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文档简介
人教版七年级数学下册期末解答题培优卷一、解答题1.已知在的正方形网格中,每个小正方形的边长为1.(1)计算图①中正方形的面积与边长.(2)利用图②中的正方形网格,作出面积为8的正方形,并在此基础上建立适当的数轴,在数轴上表示实数和.2.如图,用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形.(1)则大正方形的边长是___________;(2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形,能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5:4,且面积为?3.工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件.(1)求正方形工料的边长;(2)若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3,问这块正方形工料是否满足需要?(参考数据:,)4.如图,8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,(1)每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)(2)小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布,沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布,用来盖住这块长方形木桌,你帮小明算一算,他能剪出符合要求的桌布吗?5.张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2.他不知能否裁得出来,正在发愁.李明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意李明的说法吗?张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?二、解答题6.已知:ABCD.点E在CD上,点F,H在AB上,点G在AB,CD之间,连接FG,EH,GE,∠GFB=∠CEH.(1)如图1,求证:GFEH;(2)如图2,若∠GEH=α,FM平分∠AFG,EM平分∠GEC,试问∠M与α之间有怎样的数量关系(用含α的式子表示∠M)?请写出你的猜想,并加以证明.7.已知:直线AB∥CD,直线MN分别交AB、CD于点E、F,作射线EG平分∠BEF交CD于G,过点F作FH⊥MN交EG于H.(1)当点H在线段EG上时,如图1①当∠BEG=时,则∠HFG=.②猜想并证明:∠BEG与∠HFG之间的数量关系.(2)当点H在线段EG的延长线上时,请先在图2中补全图形,猜想并证明:∠BEG与∠HFG之间的数量关系.8.已知点C在射线OA上.(1)如图①,CDOE,若∠AOB=90°,∠OCD=120°,求∠BOE的度数;(2)在①中,将射线OE沿射线OB平移得O′E'(如图②),若∠AOB=α,探究∠OCD与∠BO′E′的关系(用含α的代数式表示)(3)在②中,过点O′作OB的垂线,与∠OCD的平分线交于点P(如图③),若∠CPO′=90°,探究∠AOB与∠BO′E′的关系.9.综合与探究(问题情境)王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动(1)如图1,,点、分别为直线、上的一点,点为平行线间一点,请直接写出、和之间的数量关系;(问题迁移)(2)如图2,射线与射线交于点,直线,直线分别交、于点、,直线分别交、于点、,点在射线上运动,①当点在、(不与、重合)两点之间运动时,设,.则,,之间有何数量关系?请说明理由.②若点不在线段上运动时(点与点、、三点都不重合),请你画出满足条件的所有图形并直接写出,,之间的数量关系.10.汛期即将来临,防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看河水及两岸河堤的情况.如图1,灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转,灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯射出的光束转动的速度是/秒,灯射出的光束转动的速度是/秒,且、满足.假定这一带水域两岸河堤是平行的,即,且.(1)求、的值;(2)如图2,两灯同时转动,在灯射出的光束到达之前,若两灯射出的光束交于点,过作交于点,若,求的度数;(3)若灯射线先转动30秒,灯射出的光束才开始转动,在灯射出的光束到达之前,灯转动几秒,两灯的光束互相平行?三、解答题11.已知,直角的边与直线a分别相交于O、G两点,与直线b分别交于E,F点,且.(1)将直角如图1位置摆放,如果,则________;(2)将直角如图2位置摆放,N为上一点,,请写出与之间的等量关系,并说明理由;(3)将直角如图3位置摆放,若,延长交直线b于点Q,点P是射线上一动点,探究与的数量关系,请直接写出结论.12.如图1所示:点E为BC上一点,∠A=∠D,AB∥CD(1)直接写出∠ACB与∠BED的数量关系;(2)如图2,AB∥CD,BG平分∠ABE,BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点,若∠DEB比∠GHD大60°,求∠DEB的度数;(3)保持(2)中所求的∠DEB的度数不变,如图3,BM平分∠EBK,DN平分∠CDE,作BP∥DN,则∠PBM的度数是否改变?若不发生变化,请求它的度数,若发生改变,请说明理由.(本题中的角均为大于0°且小于180°的角).13.如图,已知是直线间的一点,于点交于点.(1)求的度数;(2)如图2,射线从出发,以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转,当垂直时,立刻按原速返回至后停止运动:射线从出发,以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动,若射线,射线同时开始运动,设运动间为t秒.①当时,求的度数;②当时,求t的值.14.已知两条直线l1,l2,l1∥l2,点A,B在直线l1上,点A在点B的左边,点C,D在直线l2上,且满足.(1)如图①,求证:AD∥BC;(2)点M,N在线段CD上,点M在点N的左边且满足,且AN平分∠CAD;(Ⅰ)如图②,当时,求∠DAM的度数;(Ⅱ)如图③,当时,求∠ACD的度数.15.(感知)如图①,,求的度数.小明想到了以下方法:解:如图①,过点作,(两直线平行,内错角相等)(已知),(平行于同一条直线的两直线平行),(两直线平行,同旁内角互补).(已知),(等式的性质).(等式的性质).即(等量代换).(探究)如图②,,,求的度数.(应用)如图③所示,在(探究)的条件下,的平分线和的平分线交于点,则的度数是_______________.四、解答题16.操作示例:如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,△ABD的面积记为S1,△ADC的面积记为S2.则S1=S2.解决问题:在图2中,点D、E分别是边AB、BC的中点,若△BDE的面积为2,则四边形ADEC的面积为.拓展延伸:(1)如图3,在△ABC中,点D在边BC上,且BD=2CD,△ABD的面积记为S1,△ADC的面积记为S2.则S1与S2之间的数量关系为.(2)如图4,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连接BE、CD交于点O,且BO=2EO,CO=DO,若△BOC的面积为3,则四边形ADOE的面积为.17.如图,平分,平分,请判断与的位置关系并说明理由;如图,当且与的位置关系保持不变,移动直角顶点,使,当直角顶点点移动时,问与否存在确定的数量关系?并说明理由.如图,为线段上一定点,点为直线上一动点且与的位置关系保持不变,①当点在射线上运动时(点除外),与有何数量关系?猜想结论并说明理由.②当点在射线的反向延长线上运动时(点除外),与有何数量关系?直接写出猜想结论,不需说明理由.18.如图①所示,在三角形纸片中,,,将纸片的一角折叠,使点落在内的点处.(1)若,________.(2)如图①,若各个角度不确定,试猜想,,之间的数量关系,直接写出结论.②当点落在四边形外部时(如图②),(1)中的猜想是否仍然成立?若成立,请说明理由,若不成立,,,之间又存在什么关系?请说明.(3)应用:如图③:把一个三角形的三个角向内折叠之后,且三个顶点不重合,那么图中的和是________.19.已知ABCD,点E是平面内一点,∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线交于点F.(1)若点E的位置如图1所示.①若∠ABE=60°,∠CDE=80°,则∠F=°;②探究∠F与∠BED的数量关系并证明你的结论;(2)若点E的位置如图2所示,∠F与∠BED满足的数量关系式是.(3)若点E的位置如图3所示,∠CDE为锐角,且,设∠F=α,则α的取值范围为.20.(1)如图1所示,△ABC中,∠ACB的角平分线CF与∠EAC的角平分线AD的反向延长线交于点F;①若∠B=90°则∠F=;②若∠B=a,求∠F的度数(用a表示);(2)如图2所示,若点G是CB延长线上任意一动点,连接AG,∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H,随着点G的运动,∠F+∠H的值是否变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出其值.【参考答案】一、解答题1.(1)正方形的面积为10,正方形的边长为;(2)见解析【分析】(1)利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积,然后根据算术平方根的意义即可求出边长;(2)根据(1)的方法画解析:(1)正方形的面积为10,正方形的边长为;(2)见解析【分析】(1)利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积,然后根据算术平方根的意义即可求出边长;(2)根据(1)的方法画出图形,然后建立数轴,根据算术平方根的意义即可表示出结论.【详解】解:(1)正方形的面积为4×4-4××3×1=10则正方形的边长为;(2)如下图所示,正方形的面积为4×4-4××2×2=8,所以该正方形即为所求,如图建立数轴,以数轴的原点为圆心,正方形的边长为半径作弧,分别交数轴于两点∴正方形的边长为∴弧与数轴的左边交点为,右边交点为,实数和在数轴上如图所示.【点睛】此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴,掌握算术平方根的意义和利用数轴表示无理数是解题关键.2.(1);(2)不能剪出长宽之比为5:4,且面积为的大长方形,理由详见解析【分析】(1)根据已知得到大正方形的面积为400,求出算术平方根即为大正方形的边长;(2)设长方形纸片的长为,宽为,根据解析:(1);(2)不能剪出长宽之比为5:4,且面积为的大长方形,理由详见解析【分析】(1)根据已知得到大正方形的面积为400,求出算术平方根即为大正方形的边长;(2)设长方形纸片的长为,宽为,根据面积列得,求出,得到,由此判断不能裁出符合条件的大正方形.【详解】(1)∵用两个面积为的小正方形拼成一个大的正方形,∴大正方形的面积为400,∴大正方形的边长为故答案为:20cm;(2)设长方形纸片的长为,宽为,,解得:,,答:不能剪出长宽之比为5:4,且面积为的大长方形.【点睛】此题考查利用算术平方根解决实际问题,利用平方根解方程,正确理解题意是解题的关键.3.(1)6分米;(2)满足.【分析】(1)由正方形面积可知,求出的值即可;(2)设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米,根据面积得出方程,求出,求出长方形的长和宽和6比较即可.【详解】解:(解析:(1)6分米;(2)满足.【分析】(1)由正方形面积可知,求出的值即可;(2)设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米,根据面积得出方程,求出,求出长方形的长和宽和6比较即可.【详解】解:(1)正方形工料的边长为分米;(2)设长方形的长为4a分米,则宽为3a分米.则,解得:,长为,宽为∴满足要求.【点睛】本题主要考查了算术平方根及实数大小比较,用了转化思想,即把实际问题转化成数学问题.4.(1)长是1.5m,宽是0.5m.;(2)不能.【解析】【分析】(1)设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可;(2)把正方形的边长与大长方形的长比较即可.【详解】解:解析:(1)长是1.5m,宽是0.5m.;(2)不能.【解析】【分析】(1)设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可;(2)把正方形的边长与大长方形的长比较即可.【详解】解:(1)设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,由题意得:
,
解得:,
∴长是1.5m,宽是0.5m.(2)∵正方形的面积为7平方米,∴正方形的边长是米,∵<3,∴他不能剪出符合要求的桌布.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,算术平方根的应用,找出等量关系列出方程组是解(1)的关键,求出正方形的边长是解(2)的关键.5.不同意,理由见解析.【详解】试题分析:设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米,2x厘米,则3x•2x=300,x2=50,解得x=,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米,由于解析:不同意,理由见解析.【详解】试题分析:设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米,2x厘米,则3x•2x=300,x2=50,解得x=,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米,由于>20,所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片,沿着边的方向裁不出一块面积为300平方厘米的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2.试题解析:解:不同意李明的说法.设长方形纸片的长为3x(x>0)cm,则宽为2xcm,依题意得:3x•2x=300,6x2=300,x2=50,∵x>0,∴x==,∴长方形纸片的长为cm,∵50>49,∴>7,∴>21,即长方形纸片的长大于20cm,由正方形纸片的面积为400cm2,可知其边长为20cm,∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长.答:李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.点睛:本题考查了算术平方根的定义:一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根;0的算术平方根为0.也考查了估算无理数的大小.二、解答题6.(1)见解析;(2),证明见解析.【分析】(1)由平行线的性质得到,等量代换得出,即可根据“同位角相等,两直线平行”得解;(2)过点作,过点作,根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可.【详解析:(1)见解析;(2),证明见解析.【分析】(1)由平行线的性质得到,等量代换得出,即可根据“同位角相等,两直线平行”得解;(2)过点作,过点作,根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可.【详解】(1)证明:,,,,;(2)解:,理由如下:如图2,过点作,过点作,,,,,,同理,,平分,平分,,,,由(1)知,,,,,,.【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键.7.(1)①18°;②2∠BEG+∠HFG=90°,证明见解析;(2)2∠BEG-∠HFG=90°证明见解析部【分析】(1)①证明2∠BEG+∠HFG=90°,可得结论.②利用平行线的性质证明即可.解析:(1)①18°;②2∠BEG+∠HFG=90°,证明见解析;(2)2∠BEG-∠HFG=90°证明见解析部【分析】(1)①证明2∠BEG+∠HFG=90°,可得结论.②利用平行线的性质证明即可.(2)如图2中,结论:2∠BEG-∠HFG=90°.利用平行线的性质证明即可.【详解】解:(1)①∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=∠FEG,∵FH⊥EF,∴∠EFH=90°,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFG=180°,∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°,∴2∠BEG+∠HFG=90°,∵∠BEG=36°,∴∠HFG=18°.故答案为:18°.②结论:2∠BEG+∠HFG=90°.理由:∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=∠FEG,∵FH⊥EF,∴∠EFH=90°,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFG=180°,∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°,∴2∠BEG+∠HFG=90°.(2)如图2中,结论:2∠BEG-∠HFG=90°.理由:∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=∠FEG,∵FH⊥EF,∴∠EFH=90°,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFG=180°,∴2∠BEG+90°-∠HFG=180°,∴2∠BEG-∠HFG=90°.【点睛】本题考查平行线的性质,角平分线的定义等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.8.(1)150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′【分析】(1)先根据平行线的性质得到∠AOE的度数,再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数;(2)解析:(1)150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′【分析】(1)先根据平行线的性质得到∠AOE的度数,再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数;(2)如图②,过O点作OF∥CD,根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系;(3)由已知推出CP∥OB,得到∠AOB+∠PCO=180°,结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB,根据(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB,进而推出∠AOB=∠BO′E′.【详解】解:(1)∵CD∥OE,∴∠AOE=∠OCD=120°,∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α.证明:如图②,过O点作OF∥CD,∵CD∥O′E′,∴OF∥O′E′,∴∠AOF=180°-∠OCD,∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′,∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-(∠OCD+∠BO′E′)=α,∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′.证明:∵∠CPO′=90°,∴PO′⊥CP,∵PO′⊥OB,∴CP∥OB,∴∠PCO+∠AOB=180°,∴2∠PCO=360°-2∠AOB,∵CP是∠OCD的平分线,∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB,∵由(2)知,∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB,∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB,∴∠AOB=∠BO′E′.【点睛】此题考查了平行线的判定和性质,平移的性质,直角的定义,角平分线的定义,正确作出辅助线是解决问题的关键.9.(1);(2)①,理由见解析;②图见解析,或【分析】(1)作PQ∥EF,由平行线的性质,即可得到答案;(2)①过作交于,由平行线的性质,得到,,即可得到答案;②根据题意,可对点P进行分类讨论解析:(1);(2)①,理由见解析;②图见解析,或【分析】(1)作PQ∥EF,由平行线的性质,即可得到答案;(2)①过作交于,由平行线的性质,得到,,即可得到答案;②根据题意,可对点P进行分类讨论:当点在延长线时;当在之间时;与①同理,利用平行线的性质,即可求出答案.【详解】解:(1)作PQ∥EF,如图:∵,∴,∴,,∵∴;(2)①;理由如下:如图,过作交于,∵,∴,∴,,∴;②当点在延长线时,如备用图1:∵PE∥AD∥BC,∴∠EPC=,∠EPD=,∴;当在之间时,如备用图2:∵PE∥AD∥BC,∴∠EPD=,∠CPE=,∴.【点睛】本题考查了平行线的性质,解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补,两直线平行内错角相等,从而得到角的关系.10.(1),;(2)30°;(3)15秒或82.5秒【分析】(1)解出式子即可;(2)根据,用含t的式子表示出,根据(2)中给出的条件得出方程式,求出t的值,进而求出的度数;(3)根据灯B的解析:(1),;(2)30°;(3)15秒或82.5秒【分析】(1)解出式子即可;(2)根据,用含t的式子表示出,根据(2)中给出的条件得出方程式,求出t的值,进而求出的度数;(3)根据灯B的要求,t<150,在这个时间段内A可以转3次,分情况讨论.【详解】解:(1).又,.,;(2)设灯转动时间为秒,如图,作,而,,,,,,(3)设灯转动秒,两灯的光束互相平行.依题意得①当时,两河岸平行,所以两光线平行,所以所以,即:,解得;②当时,两光束平行,所以两河岸平行,所以所以,,解得;③当时,图大概如①所示,解得(不合题意)综上所述,当秒或82.5秒时,两灯的光束互相平行.【点睛】这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用.根据平行线的性质找到对应角列出方程是解题的关键.三、解答题11.(1)146°;(2)∠AOG+∠NEF=90°;(3)见解析【分析】(1)作CP//a,则CP//a//b,根据平行线的性质求解.(2)作CP//a,由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠N解析:(1)146°;(2)∠AOG+∠NEF=90°;(3)见解析【分析】(1)作CP//a,则CP//a//b,根据平行线的性质求解.(2)作CP//a,由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°.(3)分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况,过点P作a,b的平行线求解.【详解】解:(1)如图,作CP//a,∵a//b,CP//a,∴CP//a//b,∴∠AOG=∠ACP=56°,∠BCP+∠CEF=180°,∴∠BCP=180°-∠CEF,∵∠ACP+∠BCP=90°,∴∠AOG+180°-∠CEF=90°,∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°.(2)∠AOG+∠NEF=90°.理由如下:如图,作CP//a,则CP//a//b,∴∠AOG=∠ACP,∠BCP+∠CEF=180°,∵∠NEF+∠CEF=180°,∴∠BCP=∠NEF,∵∠ACP+∠BCP=90°,∴∠AOG+∠NEF=90°.(3)如图,当点P在GF上时,作PN//a,连接PQ,OP,则PN//a//b,∴∠GOP=∠OPN,∠PQF=∠NPQ,∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°,∴∠GOP=135°-∠POQ,∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF.如图,当点P在GF延长线上时,作PN//a,连接PQ,OP,则PN//a//b,∴∠GOP=∠OPN,∠PQF=∠NPQ,∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN,∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF,∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF.【点睛】本题考查平行线的性质的应用,解题关键是熟练掌握平行线的性质,通过添加辅助线及分类讨论的方法求解.12.(1);(2);(3)不发生变化,理由见解析【分析】(1)如图1,延长DE交AB于点F,根据平行线的性质推出;(2)如图2,过点E作ES∥AB,过点H作HT∥AB,根据AB∥CD,AB∥E解析:(1);(2);(3)不发生变化,理由见解析【分析】(1)如图1,延长DE交AB于点F,根据平行线的性质推出;(2)如图2,过点E作ES∥AB,过点H作HT∥AB,根据AB∥CD,AB∥ES推出,再根据AB∥TH,AB∥CD推出,最后根据比大得出的度数;(3)如图3,过点E作EQ∥DN,根据得出的度数,根据条件再逐步求出的度数.【详解】(1)如答图1所示,延长DE交AB于点F.AB∥CD,所以,又因为,所以,所以AC∥DF,所以.因为,所以.(2)如答图2所示,过点E作ES∥AB,过点H作HT∥AB.设,,因为AB∥CD,AB∥ES,所以,,所以,因为AB∥TH,AB∥CD,所以,,所以,因为比大,所以,所以,所以,所以(3)不发生变化如答图3所示,过点E作EQ∥DN.设,,由(2)易知,所以,所以,所以,所以.【点睛】本题考查了平行线的性质,求角的度数,正确作出相关的辅助线,根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键.13.(1);(2)①或;②秒或或秒【分析】(1)通过延长作辅助线,根据平行线的性质,得到,再根据外角的性质可计算得到结果;(2)①当时,分两种情况,Ⅰ当在和之间,Ⅱ当在和之间,由,计算出的运动时间解析:(1);(2)①或;②秒或或秒【分析】(1)通过延长作辅助线,根据平行线的性质,得到,再根据外角的性质可计算得到结果;(2)①当时,分两种情况,Ⅰ当在和之间,Ⅱ当在和之间,由,计算出的运动时间,根据运动时间可计算出,由已知可计算出的度数;②根据题意可知,当时,分三种情况,Ⅰ射线由逆时针转动,,根据题意可知,,再平行线的性质可得,再根据三角形外角和定理可列等量关系,求解即可得出结论;Ⅱ射线垂直时,再顺时针向运动时,,根据题意可知,,,,可计算射线的转动度数,再根据转动可列等量关系,即可求出答案;Ⅲ射线垂直时,再顺时针向运动时,,根据题意可知,,,根据(1)中结论,,,可计算出与代数式,再根据平行线的性质,可列等量关系,求解可得出结论.【详解】解:(1)延长与相交于点,如图1,,,,;(2)①Ⅰ如图2,,,,射线运动的时间(秒,射线旋转的角度,又,;Ⅱ如图3所示,,,,射线运动的时间(秒,射线旋转的角度,又,;的度数为或;②Ⅰ当由运动如图4时,与相交于点,根据题意可知,经过秒,,,,,又,,解得(秒;Ⅱ当运动到,再由运动到如图5时,与相交于点,根据题意可知,经过秒,,,,,运动的度数可得,,解得;Ⅲ当由运动如图6时,,根据题意可知,经过秒,,,,,,,又,,,解得(秒),当的值为秒或或秒时,.【点睛】本题主要考查平行线性质,合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键.14.(1)证明见解析;(2)(Ⅰ);(Ⅱ).【分析】(1)先根据平行线的性质可得,再根据角的和差可得,然后根据平行线的判定即可得证;(2)(Ⅰ)先根据平行线的性质可得,从而可得,再根据角的和差可得解析:(1)证明见解析;(2)(Ⅰ);(Ⅱ).【分析】(1)先根据平行线的性质可得,再根据角的和差可得,然后根据平行线的判定即可得证;(2)(Ⅰ)先根据平行线的性质可得,从而可得,再根据角的和差可得,然后根据即可得;(Ⅱ)设,从而可得,先根据角平分线的定义可得,再根据角的和差可得,然后根据建立方程可求出x的值,从而可得的度数,最后根据平行线的性质即可得.【详解】(1),,又,,;(2)(Ⅰ),,,,由(1)已得:,,;(Ⅱ)设,则,平分,,,,,由(1)已得:,,即,解得,,又,.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的几何应用等知识点,熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键.15.[探究]70°;[应用]35【分析】[探究]如图②,根据AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,即可求∠EPF的度数.[应用]如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线解析:[探究]70°;[应用]35【分析】[探究]如图②,根据AB∥CD,∠AEP=50°,∠PFC=120°,即可求∠EPF的度数.[应用]如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,可得∠G的度数.【详解】解:[探究]如图②,过点P作PM∥AB,∴∠MPE=∠AEP=50°(两直线平行,内错角相等)∵AB∥CD(已知),∴PM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行),∴∠PFC=∠MPF=120°(两直线平行,内错角相等).∴∠EPF=∠MPF-MPE=120°50°=70°(等式的性质).答:∠EPF的度数为70°;[应用]如图③所示,∵EG是∠PEA的平分线,PG是∠PFC的平分线,∴∠AEG=∠AEP=25°,∠GCF=∠PFC=60°,过点G作GM∥AB,∴∠MGE=∠AEG=25°(两直线平行,内错角相等)∵AB∥CD(已知),∴GM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行),∴∠GFC=∠MGF=60°(两直线平行,内错角相等).∴∠G=∠MGF-MGE=60°-25°=35°.答:∠G的度数是35°.故答案为:35.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论,解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质.四、解答题16.解决问题:6;拓展延伸:(1)S1=2S2(2)10.5【解析】试题分析:解决问题:连接AE,根据操作示例得到S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC,从而得到结论;拓展延伸:(1)解析:解决问题:6;拓展延伸:(1)S1=2S2(2)10.5【解析】试题分析:解决问题:连接AE,根据操作示例得到S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC,从而得到结论;拓展延伸:(1)作△ABD的中线AE,则有BE=ED=DC,从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积,由此即可得到结论;(2)连接AO.则可得到△BOD的面积=△BOC的面积,△AOC的面积=△AOD的面积,△EOC的面积=△BOC的面积的一半,△AOB的面积=2△AOE的面积.设△AOD的面积=a,△AOE的面积=b,则a+3=2b,a=b+1.5,求出a、b的值,即可得到结论.试题解析:解:解决问题连接AE.∵点D、E分别是边AB、BC的中点,∴S△ADE=S△BDE,S△ABE=S△AEC.∵S△BDE=2,∴S△ADE=2,∴S△ABE=S△AEC=4,∴四边形ADEC的面积=2+4=6.拓展延伸:解:(1)作△ABD的中线AE,则有BE=ED=DC,∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积=S2,∴S1=2S2.(2)连接AO.∵CO=DO,∴△BOD的面积=△BOC的面积=3,△AOC的面积=△AOD的面积.∵BO=2EO,∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5,△AOB的面积=2△AOE的面积.设△AOD的面积=a,△AOE的面积=b,则a+3=2b,a=b+1.5,解得:a=6,b=4.5,∴四边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5.17.(1)详见解析;(2)∠BAE+∠MCD=90°,理由详见解析;(3)详见解析.【详解】试题分析:(1)先根据CE平分∠ACD,AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,再解析:(1)详见解析;(2)∠BAE+∠MCD=90°,理由详见解析;(3)详见解析.【详解】试题分析:(1)先根据CE平分∠ACD,AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180,故可得出结论;(2)过E作EF∥AB,根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD,∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,故∠BAE+∠ECD=90°,再由∠MCE=∠ECD即可得出结论;(3)根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°,∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,故∠BAC=∠PQC+∠QPC.试题解析:证明:(1)∵CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE.∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠BAC+∠ACD=180,∴AB∥CD;(2)∠BAE+∠MCD=90°.证明如下:过E作EF∥AB.∵AB∥CD,∴EF∥∥AB∥CD,∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE.∵∠E=90°,∴∠BAE+∠ECD=90°.∵∠MCE=∠ECD,∴∠BAE+∠MCD=90°;(3)①∠BAC=∠PQC+∠QPC.理由如下:如图3:∵AB∥CD,∴∠BAC+∠ACD=180°.∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,∴∠BAC=∠PQC+∠QPC;②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°.理由如下:如图4:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACQ.∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°,∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°.点睛:本题考查了平行线的性质,根据题意作出平行线是解答此题的关键.18.(1)50°;(2)①见解析;②见解析;(3)360°.【分析】(1)根据题意,已知,,可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解;(2)①先根据折叠得:∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′解析:(1)50°;(2)①见解析;②见解析;(3)360°.【分析】(1)根据题意,已知,,可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解;(2)①先根据折叠得:∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,由两个平角∠AEB和∠ADC得:∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差,化简得结果;②利用两次外角定理得出结论;(3)由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去(∠B'GF+∠B'FG)以及(∠C'DE+∠C'ED)和(∠A'HL+∠A'LH),再利用三角形的内角和定理即可求解.【详解】解:(1)∵,,∴∠A′=∠A=180°-(65°+70°)=45°,∴∠A′ED+∠A′DE=180°-∠A′=135°,∴∠2=360°-(∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE)=360°-310°=50°;(2)①,理由如下由折叠得:∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,∵∠AEB+∠ADC=360°,∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED,∴∠1+∠2=2(180°-∠ADE-∠AED)=2∠A;②,理由如下:∵是的一个外角∴.∵是的一个外角∴又∵∴(3)如图由题意知,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-(∠B'GF+∠B'FG)-(∠C'DE+∠C'ED)-(∠A'HL+∠A'LH)=720°-(180°-∠B')-(180°-C')-(180°-A')=180°+(∠B'+∠C'+∠A')又∵∠B=∠B',∠C=∠C',∠A=∠A',∠A+∠B+∠C=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.【点睛】题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理.注意折叠前后图形全等;三角形内角和为180°;四边形内角和等于360度.19.(1)①70;②∠F=∠BED,证明见解析;(2)2∠F+∠BED=360°;(3)【分析】(1)①过F作FG//AB,利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠A解析:(1)①70;②∠F=∠BED,证明见解析;(2)2∠F+∠BED=360°;(3)【分析】(1)①过F作FG//AB,利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF,利用角平分线的定义得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF),求得∠ABF+∠CDF=70,即可求解;②分别过E、F作EN//AB,FM//AB,利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE,利用角平分线的定义得到∠BED=2(∠ABF+∠CDF),同理得到∠F=∠ABF+∠CDF,即可求解;(2)根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,过点E作EG∥AB,则∠BEG+∠ABE=180°,因为AB∥CD,EG∥AB,所以CD∥EG,所以∠DEG+∠CDE=180°,再结合①的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系;(3)通过对的计算求得,利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得,即可求得.【详解】(1)①过F作FG//AB,如图:∵AB∥CD,FG∥AB
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