，3）关于x轴对称，∴，解得：；则点C（a，b）即（﹣2，﹣1）在第三象限．故选：C．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标，正确得出a，b的值是解题关键．8．（3分）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为（7x+9）棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（）A．7x+9≤2+9（x﹣1） B．7x+9≥9（x﹣1） C． D．【分析】不到2棵意思是植树棵数在0棵和2棵之间，包括0棵，不包括2棵，关系式为：植树的总棵数≥9（x﹣1），植树的总棵数＜8+9（x﹣1），把相关数值代入即可．【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9（x﹣1），∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为（7x+9）棵，∴可列不等式组为．故选：D．【点评】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键．9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．若∠BCD＝3∠CBE，则∠A的度数为（）A．38° B．36° C．34° D．32°【分析】根据直角三角形的性质得到DC＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠BCD，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，得到∠A＝∠EBA，根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴DC＝DB，∴∠DBC＝∠BCD，∵∠BCD＝3∠CBE，∴∠EBA＝2∠CBE，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠A＝∠EBA，∵∠ACB＝90°，∴2∠CBE+2∠CBE+∠CBE＝90°，解得：∠CBE＝18°，∴∠A＝36°，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．（3分）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（）A．甲车的速度是120km/h B．A，B两地的距离是360km C．乙车出发4.5h时甲车到达B地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇【分析】由图象可知两车起始距离为60，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．【解答】解：乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，甲车出发1.5小时就追上乙，因此速度差为60÷1.5＝40千米/小时，故甲车的速度为100千米/小时，故选项A不合题意；甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为80÷40＝2（小时），甲车行全程需要2+1.5＝3.5（小时），全程为100×3.5＝350千米，故选项B不合题意；此时乙车出发3.5+1＝4.5（小时），故选项C符合题意；甲车休息小时准备返回时乙车行3.5+1+0.5＝5（小时），此时乙车距B地350﹣60×5＝50（千米），返回时相遇时间为50÷（100+60）＝小时，此时甲车行驶的时间为3.5+0.5+＝（h），故选项D不合题意．故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题“面积相等的两个三角形全等”．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【解答】解：命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题“面积相等的两个三角形全等”，故答案为：“面积相等的两个三角形全等”．【点评】本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．（4分）如果关于x的不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围是a≤3．【分析】根据“同大取大”即可得到a的取值范围；【解答】解：∵关于x的不等式组的解集为x＞3，∴3≥a，∴a≤3，故答案为：a≤3．【点评】本题考查了不等式的解集，解题的关键是了解确定不等式组的解集的“口诀”．13．（4分）如图，将一副直角三角板放置，使含30°的三角板的较短直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一直线上，则∠1的度数是75度．【分析】先根据平行线的性质求出∠AOC，再利用外角的性质求出∠1即可．【解答】解：如图，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD，∴∠C＝∠AOC，∵∠C＝30°，∴∠AOC＝30°，∵∠A＝45°，∴∠1＝∠A+∠AOC＝45°+30°＝75°．故答案为：75．【点评】本题考查了平行线的性质与判定以及三角形外角的性质，解题的关键是根据垂直判定AB∥CD，进而利用平行线的性质解答．14．（4分）以A（﹣1，7），B（﹣1，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为：（﹣1，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移5个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为（4，y）（﹣2≤y≤7）．【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．【解答】解：现将这条线段水平向右平移5个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为（4，y）（﹣2≤y≤7），故答案为：（4，y）（﹣2≤y≤7）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．15．（4分）函数y＝﹣x+5（﹣1≤x≤6）的图象与x轴的交点坐标是（5，0）；函数的最大值是6．【分析】当y＝0时求函数图象与x轴的交点，由y＝﹣x+5中y随x值的增大而减小，可知当x＝﹣1时，函数有最大值6．【解答】解：当y＝0时，x＝5，∴图象与x轴的交点坐标是（5，0），∵y＝﹣x+5中y随x值的增大而减小，∴当x＝﹣1时，函数有最大值6，故答案为：（5，0），6．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．16．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC与点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG＝2，BC＝12，则AF＝．【分析】过点B作BH⊥AC于H，过点D作DK⊥AC于K，过点E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，连接BE，先证得△DEG≌△DEC（AAS），运用勾股定理可得AB＝10，利用面积法可求得：DK＝，BH＝，EM＝EN＝，AE＝，EF＝，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，过点D作DK⊥AC于K，过点E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，连接BE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝×12＝6，∠BAD+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠C，∵EF⊥AB，∴∠BAD+∠AGF＝90°，∴∠ABC＝∠AGF＝∠C，∵∠AGF＝∠DGE，∴∠DGE＝∠C，∵DE平分∠ADC，EM⊥CD，EN⊥AD，∴EM＝EN，∠EDG＝∠EDC，在△DEG和△DEC中，，∴△DEG≌△DEC（AAS），∴DG＝CD＝6，∵AG＝2，∴AD＝AG+DG＝2+6＝8，在Rt△ABD中，AB＝＝＝10，∴AC＝AB＝10，∵AC•DK＝AD•CD，∴10DK＝8×6，∴DK＝，∵AC•BH＝BC•AD，∴10BH＝12×8，∴BH＝，∵S△ADE+S△CDE＝S△ACD，∴AD•EN+CD•EM＝AD•CD，∴4EN+3EM＝24，∵EN＝EM，∴7EN＝24，∴EN＝，∴EM＝EN＝，∵DK•AE＝AD•EN，∴AE＝8×，∴AE＝，∵AB•EF＝AE•BH，∴10EF＝×，∴EF＝，在Rt△AEF中，AF＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角，直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，全等三角形的判定和性质等，综合性强，有一定难度，添加辅助线作三角形的高，运用面积法是解题关键．三、解答题（共7题，共66分）17．（6分）解下列不等式和不等式组：（1）2（x+1）＞3x﹣4；（2）．【分析】（1）按照解一元一次不等式步骤即可解得x的范围，再把解集表示在数轴上即可；（2）解出每个不等式，再求公共解集即可．【解答】解：（1）2（x+1）＞3x﹣4，去括号得：2x+2＞3x﹣4，移项，合并同类项得：﹣x＞﹣6，把未知数系数化为1得：x＜6；（2），解不等式x﹣2≥1，得：x≥3，解不等式2（x﹣1）＜x+3得：x＜5，∴不等式组的解集是3≤x＜5．【点评】本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤．18．（8分）已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠A＝∠E，（1）求证：△ABC≌△EDF；（2）当∠C＝90°，∠CBA＝60°时，求∠E的度数．【分析】（1）根据SAS即可证明：△ABC≌△EDF；（2）由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD＝BE，∴AB＝ED，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SAS）；（2）解：∵∠C＝90°，∠CBA＝60°，∴∠A＝90°﹣∠CBA＝90°﹣60°＝30°，∵△ABC≌△EDF，∴∠E＝∠A＝30°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，证明△ABC≌△EDF是解题的关键．19．（8分）如图，在8×8的正方形网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（4，2）（1）将点A向下平移5个单位，再关于y轴对称得到点C，求点C坐标；（2）画出三角形ABC，并求其面积．【分析】（1）根据A点坐标确定坐标原点的位置，然后再画出平面直角坐标系即可；（2）根据A点坐标写出平移后的坐标，然后再根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得C点坐标；（3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．【解答】解：（1）点A向下平移5个单位得到点（2，﹣1），关于y轴对称的点C（﹣2，﹣1）；（2）S△ABC＝5×6﹣6×3÷2﹣4×5÷2﹣2×2÷2＝9．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，以及关于y轴对称点的坐标，关键是正确确定出C点位置．20．（10分）某车间计划生产甲，乙两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：甲种产品乙种产品成本（万元/件）25利润（万元/件）13（1）若车间计划获利14万元，问甲，乙两种产品应分别生产多少件？（2）若车间计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问车间有哪几种生产方案？（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．【分析】（1）设生产甲种产品x件，则生产乙种产品有（10﹣x）件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解；（2）根据计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数；（3）得出利润y与甲产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，乙产品生产越多，获利越大，因而乙取最大值时，获利最大，据此即可求解．【解答】解：（1）设生产甲种产品x件，则生产乙种产品（10﹣x）件，于是有x+3（10﹣x）＝14，解得：x＝8，则10﹣x＝10﹣8＝2（件）所以应生产甲种产品8件，乙种产品2件；（2）设应生产甲种产品x件，则生产乙种产品有（10﹣x）件，由题意有：，解得：2≤x＜8；，，，，，，所以可以采用的方案有：共6种方案；（3）设总利润为y万元，生产甲种产品x件，则生产乙种产品（10﹣x）件，则利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30，则y随x的增大而减小，即可得，甲产品生产越少，获利越大，所以当时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26万元．【点评】本题考查理解题意的能力，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等量关系列方程，根据第二问中的利润和成本作为不等量关系列不等式组分别求出解，然后求出哪种方案获利最大从而得出答案．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．①求证：△ADE是等腰三角形；②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．【分析】（1）关键等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B＝∠ACB＝72°，求出∠DCB，根据三角形外角性质求出即可；（2）①根据平行线求出∠EAD，根据三角形内角和定理求出∠ADE，即可得出答案；②先判断出∠BCE＝∠ACE，再判断出∠BCE＝∠E，即可得出结论．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分线∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①证明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：结论：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质的应用，主要考查学生的计算和推理能力．22．（12分）在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上（不与点B，C重合）．（1）如图1，点E在AB上（不与点A，B重合），且∠ADE＝∠B．若BD＝AC，求证：△DBE≌△ACD；（2）若△ADC是直角三角形，求AD的长．【分析】（1）利用三角形外角的性质得∠BDE＝∠CAD，再利用ASA证明△DBE≌△ACD；（2）分两种情况，①若∠ADC＝90°，②若∠CAD＝90°，过点A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B＝∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠ADE+∠BDE＝∠C+∠CAD，∴∠BDE＝∠CAD，在△DBE和△ACD中，∴△DBE≌△ACD（ASA）；（2）解：①若∠ADC＝90°，∵AB＝AC＝10，BC＝16，AD⊥BC，∴BD＝CD＝8，∴AD＝＝＝6；②若∠CAD＝90°，过点A作AE⊥BC于E，由①可