重庆市第十一中学教育集团2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题【含答案】

暑假作业质量监测数学试卷（考试时间：120分钟考试形式：闭卷满分：150分）一、选择题（本大题十个小题，每小题4分，共40分）1.下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．2.若一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据“小于向左，大于向右”且“边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”写出解集即可．【详解】解：由数轴可知不等式组的解集为．故选D．【点睛】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆表示．3.下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案．【详解】解：A、，该选项不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式的积，不属于因式分解，故此选项不符合题意；C、是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；D、是把一个多项式转化成几个整式的积，属于因式分解，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是把这个多项式因式分解．4.如图，在中，，，的垂直平分线交于D点，连接，的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求得的度数，再根据垂直平分线以及等腰三角形的性质求得的度数，即可求解．【详解】解：∵，∴∵垂直平分，∴∴，∴故选：B【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．5.下列命题中正确的是（）A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.菱形的对角线相等C.矩形每一条对角线平分一组对角 D.有一组邻边相等的矩形为正方形【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形及菱形与正方形的性质求解即可．【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，选项错误；B、菱形的对角线互相垂直，选项错误；C、菱形每一条对角线平分一组对角，选项错误；D、有一组邻边相等的矩形为正方形，正确；故选：D．【点睛】题目主要考查平行四边形、矩形及菱形、正方形的性质，理解特殊四边形的性质是解题关键．6.估算的结果（）A.在6和7之间 B.在7和8之间 C.在8和9之间 D.在9和10之间【答案】C【解析】【分析】首先计算，并确定范围，然后再利用不等式的基本性质确定的范围即可．【详解】解：故选C【点睛】本题考查了二次根式的乘法、确定二次根式的范围、不等式的基本性质等知识点，范围的确定是解题关键．7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，点F是OC的中点，连接EF，若AC+BD＝16cm，BC＝6cm，则△OEF的周长为（）A.5cm B.7cm C.11cm D.12cm【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，OC＝OA，进而利用三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OC＝OA，∵AC+BD＝16cm，∴OB+OC＝8cm，∵点E是OB的中点，点F是OC的中点，∴EF＝BC＝3cm，OE＝OB，OF＝OC，∴OE+OF＝（OB+OC）＝4cm，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝4+3＝7（cm），故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质，关键是根据平行四边形的对角线平分解答．8.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有5颗棋子，第②个图形有8颗棋子，第③个图形有13颗棋子，……，则第⑦个图形中棋子的颗数为（）A.36 B.40 C.49 D.53【答案】D【解析】【分析】仔细观察图形的变化，找到变化规律，利用规律求解即可．【详解】解：第①个图形有颗棋子，第②个图形一共有颗棋子，第③个图形一共有颗棋子，第④个图形有颗棋子，……，第个图形一共有（颗）．第⑦个图形一共有（颗）．故选：D．【点睛】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．9.如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定可得，再根据全等三角形的性质及平行线的性质得到，最后根据角平分线的定义即可解答．【详解】解：∵在正方形中，∴，，∴在和中，，∴，∴，∵,∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，故选．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．10.对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（）①；②，则；③；④对任意大于3的正整数，有．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，，，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④．【详解】解：∵当时，，故①错误，∵，即解得：，经检验是原方程的解，故②正确；∵，，，，……∴，故③正确；∵，，，……∴，故④错误，故选：C．【点睛】本题考查了代数式求值，解分式方程，二次根式的运算，数字类规律题，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题（本大题8个小题，每个小题4分，共32分）11.若分式无意义，则x的值为_______．【答案】2【解析】【分析】直接利用分式无意义的条件分析得出答案．【详解】∵分式无意义，∴，解得．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了分式有意义条件，分式分母为0时分式无意义是解题关键．12.如图，将绕点O按逆时针方向旋转55°后得到，若，则的度数是____________．【答案】【解析】【分析】首先根据旋转变换的性质求出的度数，结合即可解决问题．【详解】解：如图，由题意及旋转变换的性质得，又∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．13.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________．【答案】6【解析】【分析】根据多边形的内角和公式和外角和为，列式计算即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；∴这个多边形的边数为6；故答案为：6【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和的综合应用．解题的关键是掌握多边形的内角和为，外角和为．14.如图，直线和直线相交于，则关于的不等式解集为______．【答案】【解析】【分析】观察函数图像得到在点的左边，直线都在直线的下方，据此求解．【详解】解：∵直线与直线相交于点，∴观察图像可知：关于的不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据函数图像比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，利用数形结合的思想是解题的关键．15.如图，在中，，，平分，若，则的面积为______．【答案】【解析】【分析】过点作，根据角平分线的性质可得，，即可求解．【详解】解：过点作，如下图：∵平分，，∴故答案为：【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的有关性质．16.若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非正数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．【答案】【解析】【分析】分别通过解一元一次不等式组和分式方程确定的取值范围，再确定所有满足条件的整数，最后求解此题结果．【详解】解不等式组得，∵关于的一元一次不等式组的解集为，∴，∴，∵，解分式方程得：，∵是非正数且，∴是非正数且，∴且，∵且为整数，∴且，∴的值为、、、、1，∴所有满足条件整数的值之和为：，故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．17.如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为______．【答案】【解析】【分析】连接，交于点，说明为的中位线，再利用勾股定理列方程即可求解．【详解】解：连接，交于点，如下图：∵将沿着翻折到，∴垂直平分∴，∵四边形为矩形∴，，∴为的中位线∴设，则由勾股定理可得：解得故答案为：【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．18.若一个四位数M的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的和也为10，则这个四位数M为“双十数”．例如：，∵，∴3278是“双十数”；又如：，∵，∴1294不是“双十数”．若一个“双十数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当是整数时，的最大值为______，若、均为整数时，记，当取得最大值，且时，M的值为______．【答案】①.6②.2684【解析】【分析】根据定义可得的值，进而得出的最大值，根据进而求值即可．【详解】∵是整数，，∴为能被4整除的数，∴或8或12或16，∴的最大值为6，∵、均为整数，，∴，∴，当取得最大值，且时，此时，，的最大值为11，∴，∴M的值为2684，故答案为：6，2684．【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及整除，新定义等知识，准确理解新定义，熟练掌握知识点是解题的关键．三、解答题（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）19.（1）解不等式组：；（2）化简：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求得每个不等式的解集，即可求解；（2）根据分式的运算法则，求解即可．【详解】解：（1）解不等式①可得：解不等式②可得：则不等式组的解集为；（2）．【点睛】此题考查了不等式组的求解以及分式的化简，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．20.已知四边形是平行四边形，．（1）利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴①，∵平分，∴∴②，∴又∵，∴③，又∵④，∴四边形为平行四边形，又∵⑤，∴四边形是菱形．【答案】（1）见解析（2）；；；；【解析】【分析】（1）利用基本作图作的平分线和作一条线段等于已知线段即可；（2）先证明，则利用，可判断四边形为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形是菱形．【小问1详解】如图，为所作；【小问2详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴①，∵平分，∴∴②，∴又∵，∴③，又∵④，∴四边形为平行四边形，又∵⑤，∴四边形是菱形．故答案为：；；；；【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．21.为加强国家安全教育，提高学生国家安全意识，某校七、八年级举行了国家安全知识问答活动，现从七、八年级各随机抽取名学生，对他们在活动中的成绩（百分制）进行整理，描述和分组（成绩用表示，共分成组：；；；），下面给出部分信息：七年级学生的成绩在组中的数据为：，，，，．八年级学生的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，．七、八年级学生成绩对比统计表统计量平均数中位数众数七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：（1）请填空：______，______，扇形的圆心角度数为______度；（2）该校七年级有名学生，八年级有名学生，若成绩不低于分记为优秀，试估计该校七、八年级成绩为优秀的学生人数之和；（3）根据以上数据，你认为该校哪个年级的学生对国家安全知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）87，99，24；（2）920人；（3）八年级掌握更好，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据七年级组的人数求出组所占比例，从而求出组所占比例，乘以度即为扇形的圆心角度数，根据中位数、众数的定义求和的值；（2）根据，计算求解即可；（3）七、八年级的平均数相等，可以根据中位数或众数进行判断，（答案不唯一）．【小问1详解】解：由题意知，七年级组所占比例为：，七年级组人数为：（人），组人数为：（人），扇形圆心角度数为，∵中位数为第名的成绩，∴中位数为；∵八年级学生成绩中出现的次数最多，∴八年级学生成绩的众数：，故答案为：87，，；【小问2详解】解：（人），答：估计该校七、八年级成绩为优秀的学生人数之和大约是人；【小问3详解】解：我认为该校八年级组的学生对国家安全知识掌握更好，理由如下：∵平均数相同，七年级中位数低于八年级中位数，∴八年级的高分成绩较多，八年级的学生对国家安全知识掌握更好．【点睛】本题考查中位数、众数、扇形统计图，掌握利用样本估计总体、利用中位数或众数做决策等知识点是解题的关键．22.如图，中，，，点F为延长线上一点，点E在上．且．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）通过“”证明即可；（2）利用等腰三角形的性质可得，，再利用全等三角形的性质求解即可．【小问1详解】证明：∵∴又∵，∴【小问2详解】∵，∴∵∴∵∴∴【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．23.某超市计划购进甲、乙两种商品进行销售．经了解，甲种商品的进价比乙种商品的进价高50%，超市用1500元购进甲种商品比用2000元购进乙种商品的重量少50千克，已知超市对甲，乙两种商品的售价分别为45元/千克和30元/千克．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少？（2）若超市购进这两种商品共450千克，其中甲种商品的重量不高于乙种商品重量的2倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）甲种商品的进价为30元/千克，则乙种商品的进价为20元/千克（2）购进甲种商品300千克，乙种商品150千克才能获得最大利润，最大利润为6000元【解析】【分析】（1）设乙种商品的进价为元/千克，则甲种商品的进价为元/千克，根据“超市用1500元购进甲种商品比用2000元购进乙种商品的重量少50千克”，列出分式方程，解方程即可；（2）设购进甲种商品千克，则乙种商品千克，利润为元，根据两种商品的进价和售价列出关于的一次函数，再根据甲种商品的重量不高于乙种商品重量的2倍列出不等式，求出的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可得到答案．【小问1详解】解：设乙种商品的进价为元/千克，则甲种商品的进价为元/千克，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意，则，答：甲种商品的进价为30元/千克，则乙种商品的进价为20元/千克；【小问2详解】解：设购进甲种商品千克，则乙种商品千克，利润为元，由题意得：，∵甲种商品的重量不高于乙种商品重量的2倍，∴，解得：，，则随的增大而增大，∴当时，最大，最大值为，则，答：购进甲种商品300千克，乙种商品150千克才能获得最大利润，最大利润为6000元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，读懂题意，正确列出分式方程、一次函数、一元一次不等式，是解题的关键．24.如图，在菱形中，，动点M，N均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点M沿折线A→D→C方向运动，点N沿折线A→B→C方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为x秒，点M，N的距离为y．（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出点M，N相距超过3个单位长度时x的取值范围．【答案】（1）（2）图象见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；（3）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出，，得出总的运动时间为秒，分两种情况：当时，当时，根据等边三角形的性质解答即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质；（3）结合图象利用分别求解即可．【小问1详解】解：∵菱形，，∴，，∴总的运动时间为：秒，当点M在，点N在上运动时，即时，连接，由题意得，，∴是等边三角形，∴；当点M在，点N在上运动时，即时，如图所示：是等边三角形，∴，∴；综上可得：；【小问2详解】对于，当时，，对于，当时，，函数图象如图：当时，y随x的增大而增大；【小问3详解】当时，即；当时，即，解得，∴由图象得：点M，N相距超过3个单位长度时，．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，菱形的性质及等边三角形的判定和性质，正确理解动点问题是解题的关键．25.如图1，在平面直角坐标系中，直线∶与y轴交于点A，直线∶与x轴、y轴分别交于点和点C，直线l1与直线l2交于点．（1）求直线的解析式；（2）若点E为线段上一个动点，过点E作轴于点F，交直线于点G，当时，求的面积；（3）如图2，将向下平移3个单位长度得到直线，直线与直线交于点H，点D关于y轴的对称点为点G，点M为直线上一个动点，点N为直线上一个动点．若以点G，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标并写出求其中一个点M坐标的过程．【答案】（1）；（2）；（3）或或【解析】【分析】（1）求得点的坐标，将代入求解即可；（2）设，求得线段、，得到关于的方程，求得，即可求解；（3）求得的坐标，设，，分三种情况，利用平行四边形的性质求解即可．【小问1详解】解：将代入可得，，即将、代入可得，解得即【小问2详解】设，由题意可得：，，∴，∴解得∴【小问3详解】由题意可得：：联立和可得，解得，即点D关于y轴的对称点为点G，则设，当以和为对角线时，由平行四边形的性质可得，和