新人教版高中数学必修第二册教案：8-6-3平面与平面垂直 教案

8.6.3平面与平面垂直

课题平面与平面的垂直单元第八单元学科数学年级高二

本节内容是空间平面与平面垂直，由生活实际立体图形导入，进而引出本节要学的内容。

教材

分析

教学1.数学抽象：通过将实际物体抽象成空间图形并观察平面与平面垂直关系。

目标2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。

与核3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力，有利

心素于数学建模中推理能力。

养4.空间想象：本节重点是考查学生空间想象能力。

重点平面垂直判定、二面角、面面垂直性质

难点平面垂直判定、二面角、面面垂直性质

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样学生思考问利用生活实际引

的位置呢？为了让一面墙砌的稳固，不易倒塌，不

易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的题，引出本节出本节新课内

位置关系呢？新课内容。容。

讲授新课1.二面角根据实例观通过具体立体图

定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图察空间中的形体会面面垂直

形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每面面垂直

个半平面叫做二面角的面。

记法

棱为1,两个面分别为a、B的二面角记作a-1-B。

2.思考：二面角的平面角的大小，与角的顶点在

棱上的位置有关吗，为什么？

答：无关.如图，根据等角定理可知，ZAOB=ZA,

O'B',即二面角的平面角的大小与角的顶点的位

置无关，只与二面角的大小有关.

给出二面角培养学生的数形

3.二面角的平面角的特点：特点结合思想

(1)角的顶点在二面角的棱上

(2)角的两边分别在二面角的两个面内

(3)角的两边都与棱垂直

4.例一：已知，如图所示锐二面角a-1-B,A为面

a内一点，A到B的距离为2,到1的距离为4.求

二面角a-1-B的大小.

5.利用平面角求二面角大小的步骤:

(1)作二面角的平面角

(2)证明该角为平面角

(3)归纳到三角形求值

简记：一作、二找、三求解

小

6.例二：如图，AB是。0的直径，PA垂直于。。所

在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC,求二面

角P—BC—A的大小.学生独立思段炼学生解决问

考例二题能力

;

解:由已知PAJ_平面ABC,BC在平面ABC内/.PA±

BC

「AB是。。的直径，且点C在圆周上，；.AC_LBC

又•/PAAAC=A,PA,AC在平面PAC内，,BC_L平面PAC

又PC在平面PAC内,.*.PC±BC

又：BC是二面角P-BC-A的棱，.NPCA是二面角

P-BC-A的平面角

由PA=AC知aPAC是等腰直角三角形.IZPCA=45°,

即二面角P-BC-A的大小是45°

7.面面垂直定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是

直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面a与6

垂直，记作a

P--------1

%7

8.探究：建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌段炼学生独立解

小组讨论探

的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细绳紧贴决问题能力

究一并给出

墙面，工人师傅被认为墙面垂直于地面，否则他就

答案

认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道

理？

这个方法说明，如果墙面经过地面的垂线，那么墙

面与地面垂直。

9.定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么

这两个平面垂直。

符号语言：1在a内，1_LB,则a

10.例三：如图所示，在四面体A—BCD中，BD=

侬，AB=AD=CB=CD=AC=a.求证：平面ABD加深对知识的掌

学生独立完

平面BCD.握

成例三

A

/.....\\D

\/

C

总结用定义证明两个平面垂直的步骤

利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平

面垂直，判定的方法是：

①找出两个相交平面的平面角；

②证明这个平面角是直角；

③根据定义，这两个平面互相垂直.

11.练习一：如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'

中,求证：平面ABD垂直平面ACCA

Ary-c

c

A--"

证明：：ABCD-ABC'D'是正方体

.,.AA'J_平面ABCD

AAA'IBD

又BD_LAC

.*.BD_L平面ACC'A'

...平面ABDJ_平面ACC'A'

12.例四：如图，AB是圆0的直径，PA垂直于

段炼学生团队协

圆。所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一小组讨论例

作能力

点，求证:平面PACJ_平面PBC

证明：；PAL平面ABC

BC在平面ABC内

APA±BC

•••点C是圆周上不同于A,B的任意一点，AB是圆

0的直径

/.ZBCA=90°BPBC1AC

又PACAC=A,PA在平面PAC中，AC在平面PAC

中

ABC在平面PBC内

二平面PAC_L平面PBC

1、

1*

4

13.练习二：如图，棱柱ABC-AIBICI的侧面

BCGBi是菱形，BiClAiB.

证明：平面ABC平面AiBCi

学生独立思段炼学生对于新

考练习二知识的掌握

&B

证明：：四边形BCCB为梯形，...BCiLBiC,又已

知BiClAiB,

AiBCBC产B,...BiCJ■平面AiBG,又；BiC在平面

ABiC内，

平面ABiClAiBC,

学生小组探段炼其数学建模

探究：如L即，设a_LB,aGB=a,则B内任意一条究面面垂直思想

直线上与a有什么关系？相应的b与a有什么位置性质

关系?

/

V

证明：显夕生b与a平行或相交，当b〃a时，b〃a；当

b与a相及邛寸，b与a也相交。而当b垂直a时，b

也垂上Ia

14.练二习三如图，在四棱锥P—ABCD中，底面

ABCD为菱形，ZBAD=60°,侧面4PAD为等边

三角形.

⑴求证：AD1PB；

(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一

点F,使平面DEF_L平面ABCD?并证明你的结论.

P

AB

证明：设G为AD的中点，连接PG,BG,如图，

因为4PAD为等边三角形，所以PGLAD,在菱形

ABCD中，ZDAB=60°,G为AD中点，所以BG

±ADo又因为BGCPG=G,所以AD_L平面PGB。

因为PB属于平面PGB,所以AD1.PB。

P

AB

(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF,平面

ABCD如图设F为PC的中点，连接DF,EF,DE,

则在4PBC中，EF//PB.在菱形ABCD中GB//DE而

EF属于平面DEF,DE属于平面DEF,EFADE=E,

所以平面DEF//平面PGB,由(1)得ADJ_平面PGB,

而AD属于平面ABCD,所以平面PGB_L平面

ABCD,所以平面DEF_L平面ABCD

规律方法证明两两垂直常用的方法：

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二

面角.

(2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与

另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直

(3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平

面,则另一个也垂直于此平面.

15.练习四：如图PA_L平面ABC,平面PAB_L平面

锻炼其思考及总

PI3C,求证：ABXBC

学生独立思结能力

p考探究二

B

16.探究二：设平面a，平面I3,点P在平面。内，

过点P作平面B的垂线a,直3吉a与平面a有什么位

置关系？

/A

A/Jo

4I____

I'I

WLj/c/

////

证明：我们知道，过一点只能做一条直线与

已知平面垂直，因此，如果过一点有两条直

线与平面垂直，那么这两条直线重合。如图，

设aCB=c，过点P在平面a内作直线b±c,

根据平面与平面垂直的性质定理，b，B,因

为过一点有且只有一条直线与平面P垂直，

所以直线a与直线b重合，因此a在a内。

17.平面与平面垂直性质

两个平面垂直，如累一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交

文字语言

线，那么这条直线与另一个平面_垂直______

符号语言a±l(aca)=#_a±。______

段炼学生独立解

置形语言B

学生独立完决问题能力

①面面垂直C线面垂直

作用

②作面的垂线

成例五

例五：如图，已知平面a垂直平面B,直线a_LB,

a不在a内，判断a与a的位置关系。

解：在a内作垂直于a与B的直线b

a±P,AbiB

又a_L6a〃b

又a不在a内

/.a//a

即直线a与平面a平行

例六:如图，已知PA_L平面ABC,平面PAB_L平面PBC,

求证：BCJ_平面PAB

证明：如图，过点A作AEJ_PB,垂足为E

.平面PABJ_平面PBC,平面PABA平面PBC

，AE_L平面PBC

VBC在平面PBC内Z.AE1BC

,.•PA_L平面ABC,BC在平面ABC内

.*.PA_LBC又PACAE=A

.•.BC_L平面PAB

18.例七：如图所示，P是四边形ABCD所在平面外

的一点，四边形ABCD是NDAB=60°且边长为a的

菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底

面ABCD.

⑴若G为AD边的中点，求证：BG，平面PAD：

(2)求证：AD1PB.

P

a

«C

证明(1)连接BD,如图，在菱形ABCD中，

DAB=60°AAABD为正三角形又；G是AD的中点

BG_LAD又.平面PAD_L平面ABCD,平面PADA平面

ABCD=AD,BG在平面ABCD内，；.BG_L平面PAD

Bc

(2):△PAD为正三角形，G为AD的中点，.'.PG加强对知识的掌

±AD握