湖北省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期4月联考数学试题（新高考卷）(含答案)

数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为（）A．91.5 B．93 C．93.5 D．942．已知集合，，则（）A．{2，3} B．{1，2，3} C． D．3．设，则（）A． B． C． D．4．圆心为（2，1），且与直线相切的圆在x轴上的弦长为（）A．2 B．4 C． D．5．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径也为l的球的表面积相等，则（）A． B． C． D．6．在中，，，，则点A到边BC的距离为（）A． B． C． D．7．定义域均为R的函数，满足，且，则（）A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数8．在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为线段BD，，上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．某次数学考试满分150分，记X，Y分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且，，则（）A．甲班的平均分低于乙班的平均分B．甲班的极差大于乙班的极差C．成绩在[100，110]的人数占比乙班更高D．成绩在[90，100]的人数占比甲班更高10．设，则（）A． B．C． D．11．已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左顶点为A，右焦点为F，过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B，过B且平行于x轴的直线与y轴交于点D，若，则C的离心率等于（）A． B． C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量，，则______．13．已知抛物线：，：的焦点分别为，，一条平行于x轴的直线与，分别交于点A，B，若，则四边形的面积为______．14．已知函数．设k为正数，对于任意x，若，二者中至少有一个大于2，则k的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求C的方程；（2）设过C的左焦点且斜率为的直线与C交于M，N两点，求的面积．16．（15分）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，，E为PB的中点．（1）证明：平面PAC；（2）若F为AB的中点，求二面角的大小．17．（15分）某商场为回馈顾客举行抽奖活动，顾客一次消费超过一定金额即可参加抽奖．抽奖箱里放有个大小相同的小球，其中有两个标有“中奖”字样，每位参加抽奖的顾客一次抽奖可随机抽取两个小球．（1）当时，记X为一次抽奖抽到“中奖”小球的个数，求X的分布列与期望；（2）商场规定参加抽奖的顾客一次抽奖只要抽到一个“中奖”小球即视为中奖，若使中奖概率不低于25%，求n的最大值．18．（17分）对于数列，及常数p，若满足，且，则称对关于p耦合．（1）若对关于0耦合，且，，求；（2）若对关于1耦合，且，求，的通项公式；（3）若存在，，使得对关于耦合，且对关于耦合，证明：，．19．（17分）“对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为．设点，，，规定，且对于运算“”，表示坐标为的点．若点U，V，W满足，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数和，使得对于图像上任意一点T，均在图像上，则称为的镜像函数．（1）若点，，且N~M，求的坐标；（2）证明：若为的镜像函数，，则；（3）已知函数，为的镜像函数．设R~S，且．证明：．数学参考答案1．【答案】C【解析】92，88，95，93，90，97，94，96的中位数是．2．【答案】D【解析】，，则，所以．3．【答案】B【解析】，故．4．【答案】B【解析】圆心（2，1）到直线的距离为，即圆的半径，所以圆的方程为，令，则或4，故圆在x轴上的弦长为4．5．【答案】D【解析】圆锥的表面积为，球的表面积为，故，即，故．6．【答案】A【解析】由，可知，．由余弦定理有，故．设点A到边BC的距离为d，由三角形面积公式得：，故．2237．【答案】D【解析】由可知，又因为，故，即，故是偶函数．且根据题意可得f（x）=f（2-x），故f（x）不一定是奇函数或偶函数．8．【答案】A【解析】设R在线段CD，上的射影分别为E，F，根据题意有，，故EP和FQ均取最小值时，即，且时满足要求．设，则，故．设，则，故，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，即的最小值为．9．【答案】AC（选对部分得3分）【解析】甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，甲班平均分低于乙班，故A正确；甲班的方差大于乙班，但不能认为甲班的极差一定大于乙班，故B错误；甲班的平均分为90分，乙班的平均分为100分，且乙班方差小，成绩分布更集中，故甲班成绩在区间[90，100]的人数占比低于乙班，且低于乙班成绩在区间[100，110]的人数占比，故C正确，D错误．10．【答案】BC（选对部分得3分）【解析】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，，若，则，矛盾，故D错误．11．【答案】BCD（选对部分得3分）【解析】设C的半焦距为c，离心率为e，则有，，，，当时，由直角三角形射影定理可知，，，，故A错误，B正确，C正确；又，，，且，故，又因为，故，即，解得．12．【答案】1【解析】因为，，故，．13．【答案】【解析】设，，根据题意可知，故，即，又由抛物线的定义可知，，当时，，故，，，所以，四边形是平行四边形，故四边形的面积为．14．【答案】【解析】，令，则或，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值是，极小值是．当时，；令，即，因为是极小值点，设存在使得，解得，故当时，；易知，故当时，，，且当时，．结合的图像可知，对于任意x，若，二者中至少有一个大于2，则或，即k的取值范围是．15．（13分）【解析】（1）设C的半焦距为c，则．故．将代入C的方程有，故，，．所以C的方程为．（2）由（1）可知C的左焦点为．故过左焦点且斜率为的直线为l：．将l与C的方程联立有．设，，则不妨取，．故．且P到l的距离．所以的面积为．16．（15分）【解析】（1）方法1：如图，连接BD，交AC于点G，因为ABCD是正方形，故，又因为平面ABCD，平面ABCD，故，由于，所以平面PDB，因为平面PDB，故．取线段PA的中点H，连接DH，EH，因为E为PB的中点，则．又因为，，且，故平面PAD，且平面PAD，所以．因为，且，故平面DEH，．由于，所以平面PAC．方法2：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立坐标系，设，则，，，，所以，，．设平面PAC的法向量为，则，不妨取，则，所以平面PAC．（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立坐标系，设，则，，，，所以，，．设平面BCE与平面CEF的法向量分别为，，则，，不妨取，，则，，所以，因为，故二面角的大小为30°．17．（15分）【解析】（1）根据题意有，1，2，则，，．……3分X的分布列为：所以．（2）当有n个小球时，顾客中奖概率为．故，即．解得，满足条件的n的最大值为15．所以若使中奖概率不低于25%，则n的最大值为15．18．（17分）【解析】（1）若对关于0耦合，则，且，所以，，因为，，故，．所以．（2）若对关于1耦合，则，且，所以，，故，又因为，故，故当n为奇数时，，即，所以当n为偶数时，；当n为偶数时，，即，所以当n为奇数时，．综上，．（3）由题设可知，，，且，．（ⅰ）若，则，，，，显然．（ⅱ）若，由上得，故．假设，则，，故或．①若，则，，，这与矛盾；②若，则，，这与矛盾．所以若，则，．故，可得，故．所以对于任意，，且，由于，故，，代入题设检验，各式均成立．综上，，．17分19．（17分）【解析】（1）设，则根据题意有．因为N~M，则存在点，使得：．由条件知，由得，解得，所以N的坐标为，的坐标为．故的坐标为．（2）由条件知