新课标高中一轮总复习理数-第64讲空间向量在立体几何中的应用市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

新课标高中一轮总复习11/54第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量22/54第64讲空间向量在立体几何中应用33/541.了解直线方向向量与平面法向量概念；能用向量语言表示线线、线面、面面垂直与平行关系；能用向量方法证实相关线、面位置关系一些定理(包含三垂线定理).2.能用向量法求空间角、空间距离，体会向量法在研究立体几何中工具性作用.44/541.已知直线a方向向量为a，平面α法向量为n，以下结论成立是()CA.若a∥n,则a∥αB.若a·n=0,则a⊥αC.若a∥n,则a⊥αD.若a·n=0,则a∥α由方向向量和平面法向量定义可知应选C.对于选项D，直线a

平面α也满足a·n=0.55/542.已知α、β是两个不重合平面，其方向向量分别为n1、n2,给出以下结论：①若n1∥n2,则α∥β;②若n1∥n2,则α⊥β,③若n1·n2=0,则α⊥β;④若n1·n2=0,则α∥β.其中正确是()AA.①③B.①②C.②③D.②④66/543.在二面角α-l-β中，平面α法向量为n，平面β法向量为m.若〈n,m〉=130°，则二面角α-l-β大小为()CA.50°B.130°C.50°或130°D.可能与130°毫无关系因二面角范围是［0°,180°］，由法向量夹角与二面角平面角相等或互补可知，二面角大小可能是130°也可能是50°.有时可从实际图形中去观察出是钝角或锐角.77/544.若直线l方向向量与平面α法向量夹角等于120°，则直线l与平面α所成角等于

.30°由题设，l与α所成角θ=90°-(180°-120°)=30°.88/545.已知三棱锥P-ABC各顶点坐标分别是P(-1,0,0)，A（0，1，0），B（-4，0，0），C（0，0，2），则该三棱锥底面ABC上高h=

.99/54由已知,=(-1,-1,0),=(-4,-1,0),=(0,-1,2).设平面ABC法向量n=(x,y,z),n·

=-4x-y=0y=-4x

n·

=-y+2z=0，y=2z，取x=-1，得n=(-1,4,2).则h====.得则1010/541.法向量相关概念及求法假如一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面一个法向量.法向量求法步骤：(1)设：设出平面法向量坐标n=(x,y,z)；(2)列：依据n·a=0且n·b=0可列出方程；(3)解：把z看作常数，用z表示x,y；(4)取：取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好)，便得平面法向量n坐标.1111/542.立体几何中向量方法(1)线线关系：若不重合两直线AB、CD方向向量分别为、.普通关系：设直线AB与CD所成角为θ(θ∈[0,])，则cosθ=|cos〈,〉|=①

.特殊关系:(ⅰ)AB⊥CD⊥②

(用于证实线线垂直);(ⅱ)AB∥CD∥存在实数λ,使③

(用于证实线线平行).=0=λ1212/54(2)线面关系：若平面α外直线AB方向向量为，平面α法向量为n.普通关系:设直线AB与平面α所成角为θ(θ∈[0,])，则有sinθ=|cos〈,n〉|=④

.特殊关系：(ⅰ)AB⊥α∥n

存在实数λ，使=λn(用于证实线面垂直)；(ⅱ)AB∥α⊥n·n=0(用于证实线面平行).1313/54(3)面面关系：若平面α法向量为n，平面β法向量为m.普通关系:设以α,β为面二面角为θ(θ∈[0,π]),则θ与〈n,m〉⑤

.当二面角为锐(直)二面角时，cosθ=|cos〈n,m〉|=⑥

.当二面角为钝二面角时,cosθ=⑦

.特殊关系:(ⅰ)α⊥β

n⊥m⑧.

(用于证实面面垂直)；相等或互补n·m=01414/54(ⅱ)α∥β

n∥m

存在实数λ，使⑨

(用于证实面面平行).(4)点到平面距离：若AB是平面α外一条线段，B是AB与平面α交点，平面α法向量为n.设点A到平面α距离为d,则d等于在n上射影绝对值.即d=|||cos〈,n〉|=⑩

.n=λm1515/54(5)异面直线间距离：若异面直线AB、CD方向向量分别为、，n⊥，n⊥，又M∈AB，P∈CD，则异面直线AB、CD间距离d=

.111616/54例1题型一利用空间向量证实平行和垂直关系如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC中点.

(1)求证:DE∥平面ABC；

(2)求证:B1F⊥平面AEF.1717/54如图所表示，分别以AB、AC、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令AB=AA1=4，则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),

B(4,0,0),B1(4,0,4),C(0,4,0),D(2,0,2),A1(0,0,4).

(1)可得=(-2,4,0).又平面ABC法向量为=(0,0,4).因为·=-2×0+4×0+0×4=0，所以DE∥平面ABC.1818/54(2)=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0)，B1F·=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0，则⊥，所以B1F⊥EF，·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0，则⊥，所以B1F⊥AF.又因为EF∩AF=F，所B1F⊥平面AEF.线面和面面平行或垂直关系论证应用空间向量法时既能够选择基向量，将问题包括线面对应向量用基向量表示，然后经过向量平行或垂直判定实现问题论证，也能够经过建立空间直角坐标系，利用坐标运算判定线面平行或垂直.1919/54正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点.(1)证实:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面DAE.2020/54

(1)证实：建立如图所表示空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).设平面AED法向量为n1=(x1,y1,z1),

n1·=(x1,y1,z1)·(2,0,0)=0

n1·=(x1,y1,z1)·(2,2,1)=0,所以2x1=0,2x1+2y1+z1=0.令y1=1,得n1=(0,1,-2).则2121/54同理可得平面A1FD1法向量n2=(0,2,1).因为n1·n2＝0，所以平面AED⊥平面A1FD1.(2)因为点M在直线AE上，所以可设=λ=λ(0,2,1)=(0,2λ,λ)，可得M(2,2λ,λ),于是=(0,2λ,λ-2).要使A1M⊥平面DAE,又因为A1M⊥AD,所以只需A1M⊥AE,所以·=(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)＝5λ-2=0,得λ=.故当AM=AE时，A1M⊥平面DAE.2222/54本题是经过证实两个平面法向量垂直来证实两个平面垂直，显然比用传统几何方法证实垂直关系要简单得多.类似地，若要证实两个平面平行，则能够经过证实两个平面法向量是平行向量来证实.2323/54例2题型二空间角和距离向量求法单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是BC、C1D1中点.(1)求证：MN∥平面B1D1DB；(2)求直线MN与平面C1BD所成角余弦值;(3)求点M到平面C1BD距离；(4)求二面角A-BC1-D平面角余弦值.2424/54正方体是一个非常适合建立空间直角坐标系几何体，问题都能够用空间向量坐标计算处理.问题(1)，可利用方向向量与平面法向量垂直来证实；(2)(3)(4)中都与平面C1BD法向量相关，故先求平面C1BD法向量.2525/54(1)证实：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图.则M(,1,0),N(0,,1)，A1(1,0,1),C1(0,1,1),C(0,1,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),所以=(-,-,1).在正方体中，易知有A1C1⊥平面B1D1DB，故=(-1,1,0)是平面B1D1DB一个法向量.又·=(-1,1,0)·(-,-,1)=0,所以⊥.显然MN

平面B1D1DB,故MN∥平面B1D1DB.2626/54(2)设平面C1BD法向量为n=(x,y,z),=(1,1,0),=(-1,0,1).

n·=0x+y=0

n·=0-x+z=0.令x=1，则n=(1,-1,1).设MN与平面C1BD所成角为θ，则sinθ=|cos〈，n〉|===,故cosθ=.所以直线MN与平面C1BD所成角余弦值为.则,即2727/54(3)DM是平面C1BD一条斜线段,平面C1BD法向量为n=(1,-1,1).设M到平面C1BD距离为d，则d=||·|cos〈,n〉|===，所以点M到平面C1BD距离为.2828/54(4)平面C1BD法向量为n=(1,-1,1).由正方体性质，易知平面ABC1D1一个法向量为

=(-1,0,-1).设二面角A-BC1-D平面角为θ，由图形易知，θ为锐角.而cosθ=|cos〈n,〉|===，故二面角A-BC1-D平面角余弦值为.2929/54立体几何中空间角、空间距离计算往往技巧性较强，思绪易受阻，可借助向量运算，尤其是坐标运算功效，极大地降低了逻辑论证思维量，取而代之是向量带来运算量.用向量方法处理这类问题关键点有：①建系后，写相关点或向量坐标时要仔细；②要明确空间角、空间距离向量描述方式；③要熟悉本例中求平面法向量方法.3030/54如图，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC

AD,BE

AF.(1)证实：C、D、F、E四点共面；(2)设AB=BC=BE，求二面角A-ED-B大小余弦值.3131/54(方法一)（1）证实：延长DC交AB延长线于点G.由BCAD,得===.延长FE交AB延长线于点G′.同理可得===,故=,即G′与G重合,所以直线CD、EF相交于G,所以C、D、E、F四点共面.3232/54(2)设AB=1,则BC=BE=1,AD=2.取AE中点M，则BM⊥AE.又由已知得AD⊥平面ABEF,故AD⊥BM,因为BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直,所以BM⊥平面ADE.作MN⊥DE,垂足为N,连接BN.由三垂线定理知BN⊥ED,∠BNM为二面角A-ED-B平面角.因为BM=,MN=·=,故tan∠BNM==.所以二面角A-DE-B大小余弦值为.3333/54(方法二)（1）证实:由题意，以A为坐标原点，建立如图所表示空间直角坐标系A-xyz.设AB=a,BC=b,BE=c,则B(a,0,0),C(a,b,0),E(a,0,c),D(0,2b,0),F(0,0,2c),

=(0,b,-c),=(0,2b,-2c).故=,从而由E

FD,得EC∥FD,故C、D、F、E四点共面.3434/54(2)由题可设AB=1,则BC=BE=1,A(0,0,0),所以B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(1,0,1),所以=(0,2,0),=(1,0,1),=(-1,2,0),=(0,0,1).设平面ADE与平面BDE法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

n1·=2y1=0y1=0

n1·=x1+z1=0x1=-z1所以n1=(-1,0,1).则,解得,取z1=1,3535/54同理，n2=(2,1,0).所以cos<n1,n2>===-,所以二面角A-DE-B大小余弦值为.3636/54如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD中点.

(1)求证：CD⊥平面BEF；

(2)设PA=k·AB,且二面角

E-BD-C平面角大于30°,求k取值范围.3737/54已知三条棱两两相互垂直，故可考虑建立空间直角坐标系，用向量法求解.

(1)证实：以下列图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AB=a，则易知点A,B,C,D,F坐标分别为A(0，0，0)，B(a,0,0),C(2a,2a,0),

D(0,2a,0),F(a,2a,0),3838/54从而=(2a,0,0),=(0,2a,0),所以·=0,故⊥.设PA=b,则P(0，0，b),而E为PC中点，故E(a,a,)，从而=(0,a,).所以·=0,故⊥.由此得CD⊥平面BEF.3939/54(2)设E在xAy平面上投影为G.过G作GH⊥BD,垂足为H.由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG为二面角E-BD-C平面角.由PA=k·AB，得P(0,0,ka),E(a,a,),G(a,a,0).设H(x,y,0),则=(x-a,y-a,0),=(-a,2a,0).由·=0,得-a(x-a)+2a(y-a)=0，即x-2y=-a.①4040/54又因为=(x-a,y,0),且与方向相同,故=,即2x+y=2a.②由①②解得x=a，y=a.从而=(-a,-a,0),||=a,tan∠EHG===.由k＞0知∠EHG是锐角.由∠EHG＞30°,得tan∠EHG＞tan30°，即＞,解得k>.故k取值范围为(,+∞).此题关键是经过向量运算，把二面角平面角用k表示出来，利用三角不等式求k取值范围.4141/541.熟练掌握空间向量运算、性质及基本定理是处理空间向量问题基础，尤其是共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理、数量积性质等.2.利用向量解立体几何题普通方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后经过向量运算或证实去处理问题.向量法是将立体几何问题转化为代数问题，若能恰当选取基底或建立空间直角坐标系，会使运算更简捷.4242/543.利用坐标运算处理立体几何问题，降低了推理难度，能够避开一些较复杂线面关系.但较复杂代数运算也轻易造成犯错，所以，在处理问题时，能够灵活地选取解题方法，不要生搬硬套.4.用空间向量处理立体几何中平行或共线问题普通用向量共线定理；处理两点间距离或某一线段长度，普通用向量模来处理；求异面直线夹角，普通能够转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不一样，最终应注意转化；处理垂直问题普通可转化为向量数量积为零.4343/54学例1

(·江苏卷)如图，设动点P在棱长为１正方体ABCD-A1B1C1D1对角线BD1上，记=λ.当∠APC为钝角时，求λ取值范围.4444/54由题设可知，以

、、为单位正交基底,建立如图所表示空间直角坐标系D-xyz,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).由=(1,1,-1),得=λ=(λ,λ,-λ),所以=+=(－λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),=+=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1).4545/54显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角,等价于cos∠APC=cos<,>=<0,这等价于·<0,即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)<0,<λ<1.所以，λ取值范围为(,1).4646/54(·天津卷)如图，在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE，

AB⊥AD,M为EC中点，AF=AB=BC=FE=AD

(1)求异面直线BF与DE所成角大小；(2)证实平面AMD⊥平面CDE；

(3)求二面角A-CD-E余弦值.学例24747/54(方法一）(1)由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成角.设P为AD中点，连接EP，PC.因为FE

AP，所以FA

EP，同理，ABPC.又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD.而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD.由AB⊥AD，可得PC⊥AD.设FA=a，则EP=PC=PD=a