四川省乐山市沙湾太平镇中学高三数学理期末试题含解析

四川省乐山市沙湾太平镇中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知K为实数，若双曲线的焦距与K的取值无关，则k的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A2.满足线性约束条件的目标函数的最大值是（

）A.1

B.

C.2

D.3参考答案：C略3.函数图象的对称中心为

A．

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图所示，且|x1|<|x2|，则有

A．a>0，b>0，c<0，d>0

B．a<0，b>0，c<0，d>0[

C．a<0，b>0，c>0，d>0

D．a>0，b<0，c>0，d<0参考答案：C5.设x，y满足约束条件：，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣2参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大，此时zmax=3﹣2×0=3．故选：B．6.已知等差数列{}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，那么a2=(

)

A．-6

B．-8

C．8

D．6参考答案：A略7.已知，，则（

）A．2

B．

C．

D．1参考答案：D8.已知函数的图象关于对称，则函数的图象的一条对称轴是

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A9.函数的定义域为A.{x|x>1}

B.{x|x<1}

C.{x|－1<x<1}

D.?参考答案：B略10.已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x，下列结论错误的是(

)A．f（x）=cos2xB．函数f（x）的图象关于直线x=0对称C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）的值域为[﹣，]参考答案：D【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故B正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为[﹣1，1]，故D错误；故选：D．【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)=xlnx的单调递减区间是_______________.

参考答案：（0，）12.将一条长为8cm的线段分成长度为正整数的三段，这三段能构成三角形的概率=．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】若分成的三条线段的长度均为正整数，列出三条线段的长度的所有可能种情况，找出能构成三角形，得到概率．【解答】解：若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为1、1、6；1、2、5；1、3、4；2、2、4；3、3、2；一共有5种等可能情况，能够构成三角形的只有3、3、2；能构成三角形的概率P=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．13.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为

．参考答案：（，）【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），把曲线（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为y=（x﹣2）2．联立方程组求出A、B两点坐标，由此能求出AB的中点的直角坐标．【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），把曲线（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为y=（x﹣2）2．联立，解得，或，∴A（1，1），B（4，4），∴AB的中点为（）．故答案为：（）．【点评】本题考查两点的中点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、参数方程和普通方程的相互转化及中点坐标公式的合理运用．14.已知P是离心率为2的双曲线右支上一点，则该双曲线的渐近线方程为

▲

，P到直线y＝(m－1)x的距离与P到点F(－2，0)的距离之和的最小值为

▲

(本题第一空2分，第二空3分)参考答案：15.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为(

) A．2 B． C．4 D．参考答案：D考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，可得=4，即可求出双曲线的离心率．解答： 解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，∴=4，∴a2=3b2，∴c2=4b2，∴e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．16.已知数列的前项和为

…

…

×××

×××

，现把数列的各项排成如图所示的三角形形状．记为第行从左起第个数．有下列命题：①为等比数列且其公比；②当时不存在；③；④假设为大于的常数，且，，其中为的最大值，从所有，中任取一个数，若取得的数恰好为奇数的概率为，则必然为偶数．其中你认为正确的所有命题的序号是___________.参考答案：②③④．17.已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为

。参考答案：0．6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，，且直线与曲线相切．（I）求b的值；（II）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解析:（1）设点为直线与曲线的切点，则有．

（*），．

（**）由（*）（**）两式，解得，．

（2）由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．

设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，．

略19.(14分)已知是以点为圆心的圆上的动点，定点.点在上，点在上，且满足．动点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；(Ⅱ)线段是曲线的长为的动弦，为坐标原点，求面积的取值范围.参考答案：解析：（Ⅰ）∴为的垂直平分线，∴,又

………………3分∴动点的轨迹是以点为焦点的长轴为的椭圆.∴轨迹E的方程为………5分(Ⅱ)解法一∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，由，消去，并整理，得设，，则，

…………8分，，

………11分.……12分又点到直线的距离，……………13分，.

…………14分解法二：∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，由，消去，并整理，得设，，则，

…………8分，

………11分又点到直线的距离，设，则，.

……………………14分（注：上述两种解法用均值不等式求解可参照此标准给分）20.(本题满分13分)已知函数.（I）若函数在处的切线与轴平行，求值；（II）讨论函数在其定义域内的单调性；（III）定义：若函数在区间D上任意都有，则称函数是区间D上的凹函数.设函数，其中是的导函数．根据上述定义，判断函数是否为其定义域内的凹函数，并说明理由.参考答案：（1）由题意

又处切线与轴平行从而……4分

(2)

由

1

当在定义域内单调递增……..6分2

当时，令得而方程有二根3

，且从而在上递增，上递减，

……..8分综上，在上递增；时，在上递增，上递减……9分(3)由题意…10分令任意则所以=……………12分

也即故是其定义域内的凹函数………….13分21.已知函数．（1）若，求a的取值范围；（2）若，对，不等式恒成立，求a的取值范围．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）分类讨论，，，即可得出结果；（2）先由题意，将问题转化为即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出结果.【详解】（1）由得，若，则，显然不成立；若，则，，即；若，则，即，显然成立，综上所述，的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，所以；因为，所以，解得，结合，所以的取值范围是．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.22.已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）a=时，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f（x）≤x﹣1对?x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）单调递增；②当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．…（Ⅱ）当a=时，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…当x∈[1，]时，h′（x）＜0，当x∈[，e）时，h′（x）＞0，故x=是函数h（x）在[1，e]上唯一的极小值点，…故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…

（Ⅲ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，…设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…①当a≤0时，若x＞1，则g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…②当时，，g（x）在[1，+∞）单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，则不成立；…③当时，x=＞1，则f（x）在[1，]上单调递减，[，+∞）单调递增，则存在∈[，+∞），有g（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…（13分）综上得a≤0．…（14分）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间；（Ⅱ）先求导，根据导数和函数的最值的关系即可求出；（Ⅲ）构造函数，转化为设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），根据导数和函数最值的关系分类讨论即可．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0