河南省驻马店市重渠乡第二中学高三数学理期末试题含解析

河南省驻马店市重渠乡第二中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.阅读如图所示的程序框图，输出的值为(

)A. B. C.0 D.参考答案：C，故选C．2.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A.若，，则，，

B.若，则∥，∥，C.若∥，∥，，则

，

D.若∥，与所成的角与与所成的角相等，则∥参考答案：C利用线面平行、垂直的判定定理，可得C项正确，选C3.若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．【解答】解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．4.若函数，则属于（）．A．

B．

C．

D．参考答案：B5.某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（

）A．30

B．12C．24

D．4参考答案：C6.已知的定义域是，则的定义域是

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.给定下列两个关于异面直线的命题：

命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β

的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；

命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，(

)

(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确

(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确

(C)两个命题都正确

(D)两个命题都不正确参考答案：D如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．8.如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：D解析：如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面积是，选D.9.在中，，，分别是角，，的对边，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知集合，，则等于A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是

.参考答案：

略12.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），若（﹣，0）为f（x）的图象的对称中心，x=为f（x）的极值点，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为．参考答案：5【考点】正弦函数的对称性．【分析】由函数的对称性可知：ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，ω?+φ=n′π+，n′∈Z，相减可得ω=2k+1，即ω为奇数，f（x）在（，）单调，ω×+φ≥2kπ+，且ω?+φ≤2π+，求得ω≤8，由ω=7时，求得φ的值，求得函数的单调区间，由f（x）=sin（7x﹣）在（，）不单调，不满足题意，同理求得当ω=5时，满足题意，即可求得ω的最大值．【解答】解：由（﹣，0）为f（x）的图象的对称中心，则ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，x=为f（x）的极值点即为函数y=f（x）图象的对称轴，∴ω?+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω?=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数，f（x）在（，）单调，ω×+φ≥2kπ+，且ω?+φ≤2π+，∴ωπ≤π，ω≤8，当ω=7时，7（﹣）+φ=nπ，|φ|≤，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（7x﹣）在（，）不单调，不满足题意，当ω=5时，5（﹣）+φ=nπ，|φ|≤，φ=，f（x）=sin（5x+）在（，）单调，满足题意，∴ω的最大值为5．故答案为：5．13.阅读图的程序框图,该程序运行后输出的的值为

__.参考答案：略14.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是___.参考答案：略15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x时，,则f(2)

参考答案：1216.向量，，若向量，共线，且，则mn的值为

．参考答案：－8

17.已知过点的直线的一个法向量为，则

参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）设函数（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；（Ⅱ）若函数在存在单调递增区间，试求实数的取值范围；（Ⅲ）求函数的极值点.参考答案：1)当时，在上恒成立，，此时，函数没有极值点.2)当时，①当即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.②当即时，当时，易知，这时；（III），令。1)显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.2)当时，①当即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.②当即时，当时，易知，这时；当或时，易知，这时.时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.综上，当时，函数没有极值点；时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.

……13分考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，分类讨论思想.19.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）因为时，，所以切点为，所以时，曲线在点处的切线方程.（2）因为，①当时，，所以在上单调递增，，所以不合题意.②当时，即时，在恒成立，所以在上单调递减，有，所以满足题意.③当时，即时，由，可得，由，可得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以所以不合题意，综上所述，实数的取值范围是.20.已知椭圆C两焦点坐标分别为，，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于两点M，N．若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，根据椭圆，，求出c，从而可求b，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据|AM|=|AN|，线段MN中点为Q，所以AQ⊥MN，分类讨论，利用△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为．依题意，所以a=2．又，所以b2=a2﹣c2=1．于是椭圆C的标准方程为．

…（Ⅱ）依题意，显然直线l斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m，则由得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0．因为△=64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，得4k2﹣m2+1＞0．

…①设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点为Q（x0，y0），则于是．因为|AM|=|AN|，线段MN中点为Q，所以AQ⊥MN．（1）当x0≠0，即k≠0且m≠0时，，整理得3m=4k2+1．

…②因为AM⊥AN，，所以=，整理得5m2+2m﹣3=0，解得或m=﹣1．当m=﹣1时，由②不合题意舍去．由①②知，时，．（2）当x0=0时，（ⅰ）若k=0时，直线l的方程为y=m，代入椭圆方程中得．设，，依题意，若△AMN为等腰直角三角形，则AQ=QN．即，解得m=﹣1或．m=﹣1不合题意舍去，即此时直线l的方程为．（ⅱ）若k≠0且m=0时，即直线l过原点．依椭圆的对称性有Q（0，0），则依题意不能有AQ⊥MN，即此时不满足△AMN为等腰直角三角形．综上，直线l的方程为或或．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．21.（本题满分15分）设椭圆：，直线过椭圆左焦点且不与轴重合，与椭圆交于，当与轴垂直时，，为椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，若面积的最大值为。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线绕着旋转，与圆：交于两点，若，求的面积的取值范围。参考答案：（21）（Ⅰ）设椭圆半焦距为①，将代入椭圆方程得，∴②；又由已知得③；由①②③解得、、。所求椭圆方程为：。（Ⅱ）设直线：即，圆心到的距离，由圆性质：，又，得。联立方程组，消去得。设，则，。（令）。设，对恒成立，

在上为增函数，，所以，。

略22.已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得f′（1）=1，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出f′（x）＞0、f′（x）＜0对应的x的范围，即求出函数f（x）的单调区间；（2）解法一：根据函数f（x）的单调性得：＞，由对数的运算律、单调性化简即可，解法二：将化为：，由二项式定理化简=，再由放缩法和裂项相消法进行化简；（3）先将kx＞f（x）+2分离出k：，构造函数g（x）=，再求出此函数的导数g′（x）并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值，再由自变量的范围确定出g（x）的最大值的范围，从而求出满足条件的k的最小值．【解答】解：（1）依题意，（x＞0），所以=，由切线方程得f′（1）=1，即=1，解得a=0，此时（x＞0），，令f′（x）＞0得，1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e；令f′（x）＜0得，1﹣lnx＜0，解得x＞e，所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．（2）解法一：由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f＞f，即＞，则2015ln2014＞2014ln2015，所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014解法二：=，因为==1+1+++…+＜2+＜2+＜2+（1﹣）+（）+…+（﹣）=3﹣＜3，所以，所以20142015＞20152014．（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则，记g（x）=，只需k＞g（x）max．又=，记h（x）=1﹣2x﹣2lnx（x＞0），则，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．又h（1）=﹣1＜0，=1﹣+ln2＞1﹣+ln2=ln＞0，所以存在唯一，使得h（x0）=0，即1﹣2x0﹣2lnx0=0，当x＞0时，h（x）、g′（x）、g（x）的变化情况如下：x（0，x0）x0（x0，+∞）h（x）+0﹣g′（x）+0﹣g（x）↗极