2024年初二下册数学期末考试专项复习分式方程的解法及应用（提高）知识讲解

2024年初二下册数学期末考试专项复习分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2.会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程1、（2016春•闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A．B．C． D．【答案】B．【解析】解：A、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；B、该方程属于无理方程，故本选项正确；C、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；D、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；故选B．【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．类型二、解复杂分式方程的技巧 2、解方程：．【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分，得，∴，∴，∴，或，由，解得，由，解得．经检验：，是原方程的根.【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．举一反三：【变式】解方程．【答案】解：移项得，两边同时通分得，即，因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．所以，，，，∴．检验：当时，．∴是原方程的根．类型三、分式方程的增根【高清课堂分式方程的解法及应用例3】3、（1）若分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值．【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则，即或，然后把代入由分式方程转化得的整式方程求出的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把代入解出的值.【答案与解析】解：（1）方程两边同乘，得．∴．∴．由题意知增根为或，∴或．∴或．（2）方程两边同乘，得．∴．∴．∵增根为，∴．∴．【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．举一反三：【变式】（2015•泰州校级一模）是否存在实数x，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．【答案】解：根据题意得：﹣=1+，去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4+4x+8，移项合并得：8x=﹣16，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，分式方程无解，所以不存在这样的实数x，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．类型四、分式方程的应用【高清课堂分式方程的解法及应用例3】4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围.【答案与解析】解：(1)设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设米．根据题意，得．解得．经检验，是原分式方程的解且符合题意．故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队米．由题意，得解得500≤≤700．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米．方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米．方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．所以分配方案有3种．【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力.举一反三：【变式】一慢车和一快车同时从A地到B地，A，B两地相距276公里，慢车的速度是快车速度的三分之二，结果快车比慢车早到达2小时，求快车，慢车的速度.【答案】解：设快车速度为，则慢车速度为依题意，得，去分母，得276×2＝276×3－4，所以，经检验知是原方程的解，所以，答：慢车、快车的速度分别为46、69．【巩固练习】一.选择题1．下列关于的方程中，是分式方程的是（）A． B．C． D．2．若分式方程的解为则等于（）A． B．5 C． D．－53.（2016•潍坊）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（）A． B．且C． D．且4．若关于的方程有增根，则的值是（）A．3 B．2C．1 D．－15．将公式（均不为零，且）变形成求的式子，正确的是（）A． B．C． D．6．若关于的方程有正数解，则()．A.＞0且≠3 B.＜6且≠3C.＜0 D.＞6二.填空题7．当＝______时，方程的解为1．8．（2016春•宜宾期末）已知分式方程有增根，则的值为．9．关于的方程的解为______．10．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为千米/时，则它以最大航速顺流航行千米所需的时间是______．11．某人上山，下山的路程都是，上山速度，下山速度，则这个人上山和下山的平均速度是______．12．若一个分数的分子、分母同时加1，得；若分子、分母同时减2，则得，这个分数是______．三.解答题13.已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围．14.甲工人工作效率是乙工人工作效率的倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件?15.（2015•沈阳）高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km，高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h，求高速铁路列车的平均速度．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.2.【答案】B；【解析】原式化简为，将代入解得.3.【答案】B；【解析】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，解得：∵方程的解为正数，∴﹣2m+9＞0，即：，当x=3时，，解得：，故m的取值范围是：且．4.【答案】B【解析】将代入，解得.5.【答案】A；【解析】，所以.6.【答案】B【解析】原方程化简为，，，解得＜6且≠3.二.填空题7.【答案】；【解析】将代入，解得.8.【答案】-0.6；【解析】解：去分母得：x+x﹣3=﹣5m，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：3+3﹣3=﹣5m，解得：m=﹣0.6，，9.【答案】；【解析】原方程化简为，所以.10.【答案】；11.【答案】；【解析】由题意上山和下山的平均速度为：.12.【答案】；【解析】设这个分数为，，，解之得：，所以这个分数是.三.解答题13.【解析】解：方程两边同乘约去分母，得．整理，得．∵∴解得且，∴当且时，原方程有一个正数解．14.【解析】解：设乙工人每小时加工个零件，甲工人每小时加工个零件，由题意，得：整理得，，解得.经检验，是原方程的根..答：甲工人每小时加工125个零件，乙工人每小时加工50个零件.15【解析】解：设高速铁路列车的平均速度为xkm/h，根据题意，得：，去分母，得：690×3=690+4.6x，解这个方程，得：x=300，经检验，x=300是原分式方程的解，答：高速铁路列车的平均速度为300km/h．矩形（基础）【学习目标】1.理解矩形的概念.2.掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）知识要点】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质 1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）例7】【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定 2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.（2）四边形AECF是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形.∵CA＝CB，E是AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形.【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.举一反三：【变式】（2016·黄冈二模）在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF.（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若DE=BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论.【答案】（1）证明：∵CE∥BF∴∠CED=∠BFD，∵D是BC边的中点∴BD=DC．∴在△BDF与△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（AAS）；（2）四边形BFCE为矩形．证明：∵△BDF≌△CDE，∴DE=DF，又∵BD=DC，∴四边形BFCE是平行四边形，∵BD=DC，DE=BC,∴BD=DC=ED，∴∠BEC=90°，∴平行四边形BFCE为矩形．3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】(1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，

∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，

∵点E为AC的中点，

∴DE＝CE＝AC＝5，

∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】解：连接OP．∵四边形ABCD是平行四边形．∴AO＝CO，BO＝DO，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴OP＝AC，OP＝BD，∴AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．【巩固练习】一.选择题1.下列关于矩形的说法中正确的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分2.矩形一个角的平分线分矩形一边为1和3两部分，则它的面积为（）A.3B.4C.12D.4或123.（2016春•青浦区期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，联结ED，EC，AC，添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是（）A．AC=CDB．AB=ADC．AD=AED．BC=CE4.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是()A.85°B.90°C.95°D.100°5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝()A.2 B.3C.D.6.矩形的面积为120，周长为46，则它的对角线长为（）A.15B.16C.17D.18二.填空题7．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°.8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．9.如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线AC长为________．10.（2016·黄冈）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，DC=3DE=，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=_______.11.（2015•南漳县模拟）矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为．12.如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________.三.解答题13．（2015•铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？

14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；2.【答案】D；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.3.【答案】D；【解析】添加一个条件BC=CE.理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，∵AE=AB，∴AE∥CD且AE=CD，∴四边形DEAC为平行四边形，∵BC=EC，AE=AB，∴∠EAC=90°，∴平行四边形ACDE是矩形.4.【答案】B；【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°.5．【答案】C；【解析】过点C做BE垂线，垂足为F，易证△BAE≌△CBF，所以BF＝AE，BE＝CF，所以总面积＝AE×BE＋CF×EF＝AE×BE＋BE×（BE－AE）＝，.6.【答案】C；【解析】设边长为，则解得，所以对角线为.二.填空题7．【答案】60°；【解析】AD＝A1D＝2CD，所以∠CA1D＝30°，∠EA1B＝60°.8.【答案】；【解析】设AE＝CE＝，DE＝，，.9.【答案】8；【解析】由矩形的性质可知△AOB是等边三角形，∴AC＝2AO＝