2019-2020学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷

2019-2020学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

1.（5分）设X6R,则“x>l”是“/>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.（5分）设命题p：梯形的对角线相等，则「p为（）

A.梯形的对角线不相等

B.有的梯形对角线相等

C.有的梯形对角线不相等

D.不是梯形的四边形对角线不相等

3.（5分）下列命题中假命题为（）

A.VxGR,2XI>0B.VxG[0,IT],x>siar

C.3xoGR,tam：o=2D.3xoG（0,+°°）,log2xo>l

4.（5分）已知空间向量a=（A+l,1,入），b—（6,|i-1,4）,若@〃卜贝!!入十四=（）

A.3B.-3C.5D.-5

22

5.（5分）已知椭圆儿：-^+^-=1（a>fe>0）,过M的右焦点/（3,0）作直线交椭圆于

J

A,5两点，若AB中点坐标为（2,1）,则椭圆“的方程为（）

A.B.-^-+y2=l

2222

xynXy

C.—+--D.----十=1

123189

6.（5分）在三棱锥尸中，M为出的中点，N在BC上，旦BN=2NC,则（）

A.诵•瓦V通•kj■而B.而=卷而q由《正

C诵V近V说看记D.诵=6■而■说V而

7.（5分）如图，已知两条异面直线a,b所成的角为。，点M,N分别在a,b上，且MN

±a,MNLb,P,。分别为直线a,b上位于线段MN同侧的两点，则PQ的长为（）

B-VMP2+NQ2+MN2+2MP'NQcose

C-VMP2+NQ2+MN2-2MP-NQsin6

D-VMP2+NQ2+MN2+2MP'NQsin6

8.（5分）设抛物线V=8x的焦点为尸，过尸的直线/与抛物线交于点A,B,与圆/+y-

4x+3=0交于点P,Q,其中点A,P在第一象限，则21Api+|。8|的最小值为（）

A.2A/2+3B.272+5C.472+5D.472+3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.（5分）已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A,B,C

共面”的充分条件的是（）

A.0M=20A-0B-0CB.0M=0A+0B-0C

c-0M=0A-fy0B-tj0CD-ON0AOB+1-0C

10.（5分）在长方体ABC。-A1B1C1O1中，AB=BC=1,卜卜广如,E,F,P,Q分别为

棱AB,AD,DDx,881的中点，则下列结论正确的是（）

A.ACA.BP

B.BiO_L平面EfPQ

C.EFPQ

D.直线A,。和AC所成角的余弦值为返

4

n.（5分）已知抛物线E：y2=4x的焦点为凡准线为/,过尸的直线与E交于A,B两点，

C,。分别为A,8在/上的射影,且=3由回,M为A8中点，则下列结论正确的是（)

A.ZCFD=90°B.△CM。为等腰直角三角形

C.直线A8的斜率为土返D.ZvlOB的面积为4

12.（5分）己知为，b2分别是双曲线£-J=1（a>0,b>0）的左、右焦点，A为左顶

2,2x

ab

点，P为双曲线右支上一点，若|PA|=2|Pb2|且△尸人尸2的最小内角为30°,则（）

A.双曲线的离心率«

B.双曲线的渐近线方程为y=±&x

C.ZP4F2=45°

D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）“尤<0”是“x〈a”的充分非必要条件，则a的取值范围是.

14.（5分）若TxoHl,2],x^-axo-1>0"为真命题，则实数a的取值范围为.

22

15.（5分）过椭圆C：之且?=1（心6>0）的左焦点/作斜率为工的直线/与C交于A,

2,29

ab匕

B两点,若|。月=|。4],则椭圆C的离心率为.

16.（5分）如图所示的平行六面体A8CD-A1B1C1D1中，已知4B=A4i=A。，/BAD=N

DAAi=6Q°,ZBAAi=30°,N为AAiDi上一点，且4N=AAiDi.BD1AN,贝U人

的值为;若M为棱。的中点，3M〃平面A81N,则人的值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22

17.（10分）给出以下条件：①VxeR,（vr+ax+1^0,②方程R—-=1表示焦点在y

a-l5-a

轴上的椭圆，③函数/（无）=Lx3£2x?+x无极值点.从中任选一个，补充到下面

32

问题中，并给出问题的详细解答.已知p：实数〃满足/-（2m+l）a+m（m+1）WO,q：

实数〃满足,若p是夕的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

18.(12分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程:

(1)短轴长等于2«,离心率等于工的椭圆；

2

22

(2)与椭圆幺义_=1共焦点，且过点(4,5)的双曲线.

1625

19.(12分)如图，四边形A8CD是边长为2的菱形，ZBAD^60°,FD_L平面ABC。,

BE//FD,且DF=2BE=2.

(1)求直线和平面AEF所成角的大小；

(2)求二面角的平面角的大小.

20.(12分)如图，在三棱锥P-A8C中，平面以CJ_平面ABC,ZACB=90°,PA=AC

=2BC.

(1)若求证：平面E4B_L平面PBC；

(2)若刚与平面ABC所成的角为60°,求二面角C-PB-A的余弦值.

线于A,8两点，|AB|=8.

(1)求抛物线的方程：

(2)已知尸(xo,-1)为抛物线上一点，M,N为抛物线上异于尸的两点，且满足kPM

,kpN=-2,试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.

22.（12分）已如椭圆C：孑三=1（。>6>0）,四点尸1（2,0）,p?（旦，—）-P3（1,旦），

a222

p4（-l,梳）中恰有三点在椭圆上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设不经过左焦点月的直线/交椭圆于A,8两点，若直线AH、I、8乃的斜率依次

成等差数列，求直线/的斜率上的取值范围.

2019-2020学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

1.（5分）设x€R,则“x>l”是“7>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可.

【解答】解：因为ax>r,则“/>i"；但是“/>i”不一定有“尤>i”，

所以“尤>i"，是“/>i”成立的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力.

2.（5分）设命题小梯形的对角线相等，则「°为（）

A.梯形的对角线不相等

B.有的梯形对角线相等

C.有的梯形对角线不相等

D.不是梯形的四边形对角线不相等

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可

【解答】解：全称命题的否定是特称命题，

所以命题：梯形的对角线相等的否定形式是：有的梯形对角线不相等.

故选：C.

【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查.

3.（5分）下列命题中假命题为（）

A.VxGR,2Xl>0B.Vxe[0,TT],x>sinx

C.3xoGR,tanxo=2D.3xoE（0,+°°）,logzro>l

【分析】根据函数的值域逐一进行判断即可

【解答】解：对于A,根据指数函数值域为（0,+8）,所以VXCR,2》一1>0,故A正确;

对于5,当％=0时，x=sinx,故5错误；

对于C,不妨取sinxo=上义£,cosxo=义T止匕时tanw=2,故C正确；

55

对于。，不妨取xo=4,则logzxo=2>l,故。正确.

故选：B,

【点评】本题考查命题真假性的判断，考查指数函数、三角函数、对数函数值域，属于

基础题.

4.（5分）已知空间向量a=（A+l,1,入），b=（6,|i-1,4）,若@〃卜贝入+四=（）

A.3B.-3C.5D.-5

【分析】利用向量平行的性质直接求解.

【解答】解：・.・Z=（A+l,1,人），b=（6,厂1,4）,W,

.X+11X

••-----=------=---,

6乩-14

解得入=2,>=3,

・••入+|i=2+3=5.

故选：C.

【点评】本题考查代数式求和，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

22

5.（5分）己知椭圆儿：¥三=1（a>b>0）,过M的右焦点尸（3,0）作直线交椭圆于

A,3两点，若A5中点坐标为（2,1）,则椭圆M的方程为（）

B.-^-+y2=l

2222

xy1D

C.-----------=1-瑞哈=1

123

【分析】利用“点差法”即可得出：今-4r-=0,又C=3,a1=b2+c2.即可得出.

2

ab

【解答】解：直线的斜率左=上色=

48-1,

2-3

设A（xi,yi）,B（x2,>2）,代入椭圆方程可得:

2222

X\yi_1生了2_]

abab

相减化为：----^-=0,又c=3,a2=b2+c2.

2,2

ab

联立解得：a2=18,b2=9.

22

可得：椭圆"的方程为：工-2-=l.

189

故选：D.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

6.(5分)在三棱锥P-ABC中，M为E4的中点，N在上，且BN=2NC,则()

B

A.MN=^-PA-^PB-tyPC-诵〜河寺而居正

C诵《谈拜卷正D.诵=弓•瓦卷瓦V丽

【分析】利用向量的加法法则以及减法法则可以直接得到结果.

【解答】解：由M为抬的中点，N在BC上，且BN=2NC,MN=MA+AB+BN

=yPA+AB-^BC

1.»»p»»

=^PA+(PB-PA)号(PC-PB)

=与房森尊.

故选：A.

【点评】本题考查向量的加法与减法法则的应用，属于基础题.

7.(5分)如图，已知两条异面直线a,6所成的角为。，点M,N分别在a,b上，且MN

.La,MNLb,P,Q分别为直线a,6上位于线段MN同侧的两点，则PQ的长为()

B-VMP2+NQ2+MN2+2MP-NQcose

C-7MP2+NQ2+MN2-2MP'NQsin6

D-VMP2+NQ2+MN2+2MP-NQsin6

【分析】由题意作辅助面，作出两条异面直线。、6所成的角，再由垂直关系通过作辅助

线把PQ放在直角三角形中求解.

【解答】解：设经过。与a平行的平面为a,经过。和MN的平面为0,aCB=c,则c

//a,

因而儿C所成的角等于e,且

•:MNLb,：.MN±a.

根据两个平面垂直的判定定理，0_La.

在平面0内作PGLc,垂足为G,则PG=MN.

根据两个平面垂直的性质定理，PG±a.连接QG,则PGJ_QG.

在RtzXPQG中，PQ2=PG2+QG2.

在△NQG中，QG2=N02+NG2-2NQ・NG・cos。.

又MP=NG,PG=MN,

因此，P°=dMN2+NQ2+Mp2-2Mp・NQcos8,

【点评】本题考查与直线上两点间距离的求法，考查空间图形的线面关系，空间想象能

力和逻辑思维能力，是中档题.

8.（5分）设抛物线/=8x的焦点为尸，过尸的直线/与抛物线交于点A,8,与圆x2+y2-

4x+3=0交于点P,Q,其中点A,P在第一象限，则2|4P|+|QB|的最小值为（）

A.242+3B.2^2+5C.472+5D.4\历+3

【分析】根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将2IAPI+IQBI表示为焦

半径与半径的关系，然后根据坐标X4,期的特点结合基本不等式求解出21Api+IQBI的最

小值.

【解答】解：如图所示:

因为圆的方程为了+/-4x+3=0即为(%-2)2+/=1,所以圆心(2,0),半径R=l,

因为21Api+|。8|=2(|AF|-R)+C\BF\-R),

所以21Api+|Q8|=2|AF|+|B/|-3,

因为|AF|=X4+R=XA+2,IBF\=XB+^-=XB+2,

22

所以21Api+|QB|=2XA+XB+3,

fx=my+2,,

设/：x—my+2,所以《，整理得x2-(4+8〃，)+4=0,

、y"=8x

所以XAXB=4,则21Api+|。8|=2XA+XB+3^R+3=4&+3,当XA=&,XB=2”用时

取等号，

综上可知21Api+|。2|最小值为例历+3,

故选：D.

【点评】本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难

度较难.(1)已知抛物线/=2px(p>0)上任意一点M(xo,yo)以及焦点R则有心

=XQ+£-；(2)当过焦点的直线/与抛物线y2=2px相交于A(x4,ya)B(XB,ys),则

2

有XAXB=^~.yjy2=-P2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.(5分)已知A,B,C三点不共线，。为平面4BC外的任一点，则“点M与点A,B,C

共面”的充分条件的是（）

......,•，

A.0M=20A-0B-0CB.OM=OA+OB-OC

COM=OA-^OB^OCD.0M=10A+y0B^0C

【分析】A，B,C三点不共线，。为平面ABC外的任一点，则“点M与点A,B,C共

面”的充分条件的是：OM=^OA+>OB+zOC，且x+y+z=l.即可判断出结论.

【解答】解：.A.2-1-1=0#1,因此点〃与点A,B,C不共面；

B.等式化为：AM=CB，因此点M与点A,B,C共面.

C.l+X^A^l,因此点M与点A,B,C不共面；

。工二+工=1,因此点M与点A,B,C共面.

236

故选：BD.

【点评】本题考查了共面向量基本定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算

能力，属于基础题.

10.（5分）在长方体ABC。-421C1D1中，AB=BC=1,卜卜广圾,E,F,P,Q分别为

棱AB,AD,DDi,的中点，则下列结论正确的是（）

A.AC±BP

B.8i£）_L平面EFPQ

C.8cl〃平面EFPQ

D.直线4,。和AC所成角的余弦值为返

4

【分析】由题意画出图形，结合空间中直线与直线，直线与平面位置关系逐一判定四个

选项得答案.

【解答】解：如图，

对于A,8尸在底面上的射影为BD,-：AC±BD,：.AC±BP,故A正确；

对于8,假设B1O_L平面贝IjB1O_LP。，[fffPQ//B1D1,则而。D

±B1D1,假设错误，故8错误；

对于C,BCi//ADi//FP,FPc5]2®EFPQ,BC1C平面EFP。，贝118cl〃平面EFPQ,故

C正确；

对于D,直线AiD与AC所成角为NZM1C1,连接AiCi,。。，求解三角形可得cos/ZMiCi

故选：ACD.

【点评】本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定及其应用，考查异面

直线所成角的求法，是中档题.

11.(5分)已知抛物线E：y2=4x的焦点为R准线为/,过尸的直线与E交于A,B两点,

C,。分别为在/上的射影，且|AF|=3|2R,M为A3中点，则下列结论正确的是()

A.ZCFD=90°B.△CM。为等腰直角三角形

C.直线AB的斜率为土愿D.△A08的面积为4

【分析】由题意写出焦点厂的坐标及准线方程，设直线AB的方程及A,B的坐标，可得

C,。的坐标，再由|4日=3|8回，求出直线A8的参数，进而判断出所给命题的真假.

【解答】解：由题意由抛物线的对称性，焦点/(1,0),准线方程为x=-l,

由题意可得直线AB的斜率不为0,由题意设直线48的方程为：x=my+\,

设A(xi,yi),B(x2,”)，由题意可知C(-1,yi),Z)(-1,”)，

将直线AB与抛物线联立整理得：y2-4my-4=0,yi+y2=4m，yiy2=-4,

A中，•.,FOFDn(-2,yi)«-2,”)=(-2)(-2)+yi"=4-4=0,FC1FD，

即NCF£)=90°,所以A正确；

8中，由A正确，不可能CAf_LOM,更不会/C或/。为直角，所以8不正确；

C中，因为Hfl=3|8尸所以AF=3FB，即yi=-3”，yi+y2=4m,yiy2=-4,

1一2丫y2=4刎m一.1'历..............厂.一

„,解得租2=工，机=+乂色，所以直线A8的斜率为±b，所以C正确;

2

-3y2=-43-3

D中，由题意可得弦长以引=4l+m2j01+了2）2-4丫逐2=｛（4.2+16

0到直线AB的距离d=I1=

，所以SAOAB

£・|四|・01=/・毕・李=挈，所以。不正确，

乙乙JAJ

【点评】考查抛物线的性质及命题真假的判断，属于中档题.

12.（5分）已知八"分别是双曲线4-g=l（4。，心。）的左、右焦点，A为左顶

ab

点，尸为双曲线右支上一点，若|尸为|=2|尸尸2|且△尸尸1尸2的最小内角为30°，则（）

A.双曲线的离心率«

B.双曲线的渐近线方程为丫=士后x

C.ZB4F2=45°

D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点

【分析】利用已知条件画出图形，求解双曲线的离心率以及渐近线方程，判断直线与双

曲线的位置关系，推出选项即可.

【解答】解：Fi,放分别是双曲线£-£=1（。>0,b>0）的左、右焦点，A为左顶

ab

点，P为双曲线右支上一点，若|PFI|=2|PF2|且△PFLF2的最小内角为30°,如图，三角

卜2厂

形△尸为尸2是直角三角形，并且==2ctan30°，可得：e=J5,所以A正确；

a

2哂可得

aa

渐近线方程：y=±J定，所以8正确；

直线x+2y-2=0与双曲线的渐近线不平行,所以直线与双曲线由2个交点，所以。正确;

故选：ABD.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）“x<0”是的充分非必要条件，则a的取值范围是（0,+8）.

【分析】根据充分必要条件的定义求出。的范围即可.

【解答】解：若“x<0”是“x<a”的充分非必要条件，

则。的取值范围是（0,+°°）,

故答案为：（0,+8）.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题.

14.（5分）若“3xoe［l,2］,比2-以0-1>0”为真命题，则实数。的取值范围为（-8,

3）.

2-

【分析】由题意可得。<尤0-1-在口，2］的最大值，运用函数的单调性可得最大值，即

X。

可得到所求。的范围

【解答】解：命题u3xoG［l,2］,XO2-6ZX0-1是真命题，

即有a<xo-」-在［1,2］的最大值，

X。

由尤在［1,2］递增，可得xo=2取得最大值3,

X。2

可得a<—,

2

故答案为：（-°°,—

2

【点评】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数，运用函数的单调性,

考查运算能力，属于中档题

22

15.（5分）过椭圆C：2kg?=1（。>6>0）的左焦点P作斜率为上的直线/与C交于A,

ab乙

B两点，若［0川=|。4|,则椭圆C的离心率为逅.

一3—

【分析】利用己知条件求出A的坐标，代入椭圆方程转化求解椭圆的离心率即可.

22

【解答】解：过椭圆C：（«>&>0）的左焦点尸作斜率为上的直线/与C交

2k22

ab乙

于A,8两点，可知tan/AFO=工，\OF\=\OA\,

2

2Xy

所以tan/AOx=-二=9，所以A（冬匚星C），

」355c

4

2

代入椭圆方程可得：区一

2525b2

嚼2宗解"亨

故答案为：亚■.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，考查计算能力.

16.（5分）如图所示的平行六面体ABC。-A1B1C1D1中，已知AB=A4i=A。，NBAD=N

DAAi=60°,ZBAAi=30°,N为AAiDi上一点，且4N=AAiD.若BDLAN,贝U人

的值为若M为棱。的中点，〃平面A81N,则入的值为_Z_.

3

【分析】①BD，AN，不妨取AB=A4i=A£»=l,利用BD，AN=（AD-AB）•（嬴丁人AD）

=加，AA；+2AT•AD-AB・AA；一人N•邺=°，即可得出入.

②连接48,与AB1交于点E.连接A1M,交AN于点F,连接EF.8M〃平面A81N,

可得BM〃EF.根据E点为48的中点，可得F点为4M的中点.延长AN交线段

的延长线于点P.利用平行线的性质即可得出.

【解答】解：®BD±AN,不妨取AB=A4i=A£>=l,

BD*AN=（AD-AB*AA；+）知）=QAA；+入AE・AD-AB・AA；-入AD，AB=COS60°

+A-cos30°-Acos60°=■1-返+工入=0.

222

.'.A=V3-i-

②连接42,与421交于点E.连接交AN于点、F,连接所.

•/〃平面ABiN,：.BM//EF.

点为42的中点，尸点为4M的中点.

延长AN交线段。八1的延长线于点P.

'：AAi//DD\,AiF^FM.

：.AAi=MP=2DiP.

.A[N_AAi一

••----------------乙,

NDtDjP

=

A1N-|A1D1-

则入=z.

3

故答案为：Vs-1»—

3

【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性

质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22

17.(10分)给出以下条件：①VxeR,办2+办+120,②方程表示焦点在y

a_l5-a

轴上的椭圆，③函数/(x)=春*3^^工乂2+尤无极值点.从中任选一个，补充到下面

问题中，并给出问题的详细解答.已知p：实数。满足屋-(2m+l)a+m(m+1)WO,q：

实数a满足若选①：0W〃W4；

若选②：]<〃V3；

若选⑶：-,若p是q的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

【分析】P：因为(〃-m)(4?-m-1)W0,所以znWaW根+1.分别就选①②③，得出

〃的范围，可得加的取值范围.

【解答】解：p：因为(a-m)(a-m-1)WO,所以m^a^m+1

若选①：当4=0时，符合题意；当〃?0时，得0V〃W4,所以0WaW4,

由已知得:\m,m+l]^[0,4],

所以,得0《mW3.

lm+l<4

22（5-a^>a-l

若选②：方程U^-=l表示焦点在y轴上的椭圆，,：.l<a<3,

a-15-aa-l>0L

由已知得：777+1狂（1,3）,

所以，得1<%<2

若选③：f（x）—X1-（«-1）x+l,

则4=（cz-1）2-4W0,；.-lWaW3

由已知得：［m,MJ+1］氧T,3］,所以，得-lWmW2.

故答案为：选①：0Wa<4,得0W机W3.

若选②：l<a<3,得1cm<2

若选③：-得-lWmW2.

【点评】本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题.

18.（12分）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：

（1）短轴长等于2«,离心率等于上的椭圆；

2

22

（2）与椭圆—+匚=1共焦点，且过点（4,5）的双曲线.

1625

【分析】（1）求出5二回，工工，求出处然后分类讨论焦点的位置，求解椭圆方程.

a2

22

（2）求出椭圆的焦点为（0,±3）,设双曲线方程为2--工-=i，利用已知条件求出的

m9-m

即可得到双曲线方程.

【解答】解：（1）由题意可知，b=V3>£］，

a2

因为。2=/+02,可得。=2,

若焦点在X轴上，

22

椭圆的方程为幺+^—=1，

43

若焦点在y轴上，

22

椭圆的标准方程为工耳=1，

43

22

（2）椭圆的焦点为（0,±3）,

1625

22

可设双曲线方程为匚_±_=1,

m9-m

将点（4,5）代入可得空上_=i

m9-m

整理可得，m2-50m+225=0,

解得机=5或相=45（不合题意），

22

所以双曲线的标准方程为匚

54

【点评】本题考查双曲线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力,

是中档题.

19.（12分）如图，四边形A8C£＞是边长为2的菱形，ZBAD=60°,FZ）_L平面ABC。,

BE//FD,且DF=2BE=2.

（1）求直线和平面AE尸所成角的大小；

（2）求二面角的平面角的大小.

【分析】（1）推导出8,E,F,。四点共面，AC±BD,设AC与8。的交点为。以。

为坐标原点，OA,08以及垂直于平面ABC的方向为x,y,z轴，建立空间直角坐标系

O-xyz,利用向量法能求出直线和平面AEF所成角.

（2）求出平面的一个法向量和平面F的一个法向量，利用向量法能求出二面角

E-AF-。的平面角.

【解答】解：（1）因为BE〃ED,所以2,E,F,。四点共面，

因为四边形A8CD是菱形，所以ACL8。，

设AC与BD的交点为。，以。为坐标原点，。4,02以及垂直于平面ABC的方向为尤,

y,z轴，

建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示，

则A(“，0,0),F(0,-1,2),E(0,1,1),

AF=-1，2)，AD=(-«,-1,0)，AE=(-«,1,1),

设ir=（无，y,z）为平面AEB的一个法向量，

n.fm*AF=-V3x-y+2z=0.ZH-,r-、

贝山_.，令y=l,得ir=（v3>1>2）

m*AE=-V3x+y+z=0

设直线AD和平面AEF所成角为。，

|AD*m|_|-41_V2

则sin0=

|AD|-|m|2X«T

所以直线AD和平面AEF所成角为45

（2）由（1）可知，平面AEF的一个法向量为7=（毒，1，2）,

设口=（无，》z）为平面ADF的一个法向量，

则巧亍Mx-y+2z=。，令x=y,得短电，30）,

AD,n=-V3x-y=0

因为m，n=O，

所以二面角的平面角为90°.

【点评】本题考查线面角、二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.（12分）如图，在三棱锥P-A8C中，平面以C_L平面ABC,ZACB=90°,PA=AC

2BC.

(1)若求证：平面B43_L平面P8C；

(2)若B4与平面ABC所成的角为60°,求二面角C-P8-A的余弦值.

【分析】(1)推导出BC_L平面出C,PALBC,PAA.PB,从而以，平面P8C,由此能证

明平面E4B_L平面PBC.

(2)过P作PH±AC,由平面出C_L平面ABC,得P8_L平面ABC,ZPAH=6Q,设PA

=2,则PHf巧，以C为原点，分别以CA,CB所在的直线为x,y轴，以过C点且平行

于PH的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-P8-A的余弦

值.

【解答】解：(1)证明：因为平面B4CL平面A8C,平面E4CC平面A3C=AC,BCu平

面ABC,BC-LAC,

所以8C，平面PAC,

由B4u平面B4C,所以B4_LBC,

又因为PALPB,PBCBC=B,所以B4_L平面PBC,P4u平面PAB,

所以平面B4B_L平面PBC；

(2)解：过P作尸HJ_AC,因为平面B4C_L平面ABC,

所以/W_L平面ABC,所以/E4H=60,

不妨设必=2,所以PH*,

以C为原点，分别以C4,CB所在的直线为无，y轴，以过C点且平行于的直线为z

轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,1,0),P(l，。弧),

AB=(-2,1,0)，AB=(-2,1,0),AP=(-1,0,正)，CB=(0,1,0)-

CP=(1,073)-

设口=(XI,yi,zi)为面的一个法向量,

则有旧'更=°，即1"Cl°,令0=百，可得短(3,6,病),

ln-AP=Ol-X1W3Z1=0zi73

设ir=（%2,”，z2）为面尸8C的一个法向量,

则,弊

了2=。令Z2=J^，得ir=(-3,0,V3)»

m-CP=O

所以cos</.>=+9+3—=-二,所以二面角C-P3-A的余弦值为上

m,n4^X2V344

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线

面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

21.（12分）已知E为抛物线尸=2度（p>0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物

线于A,3两点，|AB|=8.

（1）求抛物线的方程：

（2）已知尸（犹，-1）为抛物线上一点，M,N为抛物线上异于尸的两点，且满足好M

•kPN=-2,试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.

【分析】（1）求得抛物线的焦点/和直线的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理

和弦长公式，计算可得所求抛物线方程；

（2）求得尸的坐标，不妨设直线MN的方程为（m^O）,M（xi,yi）,N（x2,

”），联立抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简可得tJ-ir，由直线恒

4

过定点的求法，可得所求定点.

【解答】解：（1）由已知F4，0），直线的方程为y=x-£，

联立抛物线方程y2=2px,消y可得，

X2_3PX+PL=0,

所以Xl+X2=3〃，

因为\AB\=xi+x2+p=4p=8,

所以2夕=4,

即抛物线的方程为y2=4x.

(2)将P(xo,-1)代入『=4兀可得-1),

不妨设直线MN的方程为％=切+/(m70),M(xi,yi),N(x2,y2),则y/=4xi,y^

=4x2,

联立抛物线的方程y2=4x,消％得/一4在厂书=0,

则有yi+〉2=4zn,yiy2=-4r,/\=16m2+16t,

Yi+iy+14

2416

由题息kpM.k