山西省太原市新民中学高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省太原市新民中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，.则函数的最小值为（）A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知向量⊥，|﹣|=2，定义：cλ=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若，则|cλ|的值不可能为(

) A． B． C． D．1参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，设，则B，C，D，P四点共线，在圆中画出图形，由得到两向量夹角的范围，从而求得|cλ|的范围得答案．解答： 解：∵向量⊥，|﹣|=2，∴以为邻边的平行四边形为长方形，则，又=λ+（1﹣λ），∴，则=1．设，由=λ+（1﹣λ），0≤λ≤1，可知B，C，D，P四点共线，如右图，设，∵，∴由=，得在上的投影为，∴当B、P两点重合时，=1，，当P、D重合时，θ=0．∴，θ∈（0，]，cosθ∈[，1），∴．则|cλ|的值不可能为．故选：A．点评：本题考查平面向量的几何意义，涉及到向量的加、减法运算法则，三点共线的向量表示，向量的投影等知识，注意解题方法的积累，属于难题．3.（5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．3B．2C．D．1参考答案：A【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，所以42﹣4?+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，解得||=3或||=﹣（舍），故选A．【点评】：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．4.（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：规律型．【分析】：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由?p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的充分不必要条件．解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由?p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“?p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．【点评】：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．5.已知双曲线的离心率为2，则其两条渐进线的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得c=2a，由双曲线的几何性质可得=，分析可得双曲线的渐近线方程为y=±x，由此分析可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，则有e==2，即c=2a，则b==a，即=，又由双曲线的方程，其渐近线方程为y=±x，则该双曲线的渐近线方程为y=±x，则其两条渐进线的夹角为；故选：B．6.已知随机变量服从正态分布，如果，则（

）A.0.3413 B.0.6826 C.0.1587 D.0.0794参考答案：A依题意得：，．故选A．7.函数的最小值为（

）A．

B．

C．

D．不存在参考答案：B8.函数的图像大致是参考答案：A9.定义在R上的函数满足，．当x∈时，，则的值是（

）A．－1

B．0

C．1

D．2参考答案：B10.已知偶函数f(x)=，且，则函数在区间[－2018,2018]的零点个数为（

）A.2020

B.2016

C.1010

D.1008参考答案：A依题意，当时，，对称轴为，由知，函数的周期,令得，求函数的零点个数，即求偶函数与函数图像交点个数。当时，函数与图像有4个交点，，由知，当时，函数与函数图像有2个交点，故函数的零点个数为.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点,则实数的取值范围是________.参考答案：略12.若变量x、y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为

．参考答案：﹣4【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（8，4），化目标函数z=y﹣x，得y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A（8，4）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13.已知等腰△OAB中，|OA|=|OB|=2且，那么的取值范围是．参考答案：[﹣2，4）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，将平方可得的范围，再利用数量积的定义得出的最值．【解答】解：∵=||，∴≥（），又，∴≥﹣2．又=2×2×cosA＜4，∴﹣2≤＜4．故答案为：[﹣2，4）．14.若函数的图象在点处的切线过点(2,2)，则a=______.参考答案：1【分析】求出函数的导数，求出切点坐标，得到切线方程，然后代入（2，2）得到结果即可．【详解】函数f（x）=xlnx+a，可得f′（x）=lnx+1，所以f′（1）=1，

又f（1）=a，所以切线方程为：y=x-1+a，切线经过（2，2），所以2=2-1+a，解得a=1．

故答案为1．【点睛】本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．15.已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是________.（相交或相切或相离？）参考答案：相交法一：在极坐标系中，点(4，0)和为圆直径端点，作圆C，又过两点(4，0)和作直线l，可得圆与直线相交.法二：方程②代入①得，，，在内有两解，∴直线与圆相交。法三：圆C的直角坐标方程是，即．圆心C(2，0)，半径r=2直线l的直角坐标方程为．所以圆心C到直线l的距离.16.设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________。参考答案：17.在中，若，则边上的高等于

．参考答案：由余弦定理得，即整理得，解得。所以BC边上的高为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（其中），其部分图象如图所示：（1）求函数）的解析式和单调减区间（2）若）该不等式的解集参考答案：解：（1）依题意A=1，由得T=此时函数）=又因为函数图像过点（-）则-=（）即

所以）=其中函数）的单调减区间，（）（2）依题意则不等式的解集为，（）略19.已知向量a=(,-1),b=(sin2x,cos2x),函数f(x)=a·b.(1)若f(x)=0且0<x<π,求x的值.(2)求函数f(x)的单调增区间以及函数取得最大值时,向量a与b的夹角.参考答案：略20.已知函数，.（1）恒成立的实数t的最大值；（2）设，，且满足，求证：.参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）化为分段函数，根据函数单调性即可求出函数的最小值，即可求出的值，（2）由m＞0，n＞0，且，即：，化简≥2|m+2n|，由2|m+2n|＝2（m+2n）＝2（m+2n）（）4即可证得.【详解】（1）已知函数，.由题意得，恒成立，即h（x）==2|x﹣1|﹣|x+1|＝，显然，h（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）min＝h（1）＝﹣2，∴t﹣2，即最大值=-2.（2）由于m＞0，n＞0，且，即：，=+=2（|m+1|+|2n﹣1|）≥2|m+2n|，∴2|m+2n|＝2（m+2n）＝2（m+2n）（），当且仅当，即当n＝，m＝时取“＝”，故【点睛】本题考查绝对值不等式的分类讨论，以及基本不等式求最小值的应用，注意等号成立的条件，属于中档题．21.（12分）

已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.参考答案：解析：解法一

由

得

所以

即

因为所以，从而

由知

从而.

由

即

由此得所以解法二：由

由、，所以

即

由得

所以

即

因为，所以

由从而，知B+2C=不合要求.

再由，得

所以22.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更