重庆市涪陵高级中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题【含答案】

重庆市涪陵高级中学2024届高三开学考试数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单选题1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合，再求交集即可.【详解】由得，故，所以，又，所以．故选：B．2.下列函数中，既是偶函数又在上不单调的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性与单调性的概念判断即可.【详解】对于A，定义域，但，为奇函数，且在上单调递减，故A错误；对于C，为偶函数，且在上既有增区间，也有减区间，所以在上不单调，故B正确；对于C，在单调递减，不符合题意，故C错误；对于D，在单调递增，不符合题意，故D错误.故选：B3.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.4.已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（）A.9 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的曲线，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，即，于是，又，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16.故选：C5．已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．的解集是6.已知是上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由分段函数两段都是减函数，以及端点处函数值的关系可得答案．【详解】因为是上的单调递减函数，所以，解得．故选：C．7.设函数，若是奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出，得到函数的解析式，根据解析式求函数值即可.【详解】由已知可得，则．因为是奇函数，所以，因为，解得，所以，所以.故选：D．8.已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】将问题转化为与的交点个数，由解析式画出在上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.【详解】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，由题设知，在上的图象如下图示，∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.【点睛】关键点点睛：将问题转化为与的交点个数，利用数形结合思想及偶函数的对称性求交点的个数.二、多选题9.当时，幂函数的图像在直线的下方，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】转化为当时，恒成立，可得，由此可得解.【详解】根据题意得当时，，可知，故选：AB10.已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（）A.图象关于直线对称 B.C.的最小正周期为4 D.对任意都有【答案】ABD【解析】【分析】由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误.【详解】由的对称中心为，对称轴为，则也关于直线对称且，A、D正确，由A分析知：，故，所以，所以的周期为4，则，B正确；但不能说明最小正周期为4，C错误；故选：ABD11.下列说法正确的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.的最大值为C.的图象关于成中心对称D.函数的减区间是【答案】AC【解析】【分析】根据抽象函数定义域可判断A，根据指数函数图象和性质判断B，根据函数图象的平移变换判断C，根据对数函数的图象和性质判断出D即可．【详解】选项A，函数的定义域为，由，解得，所以函数的定义域为，故选项A正确选项B，，因为，所以由指数函数的单调性可得，所以当时函数取得的最小值为，故选项B不正确选项C，因为的对称中心为，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到，对称中心为，故选项C正确；选项D，为开口向上的二次函数，且时，解得或，所以当时，单调递减，当时，单调递增，结合对数函数的单调性可知函数的减区间是，故选项D错误；故选：AC12.已知，，且，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式和不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】根据基本不等式可知，则，当且仅当，时，等号成立，故A正确；因，，变形得，所以当且仅当，即，时，等号成立，所以，故B错误；由，，，所以，即，故C正确；由，可得，根据前面分析得，即，所以，即，故D正确．故选：ACD三、填空题13.若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是__________.【解题思路】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数a的取值范围．【解答过程】“∃x0∈[−1,2]则它的否定命题：“∀x∈[−1,2]，x−a≤0”是真命题；所以x∈[−1,2]，a≥x恒成立，所以a≥2，即实数a的取值范围是2,+∞．故答案为：2,+∞．14.若函数满足，则__________.【答案】1【解析】【分析】根据，分别令，求解.【详解】因为，令可得：，①令可得：，②联立①②可得：，故答案为：1.15.已知函数是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间是减函数，若，则实数a的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】利用奇偶性及单调性将原命题等价转化为，从而解该不等式组即可求得正解.【详解】由已知可得原不等式等价于，结合单调性可得．故答案为：已知函数，的最大值为M，最小值为m，则______.解答题17.（本题满分10分）计算：（1）（2）【答案】4，,11/2（1）.（2）原式.18.（本题满分12分）已知集合，．（1）若，求m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，由得到，得到不等式组，求出m的取值范围；（2）根据充分不必要条件得到是的真子集，分与两种情况进行求解，求得m的取值范围.【小问1详解】，解得：，故，因为，所以，故，解得：，所以m的取值范围是.小问2详解】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则是的真子集，当时，，解得：，当时，需要满足：或，解得：综上：m的取值范围是19.（本题满分12分）已知函数(1)若函数在上单调递增，求的最小值；(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．【解析】（1），，因函数在上单调递增，所以在恒成立，即，的最小值为．（2）与有且只有一个交点，即只有一个根，只有一个根，20.（本小题满分12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某机构从某地区抽取了500名近期购买新能源汽车的车主，调查他们的年龄情况，其中购买甲车型的有200人.（1）将年龄不低于45岁的人称为中年，低于45岁的人称为青年，购买其他车型的车主青年人数与中年人数之比为.完成下列列联表，依据的独立性检验，能否认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关？青年中年合计甲车型其他车型合计（2）用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，再从中随机抽取4人，记青年有人，求的分布列和数学期望.附：.2.7063.8416.6357.879【答案】（1）有的把握认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关.（2）分布列见解析,.【解析】【分析】（1）根据分布列和已知条件求出购买甲车型和其他车型的青年、中年人数，可得列联表，然后计算卡方，查表可作出判断；（2）先计算各层所抽取人数，然后由超几何分布概率公式求概率可得分布列，再根据期望公式可解.【小问1详解】由直方图可知，购买甲车型的青年人数为人，中年人数为人，购买其他车型的青年人数为人，中年人数为人，于是的列联表：青年中年合计甲车型12575200其他车型22575300合计350150500因为，所以，有的把握认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关.【小问2详解】用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，则青年有人，中年有人，所以的可能取值为1,2,3,4.，，，，所以的分布列为：X1234P所以.21.（本题满分12分）已知函数．（1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；（2）若，①判断函数的奇偶性，并证明；②若恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）函数是上的增函数，证明见详解；（2）①函数为奇函数，证明见详解；②【解析】【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取，设，然后，再分析判断其符号即可.（2）当时，①，直接利用函数奇偶性的定义判断；②利用函数是奇函数，将，转化为，再利用是上的单调增函数求解.【小问1详解】函数是增函数，定义域：，任取，不妨设，，，∵，∴.又，∴，即，∴函数是上的增函数.【小问2详解】当时，①，定义域为，关于原点对称，，∴函数是定义域内的奇函数.②等价于，∵是上的单调增函数，∴，即恒成立，∴，解得.22.（本题12分）已知函数，.（1）若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数a的值；（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）2（2）[，+∞）【解析】【分析】（1）分别求得和，根据，列出方程，即可求解；（2）将不等式变形转化为，构造函数，，利用导数求得函数单调性和最值，即可求出实数的取值范围．【小问1详解】依题意，，，则，，因为在点,处的切线与在点,处的切线互相平行，所以，又因为，所以【小问2详解】由，得，即，即，设，则，，由，设，可得，所以时，，单调递减；当时，，单调递增，所以,所以在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，设，则，当时