山东省临沂市高册乡中心中学高三数学文摸底试卷含解析

山东省临沂市高册乡中心中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，若实数使得对任意实数恒成立，则的值等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，则对任意的x∈R，f（x）+f（x-c）=1，由此得=-1，选C2.函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（）。A．

B．

C．

D．参考答案：A3.已知双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，过F2的直线与E的右支交于A，B两点，M，N分别是的中点，O为坐标原点，若是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则E的离心率是（

）A．5

B．

C.

D．参考答案：D如图所示，由题意可得：，结合是以为直角顶点的等腰直角三角形可得：，结合可得：，令,则，，在中:,整理计算可得：，在中:,即，计算可得：.本题选择D选项.

4.设集合则（A）对任意实数a，（B）对任意实数a，（2,1）（C）当且仅当a<0时,（2,1）（D）当且仅当时,（2,1）参考答案：D分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.

5.已知=，则++…+=

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D略6.已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）A．2n B．3n C．n2 D．nn参考答案：D【考点】归纳推理．【分析】根据题意，分析给出的等式，类比对x+变形，先将其变形为x+=++…++，再结合不等式的性质，可得××…××为定值，解可得答案．【解答】解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式；对于给出的等式，x+≥n+1，要先将左式x+变形为x+=++…++，在++…++中，前n个分式分母都是n，要用基本不等式，必有××…××为定值，可得a=nn，故选D．7.设若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于（A）

（B）

（C）

（D）或参考答案：B略8.设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（

）A．[－1,2]

B．(3,+∞)

C．

D．参考答案：D9.已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数为（）A．1+i B．l﹣i C．﹣l+i D．﹣l﹣i参考答案：D【考点】复数的基本概念．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数i（1+i）=i﹣1的共轭复数为﹣i﹣1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．10.设复数(i为虚数单位)，则Z的虚部是A．－1 B．1

C．－i D．i参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.,则。

参考答案：2812.函数的图象为,有如下结论:①图象关于直线对称;②图象关于点对称;③函数在区间内是增函数。其中正确的结论序号是

.(写出所有正确结论的序号).参考答案：①②③略13.不等式组，表示的平面区域的面积是

.参考答案：14.已知函数，若方程f（x）=loga（x+2）（0＜a＜1）有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为

．参考答案：

【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）与y=loga（x+2）的函数图象，根据交点个数判断函数值的大小关系，列出不等式组解出．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=f（x﹣1），∴f（x）在（0，+∞）上是周期为1的函数，做出y=f（x）与y=loga（x+2）的函数图象，则两函数图象有2个交点，∴，解得．故答案为：．15.己知函数满足，且当时，，若函数在区间上有个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：因为,所以函数得周期为,则当时，，由函数在区间上有个零点，知函数与的图象有个交点,在区间内,函数与的图象有个交点,则在区间内,当函数与相切时,方程有一个实数根,即方程有一个实数根,所以,解得,结合图象得.16.已知实数x，y满足，则的取值范围为_____．参考答案：由题不等式组表示的可行域如图阴影所示表示（x,y）与M（3,1）连线斜率,当连线过A,斜率k最小,联立得A(-1,8)，此时k=当连线过B，斜率k最大，联立得B(-1,-1),此时k=的取值范围为故答案为

17.若满足不等式组，则目标函数的最大值为

___。参考答案：答案：4

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示,的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADG；（Ⅱ）求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°．由余弦定理BD2=AD2+AB2﹣2AB?ADcos60°，，∵AB2=AD2+DB2，∴AD⊥DB，在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，DB?平面ABCD，∴GD⊥DB，又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG．（Ⅱ）解：如图以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∴A（1，0，0），，，G（0，0，1），，，，设平面AEFG的法向量，令x=1，得，z=1，∴，设直线GB和平面AEFG的夹角为θ，∴，所以直线GB与平面AEFG所成角的正弦值为．19.已知函数f（x）=为偶函数（1）求实数a的值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣，判断λ与E的关系；（3）当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求实数m，n值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】（Ⅰ）根据函数为偶函数f（﹣x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中函数f（x）的解析式，将x∈{﹣1，1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案（Ⅲ）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，x∈，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数为偶函数．∴f（﹣x）=f（x）即=∴2（a+1）x=0，∵x为非零实数，∴a+1=0，即a=﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0，}而====∴λ∈E（Ⅲ）∵＞0恒成立∴在上为增函数又∵函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，∴f（）=1﹣m2=2﹣3m，且f（）=1﹣n2=2﹣3n，又∵，m＞0，n＞0∴m＞n＞0解得m=，n=【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中利用奇偶性求出a值，进而得到函数的解析式，是解答的关键．20.(14分)已知抛物线、椭圆、双曲线都经过点M(1，2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。（Ⅰ）求这三条曲线方程；（Ⅱ）若定点P(3，0)，A为抛物线上任意一点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。参考答案：解析：（Ⅰ）设抛物线的方程为∵M(1，2)在抛物线上，∴

即p＝2∴抛物线方程为，焦点为(1，0)

………3分∵椭圆、双曲线与共焦点，且对称轴为坐标轴，分别设其方程为，∵椭圆、双曲线都经过点M(1，2)∴解得∴椭圆与双曲线的方程分别为、

………7分（Ⅱ）设为抛物线上任意一点，则又P(3，0)，以AP为直径的圆的半径圆心B为AP中点，∴B，设直线l：x＝n，则圆心B到l的距离d=则弦长u＝２＝

＝当n＝２时，u为定值，∴满足题意的直线l存在，其方程为x＝２

………14分21.某中学每年暑假举行“学科思维讲座”活动，每场讲座结束时，所有听讲者都要填写一份问卷调查.2017年暑假某一天五场讲座收到的问卷分数情况如下表：

学科语文数学英语理综文综问卷份数5006005001000400

用分层抽样的方法从这一天的所有问卷中抽取300份进行统计，结果如下表:

满意一般不满意语文70%28%2%数学80%15%5%英语72%26%2%理综65%32%3%文综80%15%5%

（1）估计这次讲座活动的总体满意率；（2）求听数学讲座的甲某的调查问卷被选中的概率；（3）若想从调查问卷被选中且填写不满意的人中再随机选出5人进行家访，求这5人中选择的是理综讲座的人数的分布列及数学期望.参考答案：（1）用样本满意率估计总体满意率（2）甲的调査问卷被选中的概率为（或)（3）不满意的问卷分别是语文1份、数学3份、英语1份、理综3份、文综2份，共10份，被选出进行家访的5人选择的是理综讲座的人数的取值为0，1，2，3；；；所以的分布列为22.设函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；(3)若方程f(x)＝c有两个不相等的实数根x1、x2，求证：f′>0.参考答案：(1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得0<x<.所以函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.……………..4分

(2)解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点则a>0，且f(x)的最小值f<0，即－a2＋4a－4aln<0.因为a>0，所以a＋4ln－4>0.令h(a)＝a＋4ln－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln－1＝ln－1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.当a>a0时，h(a)>0；当0<a<a0时，h(a)<0.所以满足条件的最小正整数a＝3……8分

(3)证明：因为x1、x2是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知a>0.不妨设0<x1<x2，则－(a－2)x1－alnx1＝c，－(a－2)x2－alnx2＝c.两式相减得－(a－2)x1－alnx1－＋(a－2)·x2＋alnx2＝0，即＋2x1－－2x2＝ax1＋alnx1