单辉祖工力4一般力系

平面任意力系第四章工程实例

§4-1力的平移力的平移定理

Od令F’=F=-F’’F’F”FOdF’F”FF”FF”FF”FM作用于刚体上的力

F

的作用线可等效地平移到任意一点O，但须附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力对O点的矩。逆过程：

平面内的一个力和一个力偶总可以等效地被同平面内的一个力替换，但作用线平移一段距离OMF’FdMF’dF位置由M

的转向确定。力线平移的讨论1F力线平移的讨论2图中单手攻丝时，由于力系(F’,MO)的作用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。例4-1求图中力F对点A之矩。若r=20cm，R=50cm，F=300N。解:F600OAF*OOAMF1F2F3O

O

F1F1M2M1F2

F2

F3F3M3O

R,Mo§4-2平面任意力系向平面内一点简化O

点称为简化中心将各力向简化中心平移平面任意力系平面汇交力系平面力偶系一个合力R,一个合力偶MO

﹛主矢：O

R,Moxy主矢为原力系各力的矢量和主矢大小主矢方向主矢与简化中心无关主矢用于量度平面任意力系对物体的移动作用效应主矢的作用线通过简化中心主矩：O

R,Moxy主矩用于量度平面任意力系对物体绕简化中心转动的作用效应结论:

平面任意力系向平面内任一点简化可得到作用线通过简化中心的主矢和关于简化中心的主矩。主矢为该力系各力的矢量和,主矩为该力系各力对简化中心矩的代数和。主矩与简化中心有关主矩为原力系各力对简化中心矩的代数和固定端约束的工程实例AAAAA固定端支座反力简化图形

AFAXAYAMAMAXAYAMAXAYAMAXAYAMA

情况一：主矢等于零，即R’=0主矩合成结果说明MO

≠

0合力偶此力偶为原力系的合力偶，由简化结果彼此等效知：此情况下，主矩与简化中心O无关。平衡MO

=0§4-3节将重点讨论。平面力系的简化结果分析O

Mo

情况二：主矢不等于零，即 R’≠0主矩合成结果说明MO

=0合力R此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。合力R大小等于

主矢MO

≠0此力为原力系的合力，合力的作用线距简化中心的距离O

RO合力矩定理

平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。合力对O点的矩为：

MO

(R)=Rd=MO∵主矩

MO

=∑MO

(F)∴MO

(R)=∑MO(F)RdMOR’MOR’MOR’MOR’MOR’证： 由前表的第二种情况可知：即，主矢R’=0,这样可知主矩与简化中心D的位置无关，以B点为简化中心有：MD=MB

=M-F3×1=1Nm，主矩

MD=1Nm例4-2图示力系,已知:M=2(Nm)

F2F3F1MABCD3m1m1m1m1m解：求力系的主矢及关于D点的主矩。。求力系的合力。例4-3重力坝受力如图所示。设解：（1）先将力系向O点简化，主矢在x、y轴上的投影。主矢的大小kNkN式中kN而因为FRy

为负，故主矢在第四象限内，与x轴的夹角为70.84

。

（2）合力FR的大小和方向与主矢相同。其作用线位置根据合力矩定理求得（图c），解得即力系的主矩（顺时针图b）§3-3平面力系的平衡条件平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。即：R’=0,MO=0

由：平衡的解析条件：∑X=0，

XA+3lq/2－Fsin60°=0XA=316.4

kN∑Y=0，Fcos60°－P+YA

=0

YA=-100kN∑MA(

F)=0，

MA

－3l

2

q/2－M+

3lFsin60°－Flsin30°=0

MA

=-789.2kNm

自重为P=100kN的T

字形刚架，l=1m，M=20kNm，F=400kN，q=20kN/m

，试求固定端A的约束反力。例4-4解：qMABDll3lF60°PXAYAMA自重不计的简支梁AB受力如图，M=Pa。试求

A和B支座的约束反力。例4-5MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐标轴如图。XAXANBNBYAYA∑MA

(F)=0,NB·4a－M－P·2a－q·2a·a=0∑X=0,XA

=0∑Y=0,YA－q·2a－P+NB

=0AB当我们更换第三个方程，结果同。解：受力分析，取坐标轴如图。∑MA

(F)=0,NB·4a－M－P·2a－q·2a·a=0∑X=0,XA=0MPqxy4a2aNBXAYAXAXANBNBYAYAAB－YA

·4a+q·2a·3a+P·2a－M=0∑MB=0,二力矩形式的平衡方程:

∑MA

(F)=0，则力系简化为过A点的一个合力

∑MB

(F)=0

，则力系简化为过B点的一个合力合力沿AB的连线

∑X=0，R×COSα=0

若α≠90OR=0，物体平衡若α=90O，（AB⊥x）方程自然满足，平衡不定ABxα用二力矩方程要求AB联线不与x轴垂直用三力矩方程要求A、B、C三点不共线平衡方程的三种形式基本二力矩三力矩要求x

轴

不平行y轴要求AB联线不与x轴垂直要求A、B、C

三点不共线形式限制条件平衡方程∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0∑X=0∑MA(F)=0∑MB(F)=0∑M

A

(F)=0∑M

B

(F)=0∑MC

(F)=0平面平行力系的平衡方程

平行力系：力系中所有力的作用线都相互平行的力系。

于是，独立的平衡方程数只有两个∑Y=0∑MO

(F)=0或∑MA

(F)=0∑MB(F)=0A、B连线不与力平行F1F2F3FN如选x

轴与各力垂直就有∑X≡0xyO（1）保证起重机在满载和空载时都不至翻倒，求平衡载荷P3应为多少？塔式起重机如图，P1=700kN，P2=200kN，试问：例4-66m12m2m2mABP2P1P3NBNA（2）当P3=180kN时，求满载时轨道A、B

轮的约束反力。保证起重机在满载和空载时都不至翻倒，求平衡载荷P3应为多少？（P1=700kN，P2=200kN）6m12m2m2mABP2P1P3NBNA解：满载而不翻倒时，临界情况下，NA

=0∑MB

=0,

P3min(6+2)+2P1－P2(12－2)=0

P3min=(10P2－2P1)/8=75kN当空载（

P2=0）而不翻到，临界情况下，NB=0∑MA=0,P3max(6－2)－2P1=0

P3max=2P1/4=350kN得：75kN≤P3≤350kN当P3=180kN时，求满载时轨道A、B

给轮的反力。6m12m2m2mABP2P1P3NBNAP1=700kN，P2=200kN解：∑MA=0,

P3(6－2)－2P1－P2(12+2)+4NB

=0

NB=(14P2+2

P1

－4P3)/4=870kN∑Y=0,NA+NB

－P3－P1

－P2=0

NA

=210kN用∑MB=0可以进行校验。§4-4刚体系的平衡·静定和静不定问题工程结构大都是几个刚体组成的系统。为提高结构坚固性，常常增加多余约束，使未知量个数超过独立方程数，这样的问题称为静不定或超静定问题。当系统中的未知量个数等于独立方程数，这样的问题称为静定问题。在平面任意力系的作用下，每个物体可写出三个平衡方程，若体系由n

个物体组成，则可写出3n

个独立方程。（平行、汇交力系减少）系统平衡时，组成该系统的每个物体皆平衡。ABC静定和静不定问题对比（1）本问题为平面汇交力系，独立方程数为2个未知量的个数——（1）2个（2）3个PP静定和静不定问题对比（2）XAYAMAXAYAMA本问题为平面任意力系，独立方程数为3个未知量4个未知量3个未知量3个未知量4个XAYAN1N2NXAYAN静定和静不定问题对比（3）

独立方程数6个

未知量

独立方程数3个

未知量XAYAXBYBXAYAXBYBXCYCYC’XC’ABCAB6个4个

无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个球重P、半径r，圆桶半径R

。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至翻倒的最小重量G

min

。例4-7PPABGCD取整体为研究对象，受力情况如图。翻倒的临界情况时，min桌面对圆筒的约束反力集中在最右边的一点上。且：G=Gmin

。PPABCDCDaRb解1：分别以两个球和圆桶为研究对象,画受力图。设BE=a

，AE=b。显然，DO=BE=a

，b=2(R-r)。O以两球为对象EOOGmin∑MO(F)=0，

Gmin

R－FD’a=0Gmin

=FD’a／R=Pb

／R

Gmin=2P(1－r／R)→FD=Pb／a∑MA

(F)=0，FD

a－Pb=0FC’FCFB

FA

以桶为对象，选择O点，解2：以两个球为研究对象ABCDPPNCDPPABOGminN→N=2P以整体为研究对象∑Y=0，N－P－P=0∑MO(F)=0， Pr+Gmin

R－(N－P)(2R－

r)

=0静定组合梁如图，已知Q=10kN，P=20kN，p=5kN/m，q=6kN/m和2a=1m。梁自重不计，求A，B的支座反力。2a2a2a2aaa例4-8ABCDXAYAMApqQPNB解：1、以CD为对象例3-8(续1)BDCqQNB2a2aaXCYC∑X=0，

XC=0∑MC(F)=0，－

Q·a+NB·2a－=0

NB

=Q

／2+4qa／3=9（kN)∑M

B

(F)=0,=0

Q

a－YC·

2a－

YC=Q／2-qa

／3=4kN)Q=10kN，q=6kN/m2a=1mNBYCXCNBXCYC例3-8(续2)2、再以AC为对象AC2a2aaPXAYAMApYC’XC’由（1）知,X

C’=0,YC’

=4kN∑X=0，X

A=0∑Y=0，YA－P

－

p·2a

－YC’=0

Y

A

=

P+p·2a+YC’=29(kN)∑M

A(F)=0，MA－P·a

－p·2a·3a－YC’·4a=0

MA

=10+7.5+8=25.5(kN·m)P=20kN，p=5kN/m，2a=1mXAYAMAXAYAMA校验：以整体为研究对象2a2a2a2aaaABCDXAYAMApqQPNBYA

－P

－p·2a

－Q+NB

－qa

=29－20－5－10+9－3=0

MA－P·a

－p·2a·3a－Q·5a+NB

·6a－

20qa2/3

=25.5－10－7.5－25+27－10=0∑Y=0，?∑MA

(F)=0，?????满足图示结构，已知载荷F1、F2、M及尺寸a，且M=F1a，F2作用于销钉上，求:

（1）固定端A的约束反力；

（2）销钉

B

对

AB

杆及T

形杆的作用力。例4-9aaaa/2a/2BDEACF1F2M1、以CD为研究对象aaDCMXCYCXDYD∑MD(F)=0，YC·2a

-M=0

YC

=F1/2XCYCXDYDXCYCXDYDaaaa/2a/2BEACF1F2MDM=F1aYBT2、以T形杆为研究对象BECaaa/2a/2F1XC’YC’XBT∑Y=0,

YBT+YC’－F1=0

YBT

=F1

／2∑MC(F)=0,

XBT

a

－YBT

a－

F1a=0

XBT=3F1／2YBTXC’YC’XBTYBTXC’YC’XBTaaaa/2a/2BEACF1F2MD

Y’C=YC=F1/2前页已算得：

XBT=3F1／2

YBT

=F1

／2XBT

和YBT

就是销对T形杆的作用力3、以销钉

b为研究对象YB’XB’F2∑X=0,XB’－XBT’=0 XB’=3F1／2∑Y=0,YB’－YBT’－F2=0YB’=YBT’+F2=F2+F1

／2XB’和

YB’

是悬臂梁AB对销的作用力。显然， XBT’=XBT=3F1／2

YBT’=YBT=F1／2YB’XB’YB’XB’aaaa/2a/2BEACF1F2MD前页已算得：XB’=3F1／2，

YB’=F2+F1

／2

显然，

XB=XB’=3F1／2

YB

=YB’=F2+F1

／2这就是销对悬臂梁AB的作用力。

以悬臂梁AB为研究对象aBAXBYBXAYA∑X=0,

XA

－XB=0 XA=3F1／2∑Y=0, YA－YB=0YA

=