平面向量的分解及向量的坐标表示

第二课时平面向量的分解及向量的坐标表示5/8/20241平面向量的分解及向量的坐标表示考纲要求1.了解平面向量的基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.5/8/20242平面向量的分解及向量的坐标表示知识梳理二、平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个________向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，满足____________，称λ1e1＋λ2e2为e1、e2的线性组合．a＝λ1e1＋λ2e2

不共线

一、两个向量共线定理向量b与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b＝___.λa5/8/20243平面向量的分解及向量的坐标表示三、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝________，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的________，记作a＝________，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．

(x，y)

xi＋yj

坐标

5/8/20244平面向量的分解及向量的坐标表示四、平面向量的坐标运算1．若则a±b＝________.2．若＝________.3．若a＝(x，y)，则λa＝________.4．若则a·b＝________.(x1±x2，y1±y2)(x2－x1，y2－y1)(λx,λy)x1·x2＋y1·y25/8/20245平面向量的分解及向量的坐标表示五、向量坐标与点坐标的关系1．当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则＝________.2．当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________.(x，y)(x2－x1，y2－y1)5/8/20246平面向量的分解及向量的坐标表示六、两个向量平行(共线)的充要条件1．符号语言：若a∥b，b≠0，则________．2．坐标语言为：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则b≠0，a∥b⇔________x1·y2-x2·y1=0b=λa5/8/20247平面向量的分解及向量的坐标表示考点1共线向量定理的应用基础自测5/8/20248平面向量的分解及向量的坐标表示考点4共线向量定理的应用5/8/20249平面向量的分解及向量的坐标表示考点1共线向量定理的应用5/8/202410平面向量的分解及向量的坐标表示考点探究5/8/202411平面向量的分解及向量的坐标表示考点探究5/8/202412平面向量的分解及向量的坐标表示考点2平面向量的坐标运算5/8/202413平面向量的分解及向量的坐标表示考点探究5/8/202414平面向量的分解及向量的坐标表示考点3利用向量相等求点的坐标5/8/202415平面向量的分解及向量的坐标表示【例4】平面内给定三个向量c＝，请解答下列问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若∥，求实数k；(3)若d满足∥，且＝，求d.考点4共线向量的坐标运算5/8/202416平面向量的分解及向量的坐标表示解析：(1)由题意得＝m＋n＝(－m＋4n,2m＋n)，所以，得.(2)∵∥，∴2×－×＝0，∴k＝－.(3)设由题意得，得或，∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．5/8/202417平面向量的分解及向量的坐标表示考点探究5/8/202418平面向量的分解及向量的坐标表示考点探究5/8/202419平面向量的分解及向量的坐标表示变式探究1．(2011年中山一中月考)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量

＝()A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)D2．(2010年福州模拟)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)、B(－1，－2)、C(3,1)，且，则顶点D的坐标为()A.B.C．(3,2)D．(1,3)A5/8/202420平面向量的分解及向量的坐标表示3．若a＝(6，－8)，则与a平行的单位向量是__________．变式探究4．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．5/8/202421平面向量的分解及向量的坐标表示

【例5】平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)、B(－1,3)，若点C满足其中α，β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为()A.＝5B．3x＋2y－11＝0C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝05/8/202422平面向量的分解及向量的坐标表示解析：解法一：设C则由得于是先消去β，由β＝1－α，得，再消去α得x＋2y－5＝0.5/8/202423平面向量的分解及向量的坐标表示解法二：由平面向量共线定理，当α＋β＝1时，A、B、C共线，因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得x＋2y－5＝0.答案：D5/8/202424平面向量的分解及向量的坐标表示变式探究5．(2011年厦门模拟)已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝__________.解析：由题设知，⇒a2＋a＝a3－a2⇒a2－2a－1＝0，∴a＝(舍去负数)．答案：a＝1＋5/8/202425平面向量的分解及向量的坐标表示6．已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．(1)求实数x的值，使向量共线；(2)当向量共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？5/8/202426平面向量的分解及向量的坐标表示解析：∵，∴x2＝4，x＝±2.(2)由已知得＝(2－2x，x－1)．∴当x＝2时，＝(－2,1)，＝(2,1)，∴不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；当x＝－2时，∴，此时A，B，C三点共线．又∵，∴A，B，C，D四点在一条直线上．综上当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上．5/8/202427平面向量的分解及向量的坐标表示1．平面内任一向量a都可以分解成a＝λ1e1＋λ2e2(其中e1、e2是平面内两个不共线向量)的形式，且分解式是唯一的．平面向量基本定理是平面向量正交分解的理论依据．即：若向量a与两个不共线向量e1、e2共面⇔存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．特别注意两向量夹角的范围是θ∈[0°，180°]，当a与b的夹角是90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.3．在直角坐标平面内，以原点为起点的向量点A的位置由向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．5/8/202428平面向量的分解及向量的坐标表示要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同．若A(3,5)，B(6,8)，则＝(3,3)；若C(－5,3)，D(－2,6)，则＝(3,3)，故显然A、B、C、D四点坐标各不相同．向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．4．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．5．向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题.因此解题过程中应注意使用数形结合的思想方法.5/8/202429平面向量的分解及向量的坐标表示5/8/202430平面向量的分解及向量的坐标表示1．(2009年广东卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2),则向量a＋b()A平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析：a＋b＝(0,1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知，C正确．答案：C5/8/202431平面向量的分解及向量的坐标表示2．(2010年陕西卷)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝_____.解析：a＋b＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c得：1×2－(m－1)×(－1)＝0，所以m＝－1.答案：－15/8/202432平面向量的分解及向量的坐标表示作业

1.已知向量e1、e2不共线，(1)若求证：A、B、D三点共线；(2)若向量λe1－e2与e1－λe2共线，求实数λ的值．2.已知a＝(1,0)，b＝(2,1).(1)求|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？5/8/202433平面向量的分解及向量的坐标表示解析：(1)证明：＝2e1－8e2＋3(e1＋e2)＝5e1－5e2＝共线．又直线BD与AB有公共点B，∴