专题16 直角三角形综合检测过关卷（解析版）

专题16直角三角形综合检测过关卷（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②5，12，13；③32，42，52；④1，2，3，其中可以构成直角三角形的有（）A．4组 B．3组 C．2组 D．1组【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2＝c2时，它是直角三角形，由此可解出本题．【解答】解：①92+122＝152，故可以构成直角三角形；②52+122＝132，故可以构成直角三角形；③（32）2+（42）2≠（52）2，故不可以构成直角三角形；④12+（3）2＝22，故可以构成直角三角形；综上，符合题意的有3组，故选：B．2．（3分）满足下列条件中的△ABC，不是直角三角形的是（）A．a2＝b2﹣c2 B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝7：24：25【答案】C【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、a2+c2＝b2，能构成直角三角形，故正确；B、根据三角形内角和定理可求出∠A为90度，能构成直角三角形，故正确；C、根据内角和定理求出三个角分别为：45°，60°，75°，不能构成直角三角形，故错误；D、有a2+b2＝c2，能构成直角三角形，故正确．故选：C．3．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连接EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为（）A．∠AED＞∠AGF B．∠AED＝∠AGF C．∠AED＜∠AGF D．不能确定【答案】B【分析】利用等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠FED＝45°，从而再利用外角的性质可得出∠AED与∠AGF的关系．【解答】解：根据△ABC为等腰三角形，DE⊥DF．∵DC＝AD，∴∠C＝∠EAD＝45°，∴∠ADE＝∠CDF，在△AED与△CFD中，∠ADE=∠CDFAD=CD∴△AED≌△CFD（ASA），∴DE＝DF，∴∠FED＝45°，∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝45°+∠AEF，∠AGF＝∠BAD+∠AEF＝45°+∠AEF，∴∠AED＝∠AGF．故选：B．4．（3分）下列各组线段，能组成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝5 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵22+32≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵22+42≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．5．（3分）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6m，间距为8m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=82+故选：C．6．（3分）如图，在4×4的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使△ABC为直角三角形，则点C的个数为（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】B【分析】根据网格的特点，以及直角三角形的定义即可求解．【解答】解：如图所示，共有6个格点使△ABC为直角三角形．故选：B．7．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，11 D．5，12，23【答案】B【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12=22，∴能构成直角三角形，故C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．8．（3分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项B、C、D是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．【解答】解：a＝32，b＝42，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项A符合题意；当a：b：c＝5：12：13时，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝c2，故选项B不符合题意；由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故选项D不符合题意；故选：A．9．（3分）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．2，3，2 D．8【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，符合题意；B、42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；C、22+（3）2≠22，不能构成直角三角形，不符合题意；D、82+152≠162，不能构成直角三角形，不符合题意．故选：A．10．（3分）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm，则图中A、B两个正方形的面积之和为（）A．28cm2 B．42cm2 C．49cm2 D．63cm2【答案】C【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理，发现：2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解：由图形可知2个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B的面积之和＝49cm2．故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则∠ABC＝45°．【答案】45°．【分析】连接AC，利用勾股定理可分别求得AC、BC、AB的长，再利用勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，由AC＝BC即可求解．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴AC=12+22=5∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，故答案为：45°．12．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则MN的长是4-7【答案】4-7【分析】连接AN，则AN＝AB＝4，在Rt△ACN中，利用勾股定理求出CN即可得出答案．【解答】解：如图，连接AN，由题意知：AN＝AB＝4，在Rt△ACN中，由勾股定理得：CN=4∴MN=CM-CN=4-7故答案为：4-713．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为3．【答案】见试题解答内容【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠A＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，根据角平分线的定义求出∠CBD＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°，∴DE=12AD=12又∵BD平分∠ABC，∴CD＝DE＝3，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2×3＝6，∵P点是BD的中点，∴CP=12BD=12故答案为：3．14．（3分）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为9米．【答案】9．【分析】设滑轮到地面的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设滑轮到地面的高度为x米，根据勾股定理，得x2+122＝（x+6）2，解得：x＝9；答：滑轮到地面的高度为9米．故答案为：9．15．（3分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为1或4．【答案】见试题解答内容【分析】分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理求出另一直角边长为4，小正方形的边长＝4﹣3＝1，即可得出小正方形的面积；②3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长＝2，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．【解答】解：分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理得：另一直角边长=52∴小正方形的边长＝4﹣3＝1，∴小正方形的面积＝12＝1；②3和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝5﹣3＝2，∴小正方形的面积22＝4；综上所述：小正方形的面积为1或4；故答案为：1或4．三．解答题（共8小题，满分55分）16．（6分）如图，长13m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角5m，求梯子的顶端离地面的距离AB的值．【答案】梯子的顶端离地面的距离AB的值为12m．【分析】直接根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝5m，AC＝13m，∴AB=AC2-B答：梯子的顶端离地面的距离AB的值为12m．17．（6分）已知a，b，c满足|a﹣36|+（1）a36；b＝7；c＝5；（2）判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么三角形？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；（2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：（1）∵a、b、c满足满足|a﹣36|+b-7∴a﹣36=0，b-7=0解得：a＝36，b＝7，c=5（2）∵7＜36＜8，2＜5∴b+c＞a，∴能构成三角形，又∵a2＝54，b2+c2＝54＝a2，∴此三角形是直角三角形，面积S=12bc18．（7分）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【答案】（1）21.6米；（2）8米．【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，所以，CD＝20（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），答：风筝的高度CE为21.6米；（2）由题意得，CM＝12米，∴DM＝8米，∴BM=DM2∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），∴他应该往回收线8米．19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝23，BC＝4，AC＝27．（1）求证：AB⊥BC：（2）如果CA平分∠BCD，且∠D＝30°，求△ACD的面积．【答案】（1）证明过程见解答；（2）△ACD的面积为103．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ABC＝90°，即可解答；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E，先利用角平分线的性质可得AB＝AE＝23，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理求出CE的长，再在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DE的长，从而求出CD的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵AB＝23，BC＝4，AC＝27．∴AB2+BC2＝（23）2+42＝28，AC2＝（27）2＝28，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC；（2）解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，∵CA平分∠BCD，AE⊥CD，AB⊥CB，∴AB＝AE＝23，在Rt△ACE中，AC＝27，∴CE=AC在Rt△ADE中，∠D＝30°，∴DE=3AE＝6∴CD＝CE+DE＝10，∴△ACD的面积=12CD•AE=12×10×∴△ACD的面积为103．20．（6分）如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC，AB于点D，E，AD2﹣DC2＝BC2．若AD＝10，CD＝6，求BC的长．【答案】BC＝8．【分析】直接把AD＝10，CD＝6代入到AD2﹣DC2＝BC2进行求解即可．【解答】解：∵AD2﹣DC2＝BC2，AD＝10，CD＝6，∴BC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8．21．（8分）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得AC=5千米，CH＝2千米，AH＝1（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线BC的长．【答案】（1）△BCH是直角三角形，理由见解析（2）BC=5【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理列方程解答即可．【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△ACH中，∵CH2+AH2＝22+12＝5，AC∴CH2+AH2＝AC2，∴△ACH是直角三角形且∠CHA＝90°，∴∠CHB＝90°，∴△BCH是直角三角形；（2）设BC＝x，则BH＝x﹣1，∴CH2+BH2＝BC2，即22+（x﹣1）2＝x2，解得x=5即BC=522．（7分）如图，图中数字代表正方形的面积，∠ACB＝120°，求正方形P的面积．（提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）【答案】见试题解答内容【分析】作AD⊥BC，交BC延长线于D，求出CD=12AC＝1，AD=3【解答】解：如图，作AD⊥BC，交BC延长线于D，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝60°，∠DAC＝30°；∴CD=12AC＝∴AD=3在直角三角形ADB中，BD＝BC+CD＝3+1＝4，AD=3根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2＝3+16＝19；∴正方形P的面积＝AB2＝19．23．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6cm，点M，N是边BC上的两个动点，点M从点B出发沿着BC以每秒1cm的速度向终点C运动；点N同时从点C出发沿着CB以每秒2cm的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝1时，求△AMN的面积；（2）当t为何值时，∠MAN＝60°．【答案】（1）332cm（2）t＝3-3或3【分析】（1）根据等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求出AH的长，再根据△AMN的面积=1（2）①当点M与点N相遇之前，∠MAN＝60°，