上海海运学校高三数学文期末试题含解析

上海海运学校高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断错误的是（）A.函数在区间上单调递增B.图象关于直线对称C.函数在区间上单调递减D.图象关于点对称参考答案：C【分析】由三角函数的图象变换，得到的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案。【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，对于A中，由，则，则函数在区间上单调递增是正确的；对于B中，令，则，所以函数图像关于直线对称是正确的；对于C中，，则则，则函数在区间上先减后增，所以不正确；对于D中，令，则，所以图像关于点对称示正确的，故选C。【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确利用三角函数的图象变换求解函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。2.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有（

）种.

A．114

B．150

C．72

D．100参考答案：B略3.设集合，，则（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：C略4.已知命题；命题的极大值为6.则下面选项中真命题是

A.

B.

C.

D.参考答案：B由得，当时，，所以命题为假命题。为真，选B.5.甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙相邻的概率是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.函数的定义域是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.设为实数，若复数，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略8.设则二项式的展开式中的系数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.设集合，则A∩B=(

)A.

B.

C.

D.R参考答案：B10.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 ()参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最小正周期为．参考答案：12.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为．参考答案：7;2.【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．

【专题】概率与统计．【分析】根据题中的数据，结合平均数、方差的计算公式，不难算出学员在一次射击测试中射击命中环数的平均数和方差，从而得到答案．【解答】解：（I）根据条件中的数据，得学员在一次射击测试中命中环数的平均数是=（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）=7，（II）可得学员在一次射击测试中命中环数的方差是s2=[（7﹣7）2+（8﹣7）2+…+（4﹣7）2]=4．故答案为：7，2．【点评】本题以求两人射击命中环数的平均数和方差为载体，考查了样本平均数、方差的计算公式和对特征数的处理等知识，属于基础题．13.若实数满足，则的最小值为

参考答案：

解析：

即，14.将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案方法种数为_________．（用数字作答）参考答案：2415.圆的圆心到直线的距离

;参考答案：16.

若，则＝．参考答案：答案：

17.已知，则的展开式中x的系数为

．参考答案：150三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知正项数列{an}中，．用数学归纳法证明：．参考答案：【考点】用数学归纳法证明不等式；数列递推式；数学归纳法．【分析】直接利用数学归纳法的证明步骤，通过n=1验证不等式成立；假设n=k时不等式成立，证明n=k+1时不等式也成立即可．【解答】证明：当n=1时，，a1＜a2，所以n=1时，不等式成立．假设n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1成立，则n=k+1时，==﹣（）=＞0；即ak+2﹣ak+1＞0，所以n=k+1时，不等式也成立．综上所述，不等式成立．19.数列{an}中，a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）Sn为{an}的前n项和，bn=S2n﹣Sn，求bn的最小值．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*．可得=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：bn=S2n﹣Sn=+…+．再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*．∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为1．∴=1+（n﹣1）=n，可得an=．（2）由（1）可得：Sn=1++…+．∴bn=S2n﹣Sn=+…+．∴bn+1﹣bn=+…+++﹣（+…+）=+﹣=﹣＞0，∴数列{bn}单调递增，∴bn的最小值为b1=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知为实数，函数．（1）若，求的值及曲线在处的切线方程；（2）求在区间上的最大值．参考答案：解：(1)则，又当时，，，所以，曲线在点处的切线方程为

即．…………（5分）12．

令，解得，，当，即时，在上，在上为增函数，当，即时，在上，在上为减函数，当，即时，在上，在上，故在上为减函数，在上为增函数，故当即即时，

当即即时，综上所述，

………………（13分）略21.（本小题13分）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）.（3）存在满足条件的.依题意，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，，，，，所，易知为平面的法向量，设，所以平面的法向量为，所以，即，所以，取，则，又二面角的大小为，所以，解得.故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.22.记函数的定义域