经济数学基础（第六版）（上册）课件 第7讲2.1导数的概念

经济数学基础辅导第7讲顾静相2.1

导数的概念教学要求理解导数的概念；

了解导数的几何意义，可导与连续之间的关系．导数概念

定义2.1设函数

y=f(x)在

x0

点的某个邻域内有定义，当自变量在点

x0处取得增量

x(0)时，函数

f(x)取得相应的增量

y=f(x0+

x)-f(x0)．如果当

x0时，存在，那么称此极限值为函数

y=f(x)在点

x0的导数，记作

f

(x0)，或

，或

，或,导数概念如果当

x0时，存在，则称此极限值为函数

y=f(x)在点

x0的导数，记作

f

(x0)，或

，或

，或,并称函数

f(x)在点

x0

可导；如果

不存在，则称函数

f(x)在点

x0

不可导．导数概念

定义2.2

若函数

y=f(x)在区间(a,b)内任意一点处都可导，则称函数

f(x)在区间(a,b)内可导．导数概念

定义2.2

若函数

y=f(x)在区间(a,b)内任意一点处都可导，则称函数

f(x)在区间(a,b)内可导．若f(x)在区间(a,b)内可导，则对于区间(a,b)内每一个x值，都有一个导数值f

(x)与之对应，所以

f

(x)也是

x的函数，叫做

f(x)的导函数，简称导数．记作

f

(x)，或

y

，或

，或

．导数概念

显然，f(x)的导数

f

(x)在点x=x0

处的函数值就是f(x)在点

x0处导数

f

(x0)．

根据导数的定义，求函数

f(x)的导数的一般步骤如下：

1．写出函数的增量

y=f(x

+

x)-f(x)；

2．计算比值

；

3．求极限

．用定义计算导数1.常数函数的导数设

y=c(c为常数)，由于无论

x取何值，

y=c恒成立．总有

y=c-c

=0，于是，所以

．即常数函数的导数为零．用定义计算导数2.幂函数的导数设

y=xn

(n为正整数)，

y=(x+

x)n-

xn，由二项式定理可得，于是

，用定义计算导数2.幂函数的导数设

y=xn

(n为正整数)，

y=(x+

x)n-

xn，……于是，所以

=nxn-1．即(xn

)=nxn-1．用定义计算导数2.幂函数的导数对于一般的幂函数

y=x

(

为实数)，上面的导数公式也成立，即(x

)=

x

-1．用定义计算导数例1设

y=x10，

，

，求

y

．用定义计算导数例1设

y=x10，

，

，求

y

．解

y

=(x10)

=10x9

；；

．用定义计算导数3.正弦函数与余弦函数的导数设

y=sinx，则

y=sin(x+

x)

-sin

x=，于是

，所以=cosx．用定义计算导数3.正弦函数与余弦函数的导数设

y=sinx，则

……所以=cosx．即(sinx)=cosx．类似地可以得到：(cosx)=-sinx．用定义计算导数4.对数函数的导数设

y=loga

x(x>0,a>0,a

0)，则

y=loga(x+

x)

-loga

x=，于是

，用定义计算导数4.对数函数的导数设

y=loga

x(x>0,a>0,a

0)，则

……所以

，即

．

用定义计算导数4.对数函数的导数

特别地，当a=e时，因为lne

=1，所以有

．

用定义计算导数例2设

y=log2x

，求

y

．用定义计算导数例2设

y=log2x

，求

y

．解因为

a=2，由公式可得

．用定义计算导数5.指数函数的导数设

y=ax(a>0,a1)，则

y=ax+x

-ax=ax

(a

x

-1)，于是，所以

．令a

x

-

1=t，那么

x=loga(1+t)，用定义计算导数5.指数函数的导数设

y=ax(a>0,a1)，则

……令a

x-

1=t，那么

x=loga(1+t)，且当

x0时，

t0，故，即(ax)=axlna．用定义计算导数

特别地，当

a=e时，因为lne=1，有(e

x)=

ex．用定义计算导数例3设

y1=10

x

，

，求

y1

，y2

．用定义计算导数例3设

y1=10

x

，

，求

y1

，y2

．解

在

y1中，因为

a=10，由公式得

；而，，由公式得

．导数的几何意义

设函数

y=f(x)的图像如下图所示，在其上任取两点

M0(x0，y0)和

M(x0+

x，y0+

y)(

x

0)作割线

M0M，设其倾角为

，则割线的斜率为

．

当点

M沿曲线

y=f(x)趋近于点

M0时，割线

M0M

趋于极限位置M0T，M0T就是曲线在点

M0

处的切线．

．导数的几何意义设M0T的倾角为

，当

x0时，点

M

M0，割线M0M

M0T，倾角

，于是

．这说明，函数

y=f(x)在点

x0处的导数

f

(x0)，就是曲线

y=f(x)在点

M0(x0，y0)处的切线

M0T的斜率

k

=tan=

f

(x0)．导数的几何意义

根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，很容易得到曲线

y=f(x)在点

M0(x0，y0)处的切线方程为

．导数的几何意义例4求曲线

在点(1,1)处的切线方程．导数的几何意义例4求曲线

在点(1,1)处的切线方程．解

因为