量子力学的矩阵形式与表象变换

量子力学的矩阵形式与表象变换第七章量子力学的矩阵形式与表象变换

方阵：行数与列数相等的矩阵。矩阵简介1、定义第2页,共68页，2024年2月25日，星期天2、两矩阵相等（行列数相等）3、两矩阵相加（行列数相等）4、两矩阵相乘（

一个n列的矩阵A与一个n行的矩阵B相乘）第3页,共68页，2024年2月25日，星期天

(1)称A、B矩阵相互不对易称A、B矩阵相互对易（2）(3)(4)，但B=C不一定成立(5)AB=0，但A=0，B=0不一定成立(6)A2=0，但A=0不一定成立第4页,共68页，2024年2月25日，星期天5、对角矩阵:除对角元外其余为零6、单位矩阵单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A并且与任何矩阵都是可对易的：IA=AI第5页,共68页，2024年2月25日，星期天把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转置矩阵。

7、转置矩阵：共轭矩阵：第6页,共68页，2024年2月25日，星期天8、厄密矩阵：如果一个矩阵A和它的共轭矩阵相等

则称A矩阵为厄密矩阵第7页,共68页，2024年2月25日，星期天表象理论根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数描述，力学量用线性厄密算符描述。前面所使用的波函数及力学量算符均以坐标为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？（即以其它力学量的本征值谱为变量）回答是：不仅有，而且非常必要！因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。量子力学中状态和力学量的具体表示方式——表象常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。第8页,共68页，2024年2月25日，星期天一个定义：表象的定义二个表示：态（波函数）在任意表象中的表示

力学量（算符）在任意表象中的表示三个公式：平均值公式本征值方程薛定谔方程在任意表象中的表示表象理论中采用的数学工具主要是矩阵矩阵力学（海森堡Heisenberg

）第9页,共68页，2024年2月25日，星期天§7.1量子态的不同表象讨论分立谱的情况的本征值为：F1,F2,...,F

n,...，相应本征函数：构成正交归一完备系在坐标表象中设力学量算符若体系状态用归一化波函数

(x,t)

描述，有：第10页,共68页，2024年2月25日，星期天说明：给出量子态在t时刻测量粒子坐标为x的概率密度（1）|an(t)

|2

表示在

(x,t)所描述的状态中测量F得Fn的概率密度二者从不同角度对同一量子态给予描述,物理意义是等价的,数学上也是等价的.（2）an(t)一般不再是坐标x的函数而是力学量F的本征值Fn的函数，即量子数n的函数，随n的不同取不同复数值.第11页,共68页，2024年2月25日，星期天结论：{an(t)}与

(x,t)描述体系的同一个态，(x,t)是这一状态在坐标表象中的表示，而数列{an(t)}是这同一状态在F表象中的表示。我们可以把数列{an(t)}写成列矩阵的形式，用F标记：把矩阵

F称为

(x,t)所描写的状态在F表象中的波函数

F的共轭矩阵是一个行矩阵，用

+F标记第12页,共68页，2024年2月25日，星期天若用矩阵表示归一化，有：

综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象中的波函数来描写。所取表象不同，波函数的形式也不同。我们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。

第13页,共68页，2024年2月25日，星期天例:若给出：中心力场能量表象为：第14页,共68页，2024年2月25日，星期天Hilbert（希耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间

量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系来表示同一矢量的概念十分相似。在量子力学中，我们可以建立一个n维（n可以是无穷大）空间，把波函数

看成是这个空间中的一个矢量，称为态矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展开系数可用这组分量来表示。，在F表象中态矢量

F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。第15页,共68页，2024年2月25日，星期天§7.2力学量(算符)的矩阵表示力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应，以保证对波函数的作用有意义。F表象中的算符表示（分立谱的情况）：设量子态

经过算符运算后变成另一个态

：在以力学量完全集F的本征态

k为基矢的表象（F表象）中，上式变成：第16页,共68页，2024年2月25日，星期天以左乘上式两边并对x积分，积分范围是x变化的整个区域得表成矩阵的形式则为：第17页,共68页，2024年2月25日，星期天

在F表象中的矩阵表示，而矩阵左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数

和波函数中的表示。即算符则有：

用表示这个矩阵在F表象第18页,共68页，2024年2月25日，星期天的性质讨论：

F表象中力学量算符1、算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。第19页,共68页，2024年2月25日，星期天证明:第20页,共68页，2024年2月25日，星期天2、力学量算符用厄密矩阵表示即L矩阵的第m列第n行的矩阵元等于第n列第m行矩阵元的复共轭，这就是厄密矩阵。用L+表示矩阵L的共轭矩阵，则有：其对角矩阵元为实数第21页,共68页，2024年2月25日，星期天证明:第22页,共68页，2024年2月25日，星期天一维无限深势阱能量的本征函数基矢为:求一维无限深势阱中粒子的坐标算符

及哈密顿算符在能量表象中的矩阵表示。

解：能级n=1,2,3,…..例:第23页,共68页，2024年2月25日，星期天当时，非对角元为:当m=n时,对角元为:坐标算符第24页,共68页，2024年2月25日，星期天哈密顿算符对角元：第25页,共68页，2024年2月25日，星期天§7.3量子力学公式的矩阵表示一、Schrödinger方程

在F表象中，

(t)按力学量算符F的本征函数展开,表示为左乘

j*对x整个空间积分（取标积）

第26页,共68页，2024年2月25日，星期天F表象中的Schrödinger方程(表示为矩阵形式):第27页,共68页，2024年2月25日，星期天二、平均值公式在量子态

下，力学量L的平均值为:F表象中力学量L的平均值的矩阵形式

第28页,共68页，2024年2月25日，星期天特例：若，则

（对角矩阵）则

，假定

已归一化，即

则表示在

态下测量L得到Lk值的概率。第29页,共68页，2024年2月25日，星期天三、本征值方程在F表象中，

(t)按力学量算符F的本征函数展开,表示为:左乘

j*对x整个空间积分（取标积）

第30页,共68页，2024年2月25日，星期天的本征方程在F表象中的矩阵形式:它是ak（k=0,1,2,

）满足的线性齐次方程组，有非平庸解的条件为（此方程组有非零解的条件)其系数行列式等于零，即即：第31页,共68页，2024年2月25日，星期天称为久期方程设表象空间维数为N，则上式是的N次幂代数方程。对于可观测量，Ljk为厄米矩阵，可以证明，上列方程必有N个实根，记为，(j=0,1,2,

,N)。可求出相应的解(k=0,1,2,,N)，表成列矢相应的本征态在F表象中的表示

与本征值第32页,共68页，2024年2月25日，星期天给定算符如何求本征值与本征函数——（1）先求用矩阵表示的本征方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程求本征函数。

第33页,共68页，2024年2月25日，星期天（1）在A表象中，算符A,B的矩阵表示。（2）在A表象中，算符B的本征值和本征函数。例1、设Hermite算符，满足，且AB+BA=0，求:第34页,共68页，2024年2月25日，星期天解题思路：由A的本征函数的定义，很容易求出在A表象中A的本征函数及矩阵，利用A,B之间的反对易关系和幺正性，即可给出B的矩阵，本征函数和本征值.第35页,共68页，2024年2月25日，星期天由解：（1）在A的自身表象中若无简并，A的矩阵为第36页,共68页，2024年2月25日，星期天由

AB+BA=0

，所以：第37页,共68页，2024年2月25日，星期天因为：有：bc=1即：所以，在A表象下，第38页,共68页，2024年2月25日，星期天（2）设在A表象中，B的本征函数与本征值为久期方程为：第39页,共68页，2024年2月25日，星期天同理，当λ=-1

时本征函数为：结合归一化条件，当λ=1时本征函数为，第40页,共68页，2024年2月25日，星期天例2、已知体系的哈密顿算符Ĥ与某一力学量算符在能量表象中的矩阵形式为：(1)、H和B是否是厄密矩阵；其中

和b为实常数，问(3)、算符B的本征值及相应的本征函数；(2)、H和B是否对易；第41页,共68页，2024年2月25日，星期天解：（1）所以H和B是厄密矩阵。第42页,共68页，2024年2月25日，星期天（2）所以H和B对易。第43页,共68页，2024年2月25日，星期天（3）设B的本征值为代入久期方程有：第44页,共68页，2024年2月25日，星期天第45页,共68页，2024年2月25日，星期天第46页,共68页，2024年2月25日，星期天例题3在正交归一化基矢所张的三维矢量空间中，t=0时的态矢而物理体系的能量算符H和另外两个物理量算符A与B的矩阵形式为:第47页,共68页，2024年2月25日，星期天态中算符A、B的

均为实数，求：（1）所采用的是什么表象？基矢是什么？（2）表象中波函数（态矢）的表示；（3）态的能量可能值及相应概率、（4）可能值、相应概率及平均值。第48页,共68页，2024年2月25日，星期天解：（1）因为矩阵H为对角矩阵.所以是能量表象；此表象为H的本征态，基矢在能量表象中为第49页,共68页，2024年2月25日，星期天（2）表象中波函数的表示为x表象有：故能量表象中态矢为:第50页,共68页，2024年2月25日，星期天（3）由对角矩阵可知，能量取值只能是且是两度简并的，取和的概率分别是:故或第51页,共68页，2024年2月25日，星期天（4）却不是A的本征函数集。令A在能量表象中的本征态为:是H的本征函数集，，则本征方程为本征值为第52页,共68页，2024年2月25日，星期天

故

故故解久期方程得时当当当时时第53页,共68页，2024年2月25日，星期天可见，由于能量表象不是的自身表象，故的矩阵形式不同于要求A的可能值(2a,a,-a)在态中（即态中）的概率分布，就要把按A的本征态展开第54页,共68页，2024年2月25日，星期天第55页,共68页，2024年2月25日，星期天最后得A表象中态矢表达式:所以A取值为(2a,a)的概率分别为:第56页,共68页，2024年2月25日，星期天量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以该方法所使用的符号称为Dirac符号。§4Dirac符号第57页,共68页，2024年2月25日，星期天1、右矢空间(ket)

量子体系的一切可能状态构成一个Hilbert空间。空间中的一个矢量（方向）一般为复量，用以标记一个量子态。在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量|>与量子状态相对应，该矢量称为右矢。若要标志某个特殊的态，则在右矢内标上某种记号。因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。右矢空间的任一矢量|

>可按该空间的某一完备基矢展开。

例如：

第58页,共68页，2024年2月25日，星期天右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为<|。2、左矢空间(bra)左矢<|表示共轭空间中与|>相应的一个抽象态矢。例如：互为共轭态矢

与第59页,共68页，2024年2月25日，星期天3、标积记为：

态矢间的标积：

有为归一化态矢。正交；若，则称与若，则称设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表示为：第60页,共68页，2024年2月25日，星期天4、态矢在具体表象中的表示在F表象中（基矢记为|k>），态矢|

>可用