考研2005-2012年数一答案

20052012年研究生入学考试（数学一）试题答案解析

2005年硕士研究生入学考试（数学一）答案解析

-、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

x211

（1）曲线y=上一的斜渐近线方程为y=-x--.

2x+l”24

【详解】因为a=lim.=lim=L

•98XXT82Xf+X2

-X£

b-lim[/(x)-tzx]=lim

X—>8X—>002(2x+l)4

于是所求斜渐近线方程为y=；%一

(2)微分方程xy'+2y=xlnx满足y(l)=的解为y=；xlnx-；x..

【详解】原方程等价为

，2.

y+—y=lnx

x9

于是通解为y=eJinx•eJ/Zx+C]=-^-[jx2\nxdx+C]

1,1八1

=—xInxx+C~,

39x2

由y(D=得C=0,故所求解为y=gxlnx—gx.

⑶包

dng.3)3

【详解】因为—生=»,包=工，于是所求方向导数为

36dz9

du111111V3

~-，I—•“”一，I•,

dng.3)-3733733V33'

V2,

(4)2兀q_炉.

【详解】\\xdydz+ydzdx+zdxdy=^^idxdydz

SQ

=3jp~dp^s\n(pd(p^d0=2乃(1一^^)7?3.

1.

(5)\B\=2.

【详解】由题设，有

B=(a,+a2+a3,at+2a2+4a3,a,+3a2+9a3)

111111

二(%,。2,)123，于是有忸|=|4123=1x2=2.

149149

(6)叩=2}=—

48

【详解】P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2|x=1}+P{X=2}P{y=2|X=2}

+P{X=3}P{V=2X=3}+P{X=4}尸{Y=2X=4}

」x(O+W)=2

423448

二、选择题(

(7)C]

当W<1时，/(x)=lim，l+kr=1.

【详解】

当国=1时，/(x)=limVlTl=1；

n-VTi

/(x)=lim|x|3(^-+l)"=|x|3,

当W>i时,

-3

—X,X<-1,

即/(x)=v1,—1<x<1,可见f(x)仅在x=±1时不可导，故应选(C).

X3,X>1.

(8)fA]

【详解】方法一：任一原函数可表示为b(x)=[/⑴力+C,且尸(x)=/(x).

当F(x)为偶函数时，有E(—x)=F(x),于是尸'(一x)•(-1)=尸(x),即-f(-x)=/(x),

也即/(—x)=—/(x),可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⑺力为偶函

数，从而/(x)=[/(f)力+C为偶函数，可见(A)为正确选项.

方法二：令f(x)=I,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x，则取F(x)=-x2,排除(D);

2

故应选(A).

1.

(9)[B]

a

【详解】因为‘■=(p\x+y)+(p\x一y)+w(x+y)-w(x-y)，

dx

—=<p'(x+y)~(p\x-y)+-(x+y)+y/(x-y)，

Sy

于是—y=(p\x+y)+(p\x-y)+i//\x+y}-ii/'[x-y),

dx

VX-=e"(x+y)—(p"(x-y)+夕'(x+y)+U(x-y),

oxoy

粤=(p\x+y)+(p\x-y)+w'(x+y)-y),兽=兽

dydxdy

(10)[D]

【详解】令F(x,y,z)=xy—zlny+e"—1,则

xz

F'x-y+ezF'.-x-—,上'=-Iny+e*x,

y

且F；(0,l,l)=2,F；(0,l,l)=-l,£'(0,l,l)=0.由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和

y=y(x,z).故应选(D).

(11)[B]

【详解】方法一：令k{ai+k2A(a1+a2)=0,则

ktat+&24al+七42a2=0,(kl+k2Al)ai+k2A.2a2=0.

由于明,。2线性无关，于是有

软+=0,

左2几2=0.

当712Ho时，显然有匕=0,七=0,此时a1，A（O[+%）线性无关；反过来,

若%,A（%+%）线性无关，则必然有400（，否则，%与4%+%）=4%线性相关），

故应选（B）.

14

方法二:由于[aA(«,+%)]=[%，4al+Aa]=[a,a]

1522i2o4

14

可见%，A（%+。2）线性无关的充要条件是2,。0.故应选（B）.

0%

1.

(12)[C]

【详解】由题设，存在初等矩阵用2(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使

得=B，于是8*=(/&*=A*E*i22T=-4*号2,即

A*E|2=—8*,可见应选(C).

(13)[B]

【详解】由题设，知a+b=0.5

又事件｛X=0｝与｛X+Y=l｝相互独立，于是有

p{x=o,x+y=1}=P{X=0}P{x+y=1},

即a=(0.4+a)(a+6),山此可解得a=0.4,b=0.1,故应选(B).

(14)[D]

【详解】由正态总体抽样分布的性质知，十二=6兄~N(0,l),可排除(A);

/4n

又与9=近工~/(〃一1),可排除(C)；-(H-I)S2不能

沏s「

断定(B)是正确选项.

因为X；~%2⑴,~%2(〃_1),且X；~%2⑴与fx；~力2(〃_1)相互独

i=2i=2

故应选(D).

三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分11分)

【详解】令D,={(x,y)|0<x2+y2<l,x>0,y>0},

22

D2={(x,y)|l<x+y<V2,x>0,y>0}.

则|Jxy[l+x2+y2]dxdy=^xydxdy+2^xydxdy

DAD2

=Esin6cos"“ddr+2Esinecos"e『Pdr

(16)(本题满分12分)

【详解】因为lim("+D(2〃+D+l〃⑵L1)=],所以当一〈I时，原级数绝对收

"T8(〃+1)(2〃+1)〃(2〃-1)+1

1.

敛，当f>l时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为(一1,1)

记

则

M2M-1

8|

S”(x)=X(-l)"T--2=,xe(-l,l).

由于5(0)=0,570)=0,

所以S'(x)=['S\t)dt=[―^—dt=arctanx,

力力1+产

S(x)=£Sf(t)dt=£arctantdt=xarctanx-ln(l+x2).

.8丫2

又^(-l)n-'x2n=—

M1+x

X2

从而/(x)=2S(x)+—

1+x

=lxarctanx-ln(l+x2)+-----,xe(-1,1).

l+x

(17)(本题满分11分

【详解】由题设图形知,f(0)=0,尸(0)=2；f(3)=2,r(3)=—2J"(3)=0.

由分部积分，知

j(，+x)/(x)dx=^(x2+x)df"(x')-(x2+x)/ff(x)|Jf{x}(2x+\)dx

=-f(2x+l)4'(x)=-(2x+l)/'(x)|；+2ff'(x)dx

=16+2[/(3)-/(0)]=20.

(18)(本题满分12分)

【详解】⑴令/(x)=/(x)-l+x,则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-l<0,F(l)=l>0,

于是由介值定理知，存在存在Je(0,l),使得产《)=0,即/6)=1一2

(II)在［0,目和4,1］上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点

1.

77e(0,J)4eC，l)，使得/'(〃)="?一《°)，〃(7)二弋一/4)

〈一。1一4

于是「⑺f")=F■1

(19)(本题满分12分)

【详解】(I)

如图，将C分解为：C=/,+12,另作一条曲线。围绕原点且与C相接，则

r(P(y)dx+2xydy=r*()>)—+2xydy_(•(p(y)dx+2xydy=

i'-2x2+y4——-2x2+y4设—2x2+y4

(ID设尸=_^1^,Q=—P,。在单连通区域x〉0内具有一阶连续偏导数，

2x+y2x+y

由(I)知，曲线积分|■丝丝土学》在该区域内与路径无关，故当x>0时，总有

dQ_dP_

dxdy

dQ_2yW+;/)-4x2盯-4。+2y$

~dx~(2x2+/)2-(2x2+y4)2

3P=O'(y)(2x2+y4)-49(y)y3=2》2-(>)+《(y)y，-4p(y)y3

而一(2x2+y4)2—(27+77'

比较①、②两式的右端，得

(p'(y)=-2y,③

g〈y)y4一4夕(>))，3=2y5.④

由③得例y)=-y2+c,将夕(y)代入④得2)户—4cV=2/,

所以c=0,从而夕(y)=—V.

(20)(本题满分9分)

【详解】(I)二次型对应矩阵为

1.

1-a1+a0

A1+al-a0

002

l-a1+a0

由二次型的秩为2,知|A|-1+al-a0—0,得a=0.

002

110

(II)这里A110可求出其特征值为4=%=2,4=o.

002

0

解(2E—A)x=0,得特征向量为:

1

解(0E—A)x=0,得特征向量为:

由于%,%已经正交，直接将%,%，单位化，得:

7,

令。=[%%]，即为所求的正交变换矩阵，由*=(3丫，可化原二次型为标准形:

a2

f(x,,x2,x3)=2y^+2y].

(Ill)由f(xl,x2,x3)=2yf+2y；=0,得y1—0,y2=0,y3—k(k为任意常数).

从而所求解为：x=Qy=M%为任意常数.

(21)(本题满分9分)

【详解】由AB=O知,B的每一列均为Ax=0的解,且r(A)+r(6)<3.

(1)若1<工9,贝IIr(B)=2,于是r(A)Wl,显然r(A)21,故r(A)=l.可见此时Ax=0的基

础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2,矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系,

1.

乩,…

4V)

(2)若k=9,则r(B)=l,从而14r(A)42.

I）若r（A）=2,则Ax=O的通解为:x，占为任意常数.

2）若r（A）=l,则Ax=O的同解方程组为：ax1+法2+CX3=°，不妨设。7°，则其通解

为x2为任意常数.

（22）（本题满分9分）

【详解】（I）关于X的边缘概率密度

'dy,O<X<l,

fx(%)=f(x,y)dy=<J)

0,其他•

2x,0<x<1,

=\o,其他

关于Y的边缘概率密度

£dx,0<y<2,

0,其他

l_2,0<y<2,

o2其他

(ID令尸Z(Z)=P{Z4Z}=P{2X-24Z}，

1)当z<0时，Fz(z)=P{2X-Y<z}=0x

2)当0«z<2时，Fz(z)=P{2X-Y<z}

3)当z22时，Fz(z)=P{2X-Y<z}=i.

1.

°，z<0,

1-

2

即分布函数为：Fz(z)="z--z,0<z<2,

1,z»2.

I_J_70<z<2,

故所求的概率密度为：/z(z)=42廿八

0,其他

(23)(本题满分9分)

【详解】由题设，知X1,X2,…,*"(”>2)相互独立，且

EXi=0,OX‘=1(/=1,2,•••,«),£X=0.

(I)DYt=D(Xi-X)=Z)[(l-1)X,.--VX.]

ii"

=(>—)2£>Xj+uXOX,

(〃一I/1,八77-1

+--(n-l)=

n~nn

(II)Cov(y,,Yn)=E[(r1-EYi)(F„-EYn)]

=£(y1y„)=F[(x1-x)(x„-x)]

=E(X1X〃-xK-x“T+*)

=E(X1X,)-2E(X汉)+EX2

2〃__

=0--E[X,2+Y++(EX)2

n>2

=--21-1=--1.

nnn

2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

二、填空题：1—6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线匕

xln(l+x)

(1)iim--------=2.

xf01-cosx一

,,王也、rxln(l+x)XXc

【详解】hm--------=hm-——=2.

1-cos

x-1X2

2

i.

(2)微分方程>'=史二»的通解是》=。猊7(》00).

x---------------

【详解】原方程等价为

两边积分得Iny=Inx—x+q,整理得

y=Cxex.(C=eC|)

(3)Ij.rdydz+2ydzdr+3(z-l)dxdy=2乃.

E

【详解】设4：z=l(x2+y2<l),取上侧，则

JJxdydz+2ydzdr+3(z-Ddrdy

jjxdydz+2ydzdr+3(z-l)dxd),-JJ.xdydz+2ydzcLx+3(z-l)dxdy.

E+E]S|

而JJxdydz+2ydzdx+3(z-l)drdy=jj16dv=6j~d^J'rdrjdz24，

S+S|v

jjxdydz+2)也dr+3(z-l)dxdy=0.

所以JJxdydz+2ydzdx+3(z-l)dxdy=27r.

(4)点(2,1,0)到平面3%+4y+5z=0的距离d=五.

【详解】d=喀上3s

V32+42+52

【详解】由题设，有

B(A-E)=2E

11..

于是有\B\\A-E\=4,而|4_同=1=2,所以忸|=2.

-1

(6)P{max{X,r}<l}=1.

【详解】由题设知，x与y具有相同的概率密度

1.

〔0,其他

则尸{max{x,y}«i}=p{x<i,y<1}=p{x<i}p{y<i}

=(P{X«I})2=[*)=，

【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：

S1

则尸{max{X,y}W1}=P{XWl,y41}=卫=—.

S9

二、选择题：7—14小题，每小题4分，共32分.

(7)[A]

【详解】由/'。)>0,7"(刈>0知，函数/3)单y♦

J=7(x)

调增加，曲线y=/(x)凹向，作函数y=/(x)的图形如[

右图所示，显然当Ax>0时，

,

△y>dy=f'(xn)dx=/(x0)Ar>0,故应选(A)-0|x。x0+Axx

(8)[CJ

.【详解】由题设可知积分区域0如右图所示，显然是y型域，则

原式=Fdy1/(x,y)dx

4/*

故选(C).

(9)[DJ2

0000

【详解】由“收敛知\>用收敛，所以级数011'

n=ln=l

9氏+"田收敛,故应选(D).

占2

或利用排除法:

1.

取a“=(—l)"L,则可排除选项(A),(B)；

n

1

取4=(—1)"则可排除选项(C).故(D)项正确.

yfn

(10)[D1

【详解】作拉格朗日函数F(x,y,/l)=/(x,y)+九。(兑y)，并记对应玉),%的参数几的

值为4，则

工'(/，加4)=0人’(入0，%)+4化'(/，〉'0)=。

Fy(%,%，4)=0力'(%,为)+4%'(/，%)=0

消去4,得

f'(无0，%)%'(小，%)-fy(%,%)%'(%,%)=0,

整理得f'(x„，%)=----f'(Xo,先)(p：(Xo,%).(因为(p：(x,y)/0),

%—

若£(%,%)声0,则fv'(Xo，%WO.故选(D).

(11)[C]

【详解】记5=(四,。2,…,a,)，则(Aai.Aa2,…,Aa,)=A8.

所以，若向量组％,a2，…,《线性相关，则r(8)<s,从而r(A6)Wr(B)<s,向量组

A,,Aa2,…,Aa,也线性相关，故应选(A).

(12)[B]

【详解】由题设可得

‘110、4-1Q10>(\-10、

B=010A,C=B010=010A010

110

、00"、0001八00

‘1-10、

而尸7=010则有C=PAP，故应选(B).

、。0"

(13)[B]

【详解】由题设，知尸(AIB)==1,即尸(AB)=P(A).

1.

又P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A).

故应选(C).

(14)[D]

【详解】由题设可得

、/b]、％b:

2of—kl>2O(i、

则。?-1,即①—>0)

其中O(x)是标准正态分布的分布函数.

又①(X)是单调不减函数，贝即

CT|＜72

故选(A).

三、解答题：15—23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

【详解】积分区域。如右图所示.因为区域。关于x轴对称，

函数/(x,y)=-7~r是变量y的偶函数，

l+x~+y-

函数g(x,y)=---v——？是变量y的奇函数.

l+x+y

则

[(-------ydrdy=2[[----，----AxAy=2pd。

J,Jl+x2+y2-JJl+x2+y2-』)

dxe

?1T人十7)

(16)(本题满分12分)

【详解】(I)因为0＜玉＜万，则0＜々=sinX]

可推得0＜x,,+|=sinx“K1〈肛〃=1,2,…，则数列｛%｝有界.

于是&=任幺＜],因当x＞0时,sinx＜x),则有x,川＜x“，可见数列｛xj单

A

1.

调减少，故由单调减少有卜界数列必有极限知极限limx”存在.

设limX”=/，在x=sinx两边令〃r8,得/=sin/,解导/=0,即lim=0.

n—><x>n+lnn->oo

I1

(ID因lim如“=lim空当•"，由(I)知该极限为「型，

M—>ooYrt—>coAY-

\7knJ

令f=X“，则〃一而

sin/

i-------1

c-1(sinz八「sinr-rcosr-1-sinr1

又lim------1=hm------=lim-------=lim-----=——

J。rvt)一°rt。3rt。6t6

（利用了sinx的麦克劳林展开式）

=e6.

（17）（本题满分12分）

YxAB

-----------=-----1----

【详解】K(2-x)(l+x)2-x1+x

21if?1]__1_____1_

比较两边系数可得A=—,8=-一，即/。)=------------

33312-x1+x3口一可

I2

1818(元丫

而----=e(-1,1)»----=Z彳，X£(-2,2),

1+Xn=0I——"=012J

2

故

f(x)=一=彳之(一1)"£」切(—1严(-1,1).

2+x-x231白,£2"J2"J

（18）（本题满分12分）

【详解】（D设〃=jY+J,则

包=r（〃）T^,包=八"）4=

&7777办乒了

1.

X2

)野+>2

2

SzXY

222

+yr+y

X2

r(M).___+r(M).T'

)+力5

彖加）.*+小，）.X2

r*

，+疔

2222

物dzdz心x6z,8znza

将旅'厅代入布+凝=°得

/"(〃)+位=0.

u

(II)令r(w)=p,则p'+K=0n^=—包，两边积分得

upU

Inp=-InM+InC,>即p=J,亦即/'(〃)=」.

uu

由广⑴=i可得G=i.所以有/'(〃)=->两边积分得

U

f(u)=In”+。2，

由/(1)=0可得。2=°，故/3)=ln”.

(19)(本题满分12分)

【详解】/(fx,Zy)=尸/(x,y)两边对f求导得

xf'(tx,ty)+yfy(tx,ty)=-2t~3f(x,y).

令t=l,则xf'(x,y)+yf'Xx,y)=-2f(x,y).①

设尸(居》)=»(%,>),。(居>)=一4(居》)，则

~=~f(x,y)-犹.'(x,y),%=f(x,y)+yf',{x,y).

dxoy

则由①可得

故由曲线积分与路径无关的定理可知，对。内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,

都有

LW(X,y)dx-xf(x,y)dy=0.

1.

（20）（本题满分9分）

【详解】⑴设是方程组Ax=£的3个线性无关的解，其中

'1111、-1

A=435-1,p-1

13b,17

则有AQ_%)=0,AQ

则%-a2，/-是对应齐次线性方程组Ax=O的解，且线性无关.（否则，易推出

线性相关，矛盾）.

所以n-r(A)>2,即4—尸(A)22nr(A)42.

11

又矩阵A中有一个2阶子式=—1*0,所以«4)W2.

43

因此r(A)=2.

(II)因为

111、T11T111

A=435-101-50-11-5

1304—2。

b7、°3—cib-a7、°b+4a-57

又r(A)=2,则

4-2a=0a=2

n<

/?+4a-5=0b=-3

对原方程组的增广矩阵A施行初等行变换,

1111-1、02-42、

A435-1-10-15-3

213-31,,000007

故原方程组与下面的方程组同解.

x]=-2X3+4X4+2

x2=x3—5X4-3

选七,甚为自由变量，则

1.

%=—2项+4,j+2

x2=x3-5X4-3

工3=七

X4=x4

故所求通解为

42

-5-3

,占，。为任意常数.

00

0

（21）（本题满分9分）

【详解】（I）因为矩阵A的各行元素之和均为3,所以

|T

A1

则由特征值和特征向量的定义知，2=3是矩阵A的特征值，1=（1,1,1尸是对应

的特征向量.对应4=3的全部特征向量为ka,其中k为不为零的常数.

又由题设知Aa}=0,Aa2=0,即4a।=0-%,Aa?=0，a2，而且线性无

美,所以4=0是矩阵A的二重特征值，是其对应的特征向量，对应九=0的全

部特征向量为匕%+七%，其中配七为不全为零的常数.

（II）因为A是实对称矩阵，所以a与四,a2正交，所以只需将正交.

取B\=a、,

0-12

-3

-120

6

再将a,笈，△单位化，得

1.

n，I

f而F

aA2AO

同

=-f-w=忑==

1IAI

B瓦_&L

令。=[7，%，小]，则QT=Q'「，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得

3

QrAQ=0=A.

0

（22）（本题满分9分）

【详解】（D设丫的分布函数为4⑶），即4（y）=P（YWy）=P（X2«y）,则

1)当y<0时,耳（〉）=0；

2)

-dx+

2

,2

3)当IKy<4时，Fx(y)=/(X<y)=F(-l<X<

=£9+-2»

4)当yN4,%(y)=l.

所以

/"J"

4(y)=4'(y)=,

0,其他

(ID「f=巾~八4Hx“弓X&

=P(X<--,-2<X<2]=P(-2<X<--

I2JI2J

1.

(23)(本题满分9分)

【详解】记似然函数为L(6),则

L⑻=夕6••…8(1_8>(1叫•(1叫=*一)"”

两边取对数得

lnL(6)=Nln6+(〃—N)ln(i),

令dinUO)=N__n-N=°,解得d=△.为。的最大似然估计.

6391-0n

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分.

(1)[B]

【详解】当X—>0.忖，有l-e"=-(e"-l)—>/x；J1+V7—1~；

1-cosVx~—(A/X)2=—X.利用排除法知应选(B).

22

(2)[D]

【详解】因为lim[L+ln(l+e')]=oo,所以x=O为垂直渐近线：

1。X

又lim[l+ln(l+eJ)]=0,所以y=0为水平渐近线；

IFX

、什止ry1.r1ln(l+e)ln(l+eA)ex1

进一步，lim—=lim[—+--------]=rlim--------=rlim------=1,

A：—>4-00尤.r—>-KOxxf+ccJQXTMO]_|_gX

lim[)?-l-x]=lim[—+ln(l+ex)-A-]=lim[ln(l+^v)-x]

X-»+oOXT+oOXXT+OO

=lim[Inex(\+e-x)-x]=limln(l+"*)=0,

XT+oOX—>-KO

于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).

(3)[C]

【详解】根据定积分的几何意义，知尸(2)为半径是1的半圆面积：/(2)=，万，

2

11)33

P(3)是两个半圆面积之差：/(3)=—[4•「0一",(—)*■]=—"=—/(2),

2284

/(-3)=f(x)dx=-£3/(X)JX=[：/(x)dx=F(3)

因此应选(C).

(4)[D]

【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0,因此分子的极限也必须为0,均可推导出式0)=0.

1.

若lim&^存在，则/(0)=0,尸(0)=lim一/(°工lim=0,可见(C)也正确,

一。x-0x-0…。x

故应选(D).事实上，可举反例：/(x)=W在x=0处连续，且

lim/①一/(辿=]而凡二臼=0存在，但/(x)=1x1在x=0处不可导。

XTOxXTOx

(5)[D]

【详解】设©=/,则/(x)在(0,+oo)上具有二阶导数，且/"(x)>0,%<的,但

{〃“}={〃2}发散，排除(C);设犬》)=，,则加)在(0,+8)上具有二阶导数，且

X

f"M>O,U]>“，，但{〃“}=山收敛，排除(B);又若设/(x)=—Inx,则山)在(0,+8)上

n

具有二阶导数，且/"(x)>0,4>/，但{%}={-ln〃}发散,排除(A).故应选(D).

(6)[B]

【详解】设M、N点的坐标分别为M(X”M),N(X2，%)，玉<々，必〉巴•先将曲线方

程代入积分表达式，再计算有：

j/