2024年中考数学总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算-知识讲解（基础）

2024中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.

(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.

(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）

(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.

（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.

考点二、圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【典型例题】类型一、正多边形有关计算 1．（2015•镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝，所以AB＝AO1+O1C+BC＝．【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习4】【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.【答案】【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习2】【变式3】（2015•广西自主招生）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA，OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是()．A．P＝QB．P＞QC．P＜QD．无法确定(2)如图(b)，△ABC为等腰直角三角形，AC＝3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′，求AB扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：；(2)(转化法“凑整”)利用，则阴影部分的面积可转化为△ACD的面积，等于△ABC面积的一半，答案为；(3)(旋转法)将图形ABM绕点O逆时针旋转到A′B′M′位置，则．【总结升华】求阴影面积的几种常用方(1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是()A．B．C．D．【答案】解：如图，由AB，AC为直径可得AD⊥BC，则BD＝DC＝6．在Rt△ABD中，，∴．答案选D.3．如图所示，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连AC，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB、OC，由BC∥OA，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB、OC∵BC∥OA．∴△OBC和△ABC同底等高，∴S△ABC＝S△OBC，∴∵AB为⊙O的切线，∴OB⊥AB．∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°．∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°．∵OB＝OC，∴△OBC为正三角形．∴∠COB＝60°，∴．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】解：连接OC、OD、CD．∵C、D为半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝．又∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝60°，∴DC∥AB，∴，∴．4．（2015秋•江都市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（）对应的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB和一个Rt△BOC组成，其中扇形AOB的中心角是，AO的长为4，Rt△BOC中，OB＝OA＝4，∠BOC＝60°，∴可求得BC长和OC长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB面积+△BOC面积＝．【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD中，AB＝1，．以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为________．【答案】.解析：连接AE，易证AB＝BE＝1，∠BAE＝45°，所以∠EAD＝45°，所以．6．如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．

（1）求线段PC的长；

（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的长；

（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，

∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，

∵AB=8，∴OC=AB=4，

又在直角三角形OCP中，∠P=30°，

∴tanP=tan30°=，即PC==4；

（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，

∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，

又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，

∴∠COE=∠AOC=60°，又半径OC=4，

∴S扇形OCE=，

在Rt△OCD中，∠COD=60°，

∴∠OCD=30°，∴OD=OC=2，

根据勾股定理得：CD=，

∴S△OCD=DC•OD=×2×2=2，

则S阴影=S扇形OCE-S△OCD=．【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（提高）【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.

(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.

(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）

(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.

（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.

考点二、圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.··OAB·ABOm·ABOm要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【典型例题】类型一、正多边形有关计算 1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（） A.4 B.QUOTEC.QUOTE D.5【思路点拨】首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长加上半径即为AD的长．【答案】D；【解析】解：∵AB=4，∠B=90°，∴，∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，∴⊙O的周长为2π，∴⊙O的半径为1QUOTE，∴AD=BC=BE+EC=4+QUOTE1=QUOTE5.故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式.举一反三：【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习7】【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.【答案】解：连结OA、OB、OC，设OA′交AB于K，OE′交CD于H，∵∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，∠COH=120°-∠KOC，∴∠AOK=∠COH，又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，∴△AOK≌△COH，由△AOK≌△COH，得S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC，∴S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.S五边形OKBCH：S阴影=.即重叠部分面积与阴影部分面积之比为：.【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习8】【变式2】已知：正十边形的半径是R，求证：它的边长为.【答案】证明：作∠OAB的平分线AM交OB于M，则∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°，∴OM=MA=AB，则△ABM∽△OAB得：用R，a10分别表示OA，AB，BM，代入以上比例式整理得a102+Ra10-R2=0,解关于a10的一元二次方程得（负值已舍去）.类型二、正多边形与圆综合运用2．（2014•江西模拟）如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．【思路点拨】（1）利用已知得出正八边形，它的内角都为135°，再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，得出∠2+∠3=180°，进而得出答案；（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，则PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形，进而求出PQ的长即可得出答案．【答案与解析】解：（1）连接BF，则有BF∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八边形，∴它的内角都为135°．又∵HA=HG，∴∠1=22.5°，从而∠2=135°﹣∠1=112.5°．由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，∴即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，∴四边形PQMN是矩形．又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形．在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AH=2，∴PA=∴．故．【总结升华】此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出PQ的长是解题关键．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是()A．B．C．D．【答案】连接AD，则AD⊥BC，阴影部分面积．故．答案：B3．（2014秋•武穴市校级期末）扇形的圆心角为90°，面积为16π．（1）求扇形的弧长．（2）若将此扇形卷成一个无底圆锥形筒，则这个圆锥形筒的高是多少？【思路点拨】（1）首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式S扇形=lR（其中l为扇形的弧长），求得扇形的弧长．（2）设扇形的半径为R，圆锥的底面圆的半径为r，先根据扇形的面积公式解得母线长，再利用弧长公式得到底面半径r=2，然后利用勾股定理计算这个圆锥形桶的高．【答案与解析】解：（1）设扇形的半径是R，则=16π，解得：R=8，设扇形的弧长是l，则lR=16π，即4R=16π，解得：l=4π．（2）圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=2，所以个圆锥形桶的高==2．故答案为2．【总结升华】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理．4．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6cm的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？【思路点拨】小猫所经过的路程要最短，应该求圆锥侧面展开后两点B、P之间的线段长度.【答案与解析】解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，展开后圆心角度数为n°，则底面圆的周长为2πr，侧面展开图的弧长为，∴．∵轴截面△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，即．∴r＝3．∴．∴n＝180，即其侧面展开图为半圆，如图所示，则△ABP为直角三角形，BP为最短路线．在Rt△ABP中，．答：小猫所经过的最短路程为．【总结升华】将所求问题转化为平面上两点之间线段最短的问题，充分利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长沟通空间元素与平面元素之间的关系．5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2．(1)求⊙O1的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【思路点拨】连接O1E，求出一个小弓形的面积再乘以4即可.【答案与解析】解：(1)在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，∴．∴⊙O1的半径为，即⊙O1的半径为．(2)连接O1E，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABO＝45°．∵O1E＝O1B，∴∠BEO1＝∠EBO2＝45°．∴∠BO1E＝90°．∴．根据图形的对称性得S1＝S2＝S3＝S4，∴．【总结升华】求阴影部分面积时，一般要将阴影部分面积转化为几个规则图形的面积求差或和.举一反三：【变式】已知：如图所示，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，且OA与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，求O点移动的距离．【答案】解：观察图形可知O点移动距离即为扇形滚动距离，而扇形滚动距离为优弧的弧长．∵，∴．答：O点移动的距离为10πcm．6．如图，已知在⊙O中，，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径．【思路点拨】（1）阴影部分是一个扇形，扇形圆心角∠BOD＝2∠BOC＝2×2×30°＝120°，只需通过解直角三角形求出OB的长，即可利用扇形面积求出阴影部分面积．（2）扇形弧长是圆锥的底面周长，由条件求出的长l，利用可求出半径r的长．【答案与解析】解：(1)过O作OE⊥AB于E，则．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，．∴．又∵OA＝OB，∴∠ABO＝30°．∴∠BOC＝60°．∵AC⊥BD，∴．∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°．∴．(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴．∴．【总结升华】用扇形围成圆锥，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的底面周长.中考冲刺：阅读理解型问题(提高)一、选择题

1.（2016•绍兴）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A．84B．336C．510D．1326

2．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s、t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有．

给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n是一个完全平方数，

则F(n)＝1．其中正确说法的个数是()．

A．1B．2C．3D．4

二、填空题

3．阅读下列题目的解题过程：

已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足，试判断△ABC的形状．

解：∵，(A)

∴，(B)

∴，(C)

∴△ABC是直角三角形．

问：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？

请写出该错误步骤的代号：________________．

(2)错误的原因为：________________________．

(3)本题的正确结论为：____________________．

4．（2016•高县一模）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，有下列四个结论：①AE=6cm；②sin∠EBC=；③当0＜t≤10时，y=t2；④当t=12s时，△PBQ是等腰三角形．其中正确结论的序号是__________________．

三、解答题

5．已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1，求的值.

解：由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,q≠0

又∵pq≠1,∴

∴1-q-q2=0可变形为的特征

所以p与是方程x

2-

x

-1=0的两个不相等的实数根则

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.

已知：2m2-5m-1=0,,且m≠n，求：的值.

6.（市北区二模）【阅读材料】

完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．

【问题探究】

完成沿图1的街道从A点出发向B点行进这件事（规定必须向北走，或向东走），会有多少种不同的走法？

（1）根据材料中的原理，从A点到M点的走法共有（1+1）=2种．从A点到C点的走法：

①从A点先到N点再到C点有1种；

②从A点先到M点再到C点有2种，所以共有（1+2）=3种走法．依次下去，请求出从A点出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从A点出发到B点的走法共有多少种？

（2）运用适当的原理和方法，算出如果直接从C点出发到达B点，共有多少种走法？请仿照图2画图说明．

【问题深入】

（3）在以上探究的问题中，现由于交叉点C道路施工，禁止通行，求从A点出发能顺了到达BB点的走法数？说明你的理由．

7．阅读：我们知道，在数轴上,x＝1表示一个点,而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象,它也是一条直线，如图①.

观察图①可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为

在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图③．

①②③

回答下列问题：

（1）在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组的解；

（2）用阴影表示，所围成的区域．

8.我们学习过二次函数图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数表达式是．

类比二次函数图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：

(1)将的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________．

(2)函数的图象可由的图象向________平移________个单位长度得到；的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？

(3)一般地，函数(ab≠0，且a≠b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?

9.“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：

（1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）．

（2）分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，

并据此证明∠MOB=∠AOB．

（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

10.阅读下列材料：

问题：如图1所示，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

(1)写出上面问题中线段PG,与PC的位置关系及的值；

(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

(3)若图1中∠ABC＝∠BEF＝2α(0°＜α＜90°)，将菱形BEFG绕点B顺旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值(用含α的式子表示)．答案与解析【答案与解析】一、选择题

1.【答案】C；

【解析】1×73+3×72+2×7+6=510.

2.【答案】B；

二、填空题

3.【答案】

(1)C；

(2)错误的原因是由(B)到(C)时，等式两边同时约去了因式，而可能等于0；

(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形.

4.【答案】①②③.

【解析】（1）分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm，故①正确；

（2）如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，

由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，∴sin∠EBC=，

故②正确；

（3）如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，

∵BQ=BP=t，

∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．

故③正确；

（4）结论D错误．理由如下：

当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，

如答图3所示，连接NB，NC．

此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=2，

∵BC=10，

∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．

故④错误；

故答案为：①②③．

三、解答题

5.【答案与解析】

解：由2m2-5m-1=0知m≠0，∵m≠n，∴

得

根据的特征

∴是方程x

2+5

x

-2=0的两个不相等的实数根∴

.

6.【答案与解析】

解：（1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，

∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，

故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．

答：从A点到B点的走法共有35种．

（2）如图3，使用分类加法计数原理，算出从C点到B点的走法为6种；

（3）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．

完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，

使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；

见图3，从C点到B点的走法为6种，

再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．

∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35﹣18=17种．

方法二：如图4：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数，

∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35﹣18=17种．

7.【答案与解析】

（1）如图所示，

在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，

这两条直线的交点是P（－2，6）.

则是方程组的解.

（2）如阴影所示.

8.【答案与解析】

(1)；

(2)上，1；可转化为y＝，它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．

(3)函数(ab≠0，且a≠b)可转化为．当a＞0时，的图象可由反比例函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度得到；当a＜0时，的图象可由反比例函数的图象向右平移-a个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．

9.【答案与解析】

（1）设直线OM的函数关系式为．则∴．

∴直线OM的函数关系式为．

（2）∵的坐标满足，∴点在直线OM上．

（或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）

∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR．

∴∠SQR=∠SRQ．

∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．

∵∠PSQ是△SQR的一个外角，

∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．

∵QR∥OB，

∴∠SOB=∠SQR．

∴∠POS=2∠SOB．

∴∠SOB=∠AOB．

（3）以下方法只要回答一种即可．

方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．

方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边

三角形（或其它方法）将其三等分即可．

方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．

10.【答案与解析】

（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；．

（2）猜想：(1)中的结论没有发生变化．

证明：如图所法，延长GP交AD于点H，连接CH，CG．

∵P是线段DF的中点，

∴FP＝DP．

由题意可知AD∥FG，

∴∠GFP＝∠HDP．

∵∠GPF＝∠HPD，

∴△GFP≌△HDP．

∴GP＝HP，GF＝HD．

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°．

由∠ABC＝∠BEF＝60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，

可得∠GBC＝60°．

∴∠HDC＝∠GBC．

∵四边形BEFG是菱形，

∴GF＝FB．

∴HD＝GB．

∴△HDC≌△GBC．

∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG．

∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，

即∠HCG＝120°．

∵CH＝CG，PH＝PG，

∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°．

∴．

（3）．一、选择题

1.（2016•江西模拟）已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m，其中m＞0，它的图象与x轴从左到右交于R和Q两点，与y轴交于点P，点O是坐标原点．下列判断中不正确的是（）

A．方程x2﹣（m﹣1）x﹣m=0一定有两个不相等的实数根

B．点R的坐标一定是（﹣1，0）

C．△POQ是等腰直角三角形

D．该二次函数图象的对称轴在直线x=﹣1的左侧

2．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α(0°＜α＜180°)后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°(如图所示)能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面图所示的图形中，是旋转对称图形的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

3．阅读下列材料，并解决后面的问题．

在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．

同理有，．

所以………(*)

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．

在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、

∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：

第一步：由条件a、b、∠A

______∠B；

第二步：由条件∠A、∠B．

______∠C；

第三步：由条件．____________c．

4．（榆树市期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．

（1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）

①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．__________________

②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．__________________

（2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是__________________．（写出所有正确结论的序号）

①正三角形②正方形③正六边形④正八边形

（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形．.（写在横线上）

三、解答题

5.阅读材料：

为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①，解得y1＝1，y2＝4．

当y＝1时，，∴

，∴

；

当y＝4时，，∴

，∴

．

故原方程的解为：

，，，．

解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；

（2）请利用以上知识解方程．

6．阅读材料，解答问题：图2－7－2表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．地处西部的某贫困县，农村人口约50万，2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68％，即没有达到小康程度的人口约为

（1－68％）×50万=16万．

（1）假设该县计划在2002年的基础上，到2004年底，使没有达到小康程度的16万农村人口降至10．24万，那么平均每年降低的百分率是多少？

（2）如果该计划实现2004年底该县农村小康进程接近图2－7－2中哪一年的水平？（假设该县人口2年内不变）

7.（2016•吉林一模）类比平行四边形，我们学习筝形，定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图①，若AD=CD，AB=CB，则四边形ABCD是筝形．

（1）在同一平面内，△ABC与△ADE按如图②所示放置，其中∠B=∠D=90°，AB=AD，BC与DE相交于点F，请你判断四边形ABFD是不是筝形，并说明理由．

（2）请你结合图①，写出一个筝形的判定方法（定义除外）．

在四边形ABCD中，若______，则四边形ABCD是筝形．

（3）如图③，在等边三角形OGH中，点G的坐标为（﹣1，0），在直线l：y=﹣x上是否存在点P，使得以O，G，H，P为顶点的四边形为筝形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．先阅读下列材料，再解答后面的问题:

材料：23=8，此时,3叫做以2为底8的对数,记为．一般地，若则n叫做以为底b的对数，记为，则4叫做以3为底81的对数，记为．

问题：（1）计算以下各对数的值:

.

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？之间又满足怎样的关系式

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论．

9.某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题．

（1）写出判定扇形相似的一种方法：若______，则两个扇形相似；

（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为______；

（3）如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径．

10.阅读材料，如图（1）所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P，

求证：．

证明：

∴

．

解答问题：

（1）上述证明得到的性质可叙述为________．

（2）已知：如图（2）所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD且相交于点P，AD＝3cm，BC＝7cm，利用上述性质求梯形的面积．

11.阅读下面的材料：

小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数的最大值．他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论．

他的解答过程如下：

∵二次函数的对称轴为直线，

∴由对称性可知，和时的函数值相等．

∴若1≤m＜5，则时，的最大值为2；

若m≥5，则时，的最大值为．

请你参考小明的思路，解答下列问题：

（1）当≤x≤4时，二次函数的最大值为_______；

（2）若p≤x≤2，求二次函数的最大值；

（3）若t≤x≤t+2时，二次函数的最大值为31，则的值为_______．答案与解析【答案与解析】一、选择题

1.【答案】D；

【解析】令y=0得x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，则（x+1）（x﹣m）=0，解得：x1=﹣1，x2=m．

∵m＞0＞﹣1，∴R（﹣1，0）、Q（m，0）．∴方程由两个不相等的实数根．

∴A、B正确，与要求不符；

当x=0，y=﹣m，∴P（0，﹣m）．∴OP=PQ．∴△OPQ为等腰直角三角形．

∴C正确，与要求不符；

∵抛物线的对称轴为x=﹣=，m＞0，∴x＞﹣．

∴D错误，与要求相符．

2.【答案】C；

二、填空题

3.【答案】,∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，或

4.【答