圆方程及其位置关系复习学案-高中数学人教版（A版）选择性必修 第一册

圆方程及其位置关系复习学案

一、知识梳理

1、圆的定义

平面内的点的集合叫做圆，确定一个圆最基本的要素是和

2、圆的标准方程

以(4力)为圆心，r为半径的圆的标准方程为,特别地，以原点为圆心,为半径的圆

的标准方程为.

3、圆的一般方程

对于方程x2+y2+Dx+Ey+F-0,当____________时，表示圆心为，半径长为的圆;

当____________时,表示一个点；当____________时,它不表示任何图形；

二元二次方程A^+Bxy+Cy+Dx+Ey+F^表示圆的充要条件是

4、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离。判断直线与圆的位置关系的方法主要有：

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r=,d=r=,d>r。

(2)代数法：把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或〉整理成一元二次方程后，计算判别式/：

/>0=,/=0=,/<00

5、圆的切线方程

过圆/+上一点所，的的切线方程为

过圆x2+y2=/外一点(4b)作圆的切线，切线长为,两切点连线的方程为

6、圆的弦长

(1)几何法：|AB|=(2)代数法：弦长公式|AB|==

7、圆与圆的位置关系

若两圆的半径分别为n，小两圆的圆心距为d,则当__________时，两圆相离；当_________时，两

圆外切；当________________时，两圆相交；当__________时，两圆内切；当_________________时，两圆内

含

二'课前练习

1.已知圆O:x2+y2=5,直线/:xcos0+ysmO=\(0<6><^).设圆。上到直线/的距离等于1的点的

个数为无，则左=

2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆〃经过直线/:小y+2小=0与圆C:尤2+俨=4的两个交点，当圆

M的面积最小时，圆M的标准方程为

3.(1)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为

(2)如果圆(X—°)2+。一.)2=8上总存在到原点的距离为啦的点，则实数a的取值范围是

4.(1)已知/+丁2=4，过点(1,73)的切线方程为

(2)已知(X—1尸+3+2尸=4,过点p(3,1)圆的切线方程为

5.已知点(m,n)是圆(XT)?+(丁一1)2=4上的点，3m+n的最大值为

6.过点(2,0)引直线I与圆/+V=2相交于A,8两点，O为坐标原点，当△AO8面积取最大值时，直线I

的斜率为,弦长|AB|为

三、例题分析

例1.⑴已知圆E经过三点A(0,l),B(2,0),C(0,-1),则圆E的标准方程为一

(2)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x—力+26+1=0相切的所有圆中，半径最大的圆

的标准方程为___________________

(3)以圆Ci：炉+产12+2川3=0和圆C2：N+y2+i2x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程为

例2.(1)已知A(0,2),点尸在直线x+y+2=0上，点。在圆C：炉十^—4x—2y=0上，则如十尸。的最小

值是.

(2)已知实数x,y满足方程9+产一人+匚。，贝IJ的最大值为,最小值为

例3.已知RdABC的斜边为AB,且4(一1,0),8(3,0).

求(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

例4.已知圆x2+y2—6mx~2(m—1)y+10m2—2m~24=0(mER).

(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线，上；

(2)与，平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

(3)求证：任何一条平行于/且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

例5.已知圆C：尤z+W—"+w—dnO.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx-l对称，且以AB

为直径的圆经过原点？若存在，写出直线4?的方程；若不存在，说明理由.

例6.已知圆C:/+(y—3)2=4,一动直线/过A(—1,O)与圆C相交于P、。两点，以