常微分方程-§31解的存在唯一性定理与逐步逼近法省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

第三章

一阶微分方程解存在定理5/7/2024常微分方程1/405/7/2024常微分方程2/40需处理问题5/7/2024常微分方程3/40§3.1解存在唯一性定理与逐步迫近法

5/7/2024常微分方程4/40一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题5/7/2024常微分方程5/40(1)初值问题(3.1)解等价于积分方程连续解.证实思绪(2)结构(3.5)近似解函数列5/7/2024常微分方程6/40(逐步求(3.5)解,逐步迫近法)5/7/2024常微分方程7/40这是为了即5/7/2024常微分方程8/405/7/2024常微分方程9/40下面分五个命题来证实定理,为此先给出积分方程解假如一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这么关系式为积分方程.积分方程5/7/2024常微分方程10/40命题1初值问题(3.1)等价于积分方程证实:即5/7/2024常微分方程11/40反之故对上式两边求导,得且5/7/2024常微分方程12/40结构Picard逐步迫近函数列问题:这么结构函数列是否行得通,即上述积分是否有意义?注5/7/2024常微分方程13/40命题2证实:(用数学归纳法)5/7/2024常微分方程14/405/7/2024常微分方程15/40命题3证实:考虑函数项级数它前n项部分和为5/7/2024常微分方程16/40对级数(3.9)通项进行预计5/7/2024常微分方程17/405/7/2024常微分方程18/40于是由数学归纳法得知,对全部正整数n,有5/7/2024常微分方程19/40现设命题4证实:5/7/2024常微分方程20/40即5/7/2024常微分方程21/40命题5证实:由5/7/2024常微分方程22/405/7/2024常微分方程23/40综合命题1—5得到存在唯一性定理证实.5/7/2024常微分方程24/40一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题5/7/2024常微分方程25/40命题1初值问题(3.1)等价于积分方程结构Picard逐步迫近函数列命题25/7/2024常微分方程26/40命题3命题4命题55/7/2024常微分方程27/402存在唯一性定理说明5/7/2024常微分方程28/405/7/2024常微分方程29/405/7/2024常微分方程30/405/7/2024常微分方程31/403一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件5/7/2024常微分方程32/40三近似计算和误差预计求方程近似解方法---Picard逐步迫近法,这里5/7/2024常微分方程33/40注:上式可用数学归纳法证实则5/7/2024常微分方程34/40例1讨论初值问题解存在唯一区间,并求在此区间上与真正解误差不超解因为由(3.19)5/7/2024常微分方程35/405/7/2024常微分方程36/40例2求初值问题解存在唯一区间.解5/7/2024常微分方程37/40例3利用Picard迭代法求初值问题解.解与初值问题等价积分方程为5/7/2024常微分方程38/40其