2018年重庆理工大学考研专业课试题822高等代数（822）（A卷）_第1页
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重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第页(共4页)重庆理工大学2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：理学院学科、专业名称：数学，统计学考试科目（代码）：高等代数（822）（A卷）（试题共4页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题与答题纸装入原信封内交回。一、填空题（每小题3分，共15分）1.方程的所有根为________________.2.设,,为2阶单位矩阵,则________________.3.方程组有解的充要条件是________________.4.已知为3阶方阵,与相似,且的特征值为1,2,3.设为的伴随矩阵，则________________.5.已知实二次型经正交变换可化为标准形,则________________.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设为数域上的多项式,则下列说法正确的是().(A)若,则(B)若,则(C)若互素,则两两互素(D)若,则或2.设3阶方阵的秩,则().(A)0(B)1(C)2(D)33.设向量组可由向量组线性表示,则下列说法正确的是().(A)当时,向量组必线性相关(B)当时,向量组必线性相关(C)当时,向量组必线性相关(D)当时,向量组必线性相关4.若阶矩阵的任意一行的个元素之和都是,则必有一个特征值为().(A)(B)(C)0(D)5.设是欧氏空间的一个正交变换,则下列说法不正确的是().(A)保持向量的内积不变(B)保持向量的长度不变(C)不一定是可逆变换(D)在任一规范正交基下的矩阵是正交矩阵(14分)证明：设是数域上的次数大于0的多项式,则是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是,对上的任意多项式,必有,或者对某一正整数,有.(18分)计算阶行列式.五、(16分)设是阶方阵,是阶矩阵,且,证明：(1)(10分)如果,那么；(2)(6分)如果,那么.六、(18分)已知向量组,，，,,设生成的子空间为,生成的子空间为.(1)(10分)求子空间的维数；(2)(8分)求子空间的一个极大无关组.七、(20分)设是数域上所有3维行向量构成的向量空间，是的一个线性变换,给定的一个基：，，，且在基，，下的矩阵是.(1)(8分)求出在基，，下的矩阵；(2)(6分)求出的特征值和特征向量；(3)(6分)判定能否相似对角化.八、(14分)设是阶正定矩阵，是阶单位矩阵.(1)(8分)证明：的伴随矩阵是正定的；(2)(6分)证明：大于.九、(20分

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