2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学二模试卷

第1页（共1页）2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2021的绝对值是（）A．﹣2021 B．2021 C．±2021 D．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科学记数法表示为（）A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×10104．（3分）若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y＝（）A． B． C． D．5．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1且x≠26．（3分）有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，问小鸟至少飞行（）A．8m B．10m C．12m D．14m7．（3分）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，则tan∠EDB等于（）A．1 B． C． D．8．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y29．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），把点1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3⋯这样依次得到点A1，A2，A3，A4⋯Ax，若点A1的坐标为，则根据友好点的定义，点A2023的坐标为（）A． B．（2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．10．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数y＝|x2﹣4x﹣5|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝2；③当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；④当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是9；⑤当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时b＝1或其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：4﹣4m2＝．12．（3分）若单项式2xmy3与3xym+n是同类项，则的值为．13．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，垂足为B，点C为y轴上的一点，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是．14．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则阴影部分的面积为．15．（3分）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若，则线段DE的长度为．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16．（5分）计算．17．（7分）先化简，再求值：（）÷，其中a＝18．（8分）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．19．（8分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系售价x（元/件）606570销售量y（件）140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元）20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝8，，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求AD的长．21．（9分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，连接EH．【问题发现】（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是．EH与AD的位置关系是．【猜想论证】（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立（2）中的情况给出证明；若不成立【拓展应用】（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时22．（10分）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：（1）【建立模型】数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为OH＝1.5m．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，E点在x轴上，测得其水平宽度DE＝3m，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示．①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为y1，y2．上边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，求上边缘抛物线y1的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程OC．②下边缘抛物线y可以看作由上边缘抛物线y1向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标．（2）【问题解决】要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求OD的取值范围．（3）【拓展应用】半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度EF变成了1m，才能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知y1与y2的开口方向与大小不变，请直接写出OH的最小值：．

2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2021的绝对值是（）A．﹣2021 B．2021 C．±2021 D．【解答】解：﹣2021的绝对值是2021，故选：B．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．3．（3分）国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科学记数法表示为（）A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×1010【解答】解：14.1亿＝1410000000＝1.41×108．故选：C．4．（3分）若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵由函数图象交于y轴的正半轴可知c＞0，∴反比例函数y＝的图象必在一，故C；∵据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧，∴函数y＝ax+b的图象经过一三四象限，故A错误．故选：B．5．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1且x≠2【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣3≠0，解得：x≥1且x≠3．故选：D．6．（3分）有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，问小鸟至少飞行（）A．8m B．10m C．12m D．14m【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝3m，在Rt△AEC中，AC＝．故选：B．7．（3分）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，则tan∠EDB等于（）A．1 B． C． D．【解答】解：∵OE＝1，OA＝1，∴tan∠AOE＝＝7，由圆周角定理得，∠EDB＝∠AOE，∴tan∠EDB＝1．故选：A．8．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣3到﹣2的距离比5到﹣2的距离小，∴y3＜y3＜y2．故选：B．9．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），把点1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3⋯这样依次得到点A1，A2，A3，A4⋯Ax，若点A1的坐标为，则根据友好点的定义，点A2023的坐标为（）A． B．（2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．【解答】解：∵对于点P（x，y）叫做点P的友好点1的坐标为，则，，∴A7（2，2），则，∴A8（2，﹣1），同理得，……，观察发现，每6个点为一个循环组依次循环．∵2023÷6＝337⋯⋯4，∴点A2023的坐标与A1的坐标相同，为．故选：A．10．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数y＝|x2﹣4x﹣5|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝2；③当﹣1≤x≤2或x≥5时，函数值y随x的增大而减小；④当x≤﹣1或x≥5时，函数的最小值是9；⑤当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时b＝1或其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵（﹣1，0），5）和（02﹣3x﹣5|，∴结论①正确；观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为直线，故结论②正确；∵函数与x轴的两个交点坐标为（﹣1，7），0），∴当﹣1≤x≤6或x≥5时，函数值y随x值的增大而增大，故结论③不正确；∵当x＝﹣1或6时，y＝0，∴当x≤﹣1或x≥6时，函数的最小值是0．故结论④不正确；∵函数y＝|x2﹣6x﹣5|与x轴的两个交点为（﹣1，2），0），又∵y＝x+b与y＝x平行，∴当y＝x+b与y＝|x2﹣4x﹣5|的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：①y＝x+b经过点（﹣3，0），②当y＝x+b与函数y＝﹣（x2﹣3x+5）只有一个交点时，则方程x+b＝﹣（x2﹣3x+5）有两个相等的实数根，将x+b＝﹣（x2﹣4x+5）整理得：x2﹣3x+b﹣5＝0，∴判别式Δ＝（﹣8）2﹣4（b﹣3）＝0，解得：．故结论⑤正确，综上所述：正确的结论是①②⑤．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：4﹣4m2＝4（1+m）（1﹣m）．【解答】解：原式＝4（1﹣m2）＝4（1+m）（7﹣m）．故答案为：4（1+m）（8﹣m）．12．（3分）若单项式2xmy3与3xym+n是同类项，则的值为2．【解答】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，解得n＝6，所以2m+n＝2+5＝4，＝＝2．故答案为：2．13．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，垂足为B，点C为y轴上的一点，BC．若△ABC的面积为6，则k的值是﹣12．【解答】解：如图，连接OA，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB＝6，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝6，∵k＜0，∴k＝﹣12．故答案为﹣12．14．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则阴影部分的面积为．【解答】解：△ABC的面积为：3×4﹣×1×6﹣×2×6＝5；设AB与A'B'的交点为E，BC与B'C'的交点为F，由平移的性质可知，△BEF～△BAC，∴＝（）4，∵S△ABC＝5，∴S△BEF＝，即阴影部分的面积为．故答案为：．15．（3分）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若，则线段DE的长度为．【解答】解：如图，过点D作DM⊥CE，由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，∴AE∥DM，∴∠AED＝∠EDM，∴tan∠AED＝tan∠EDM＝，∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，设EM＝m，由折叠性质可知，EC＝CB＝，∴CM＝﹣m，由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ECD＝30°，∴tan∠ECD＝＝，∴DM＝（﹣m）×，∴tan∠EDM＝，即＝，解得，m＝，∴DM＝，EM＝，在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM8，解得，DE＝，故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16．（5分）计算．【解答】解：原式＝4﹣（3﹣）﹣2×＝4﹣3+﹣+1＝5．17．（7分）先化简，再求值：（）÷，其中a＝【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝﹣1时＝．18．（8分）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为72度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；故答案为：50，72；（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），补全条形统计图如图所示：（3）名，答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；（4）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有5种，∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝．19．（8分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系售价x（元/件）606570销售量y（件）140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元）【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，，解得，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，解得，x1＝70，x2＝110，∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为70元；（3）由题意可得，w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）6+32000，∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，解得，50≤x≤65，∴当x＝65时，w取得最大值，答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BE＝8，，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求AD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，则OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵点D在⊙O上，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠BDO＝90°，∴sinB＝＝，∴OD＝5，∴⊙O的半径为2；（3）如图2，连接EF，∵AE是直径，∴∠AFE＝90°＝∠ACB，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，又∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，又∵∠OAD＝∠CAD，∴△DAB∽△FAD，∴，∴AD2＝AB•AF．∵BE＝2，OE＝AO＝5，∴AB＝18，AE＝10，∵sinB＝sin∠AEF＝＝，∴AF＝，∴AD4＝18×＝，∴AD＝．21．（9分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，连接EH．【问题发现】（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是EH＝AD，．EH与AD的位置关系是EH⊥AB．【猜想论证】（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立（2）中的情况给出证明；若不成立【拓展应用】（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时【解答】解：（1）如图1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，∵∠DCE＝45°，∴点E在线段CB上，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠B＝45°，∵DH＝HB，∴EH⊥DB，EH＝AD，故答案为EH＝AD．（2）结论仍然成立：理由：如图2中，延长DE到F，连接CF．∵DE＝EF．CE⊥DF，∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝45°，∴∠ECF＝∠ECD＝45°，∴∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠BCF，∵CA＝CB，∴△ACD≌△BCF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABF＝90°，∴BF⊥AB，∵DE＝EF，DH＝HB，∴EH＝BF，∴EH⊥AD，EH＝．（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时．∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝2，∴∠CAE＝∠CEA＝75°，∵∠CAB＝45°，∴∠EAH＝30°，∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，∴∠DEB＝150°，∴∠EDB＝∠EBD＝15°，∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，∴∠ADE＝∠AED＝15°，∴AD＝AE，设EH＝x，AH＝x，∵EH4+DH2＝DE2，∴x2+（2x+x）6＝8，∴x＝﹣3，∴AD＝2﹣7，∴S△ADE＝•AD•EH＝﹣3）•（．如图8﹣2中，当△BCE是等边三角形时．同法可求：EH＝+7+2，∴S△ADE＝•AD•EH＝）（，综上所述，满足条件的△ADE的面积为4﹣7．22．（10分）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：（1）【建立模型】数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，根据现场测量结果，喷水口H离地竖直高度为OH＝1.5m．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，E点在x轴上，测得其水平宽度DE＝3m，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段OD的长来表示．①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，