2021年河南省中考数学总复习：辅助圆问题

2021年河南省中考数学总复习辅助圆问题微专题辅助圆问题模型一定点定长作圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上(如图①).依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.(10年9考，常在几何图形折叠与动点问题中涉及考查)模型分析图①图②推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧.针对演练第1题图1.如图，已知OC＝3，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝2，BC＝4，请在平面内画出点A、B的运动轨迹.第1题解图解：如解图，点A的运动轨迹为⊙O，点B的运动轨迹为⊙C.第2题图2.如图，在▱ABCD中，点E为AD边上一点，点F为边AB上的动点，将△AEF沿EF折叠得到△A′EF，请在图中画出点A′在▱ABCD内(含边上的点)的运动轨迹.第2题解图解：如解图，点A′的运动轨迹为以点E为圆心，AE长为半径的⊙E上的劣弧.模型二直角对直径模型分析1.半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，△ABC中，∠C＝90°，AB为⊙O的直径；2.90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式).如图②，△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点).针对演练第3题图3.如图，已知线段AB.请你在图中画出使∠APB＝90°的所有点P.第3题解图

解：如解图，⊙O(不含A、B两点)即为所求P点的轨迹.模型三定弦对定角(非90°)模型分析固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分.图①图②如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等.(注意：弦AB的劣弧上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一.当∠C小于90°，则点C在优弧上运动；等于90°，则点C在半圆上运动；大于90°，则点C在劣弧上运动.针对演练4.如图，已知四边形ABCD.(1)如图①，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所有点P；(2)如图②，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的所有点P；(3)如图③，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的所有点P.第4题图第4题解图解：(1)如解图①所示，点P1，P2即为所求；(2)如解图②所示，点P1、P2、P3即为所求；(3)如解图③所示，点P1、P2即为所求.模型四四点共圆模型分析1.

如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆.即共斜边的两个直角三角形，直角顶点在斜边同侧或异侧，都可得到四点共圆.得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，这是证明角度相等重要的途径之一.2.

圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形ABCD中的动点问题，若满足其中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它的外接圆解题.如图③，在四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，可知四边形ABCD有外接圆⊙O，其圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交点).图③针对演练第5题图5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，O为AB的中点，过点O作OE⊥OF，OE、OF分别交AC、BC于点E、F，则EF的最小值为

.5模型五点圆最值模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值.具体分以下三种情况讨论(规定：OD＝d，⊙O半径为r)：1.当D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、

E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r；2.

当D点在⊙O上时，d＝r，如图③、④：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，

DE的最大值为d＋r＝2r(即为⊙O的直径)，DE的最小值为d－r＝0(点D、E重合)；3.若D点在⊙O内时，d<r，如图⑤、⑥：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d.针对演练8第6题图6.已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为

，OB长的最小值为

，AC长的最大值为

，AC长的最小值为

，AB长的最大值为

，AB长的最小值为

.291120模型六线圆最值模型分析1.如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点.(1)如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大.(2)如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC的面积最大.2.如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是

(如图③)，点P到直线l的最大距离是

(如图④).d－rd＋r针对训练B7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是(

)A.1B.