2020-2021学年高中数学新教材第一册教案：5.6 函数 y=Asin cox+(p )的图像

第五章三角的教

5.6的敷y=Asin(cox+(p)的图像

教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书教学必修1》5.6.2

节法教y=Asin(3x+。)的图象

通过图象变换，揭示参数。、3、A变化时对函教图象的形状

和住置的影响。通过引导学生对函数y=sinx到y=Asin(wx+

0)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊

到一般的化归思想；并通过对周期变换、相核变换先后顺序调

整后,将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的

主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数。、3、A的

分类讨论，让学生深刻认识图象变换与改数解析式变换的内在

联系。通过图象变换和“五点”作图法，正确找出函数y=sinx

到y=Asin(x+(J)J的图象变换规律，这也是本节课的重点所

在。提高学生的推理能力。让学生感受教形结合及转化的思想

方法。发畏学生教学直观、教学抽象、变辑推理、教学建模的

核心素养。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

lo借助讨算机画出函教a.教学抽象:三个参数对舀

y=Asin(cox+<j)J的图教图像变化的影响；

象，观察参数中，3,A

bo近卷推理：由特殊到一

对法教图象变化的影响；

2.引导学生认识y=般的归纳推理；

Asin（cox+（J）J的图象C.教学运算:运用规律解决

的五个关键点，学会用

问题；

“五点法”画法教y=

d.直观想象：由函教图像归

Asin（3x+。）的简图；用

准确的教学语言描述不纳规律；

同的变换过程。eo教学建模：运用规律解

3.体会教形结合以及从决问题;

特殊到一般的化归思想;

培养学生从不同角度分

折问题，解决问题的能

力O

教学重难点

教学重点：重点：将考察参教A、3、。对函数y二Asin（3x+

。）图象的影响的问题进行分解，找出函教y=sinx到y=

Asin（wx+（［）J的图象变换规律。学习如何将一个复杂问题

分解为若干简单问题的方法会用五点作图法正确后函教y

=Asin（cox+<j）J的简图.

教学难点：：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量

也不同的理解.

课前准备

多媒体

教学过程

教学过程设讨意

图

核心教

学素养

口标

(-)创设问题情境

提出问题

通过开

上面我们利用三角函教的知识建立

门见山,

了一个形如y二Asin(cox+cpJ其中(A

提出问

>0,3>0)的函教,显然，这

题，利用

个函教由参数A,CD,(P所确定.因图像变

此，只要了解这些参数的意义，知道换观察

它们的变化对舀教图象的影响，就能杷参数对

握这个法教的性质,从解析式看，函

函数图

教y=cosx就是函数y=4sin(刃工+夕)，左A

像的影

二7,①=7,9=0时的特殊情形.响问题,

(1)能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图培养和

象与性质研究参教A,3,9对法教

发展教

y=Asin(69%+(p)的影响?学抽象、

(2)函数y=Asin(cox+夕)含有三个参直观想

教，你认为应按怎样的思路进行研究。象的核

lo探奈9对？=$111+图象的心素养.

影响

为了更加直观地观察参数9对函

教图象的影响，下面借助信息技术做一

个教学实验.如图5。6。4,取A=7,

3二7,动点M在单位圆°】上以单位

角速度按逆时针方向运动,图5。6.4

如枭动点、M以0°为起点（此时夕=

0J,经过xs后运动到点P,那么

点、P的纵坐标y就等于sinx、以（工,

y）为坐标描点，可得正弦函教y=sinx

的图象.

尸sin（x+含）

图5.6-4

在单枚圆上拖动起点Q。，使点Q。绕点

Q1旋转2到Q1，你发现图象有什么变

化?如枭使点Q。绕点Q1旋转一”；-

或者旋转一个任意角夕呢

当起点住于Qi时，（P-l,可得及教

y=sin（x+的图象,进一步，在单

住圆上，设两个动点分别以Qo,Qi为超

点同时开始运动.如枭以Q。为起点的动

点到达圆周上点P的时间为XS,那么

以Q1为起点的动点相继到达点P的时间

是（%—9s.这个规律反映在图象上

就是：如枭F（x,y）是法教y二

sinx图象上的一点，那么G（x-9y）

就是函数y=sin（x*）图象上的点，如

图5.6-4所示.这说明，把正弦曲线

y=sinx上的所有点向左平移％个单住长

度，就得到y=sin（x+弓）的图象、

分别说一'说旋转—？，g,—。时的情

况、

产sin（x+.）

图5.6-4

一般地，当动点、M的起点住置

Q所对应的角为夕时，对应的函数是y

二sin（x+9）（（p丰°），把正弦曲线上的

所有点向左（当夕>。时）或向右

（当夕V。时）平移⑷个单枚长

度，就得到函数y=sin（x+夕）的图象.

2O探奈co（（f）>0）对y=sin

fa）x+（p）图象的影响下面，仍然通

过教学实验来探索.如图5。6o5,取

圆的半径A=L为了研究方便，不妨令

(P=/当3=7时得到y=sin(%+9

的图象.

取①二2,图象有什么变化?

取3二号呢？取3=3,CD=|,图

象又有什么变化?当3取任意正教呢？

取3=2时，得到改教y=

sin(2x+9的图象,进一步，在单住圆

上,设以Qi为起点的动点，当①二7

时到达点P的时间为％1s,当3=2

时到达点P的时间为小s,因为①二

2时动点的转速是①=/时的2

僖，所以%2=.这样，设G(x,y)

是法教y=sin(x+p图象上的一点，那

么KQ%,y)就是法教y=sinf2x+=)

图象上的相应点，如图5.6-5示、这

说明，把y=sin(x+弓)的图象上所有

点的横坐标缩短到原来的［僖(纨生林通过

不变)，就得到y=sin(2x+^)的图对典型

象,y=sin(2x+^)的周期为兀，是＞二问题的

sin(x+9的周期的、分析解

决，发畏

学生教

学建模、

近科推

理，直观

同理，当3个时，动点的转

想象、教

速是3二7时的冷，以Qi为起点，

学抽象、

到达点P的时间是3=/时的2

教学运

僖.这样，杷y=sin（%+9图象上

算等核

所有点的横生标犷大到原来的2售

心素养；

（纨圭林不变J,就得到y=sin（|x+

的图象.y=sin（挑+"的周期为4兀，是

y=sin（x+^）的周期的2僖.

一般地，函教的周期抬，把y

=sin（x+cp）图象上所有点的横坐标缩

短（当①>7时）或伸长（当。

<CD</时）到原来的！售（纨生林

不变），就得到的图象.

3o探亲A，A>。）对y=sin

（cox+（p）图象的影响

下面通过教学实验探索A对法教图

象的影响、为了研究方便，不妨令3

二2,（p屋,当A=7时，如图5.6.6,可

得y=sin（2X+£）的图象.

改变A的取值，使A取2,》3,

膏,你发现图象有什么变化？当A取

任意正教呢?

当A=2时，得到法教y=2sin(2x+^J

的图象.

进~步，设射线。&与以。1为圆心、2

为半径的圆交于「一如果单枝圆上以。］

为起点的动点，以3二2的转速经过

XS到达圆周上点P,那么点P的纨生

标是2sin(2x+。；相应地，点、Ti在以％

为圆心、2为半径的圆上运动到点

点的纨坐标是这

T,T2sin(2x+=6J.

样，设K(x,y)是函数y=sin(2x+》

图象上的一点，那么点、N(xy2y)

就是法教图象y=2sin(2x+》上的相应

点，如图5.6.6所示,这说明，杷

y=sin(2x+9图象上所有点的纨坐标伸

长到原来的2僖r横坐标不变)，就

得到y=2sin(2x+Q的图象,同理，杷

y=sin（2x+"图象上所有点的纵生林缩短

到原来的3售（横坐标不变）,就得到

y=jsin（2x+~的图象、

一般地,法教y=Asin（s+夕）

的图象，可以看作是把y二Asin（69%+夕）

图象上所有点的纨坐标伸长（当A>

/时）或缩短（当0<A</时）

到原来的A售（横生林不变）而得

到,从而，函教y=Asin（Gx+夕）的

值域是f-A,AJ,最大值是A,最

小值是-A

你能总结一下从正弦法教图象出

发，通过图象变换得到y=Asin（cox+（p）

（A>0,3>0）图象的过程与方

法吗?

一般地,法教y=Asin（s+夕）（A

>0,CD>0）的图象，可以用下面

的方法得到：先画出函数y=sinx的图

象；再杷正弦曲线向左（或右）平移I矶

个单住长度，得到收教〉=sin（x+夕）的

图象；然后把曲线上各点的横坐标变为

原来的5借（纨生林不变），得到的教

y=sin（69X+cp）的图象；最后把曲线上

各点的纵生林变为原来的A僖（横生

标不变），这时的曲线就是函教y二

Asin（69%+9）的图象.

规律总结：

先平移后伸缩的步骤程序如下：

向左（8>0）或向右（.CO）,

y=sinx的图象平移⑷个单位长度得

y=sin（x+（［））的图象

横坐标伸长或缩短（G>1）,

到原来L（纵坐标不变），口.，，I、

切得y=sin（3x+巾）

的图象

纵坐标伸长（4>1）或缩短（0<力<1））

为原来的阳（横坐标不变）得y=Asin（wx+（j）J

的图象O

先伸缩后平移（提醒学生尽量先平移）,

但要注意第三步的平移。

纵坐标伸长（4>1）或缩短（。<4<1））

y=sinx的图象这原来的4倍（横坐标不变）得

y=Asinx的图象

横坐标伸长（。吠<1）或缩短（G>1）>

到原来的L（纵坐标不变）A•，、

g何y=Asin（cox）

的图象

向左3>o）或缩短3>1）

平移四个单位।,、以

s得y=Asin（3x+巾）的

图象。

典例解析

例/画出函教y=jsin(3x—的简

图.

解：先画出法教产sinx的图象；再把正

弦曲线向右平移珊个单住长度，得到函

教的图象；然后使曲线上各点的横生林

变为原来的|4,得到改数的图象；

最后把曲线上各点的纨坐标变为原来的

2僖,这时的曲线就是函数y三sin(3x-

D的图象，如图5。6。7所示.

6

图5.6-7

下面用"五点法"画函数y=：sin(3x—

T在一个周期(T=争)内的图象.令X=

3x—处1x=-（X+

63

T列表（表5.6.1J,

描点画图（图5.6.8）

表5.61

n3n

X07nT2n

2n7n5n13n

X

18~9187?

y020-20

例2摩天轮是一种大型转轮状的机械

建筑设施,游家坐在摩天轮的座舱里慢

慢地往上转，可

以从高处俯瞰四

周景色.如图

5.6o9,其摩天

蛤最高点距离地

面高度为120

图5.6-9

m,转盘直径为

110m,设置有48个座舱，开启后接

逆时针方向匀速旋转,游家在座舱转到

距离地面最近的核置进舱，转一周大约

需要30in.

(1)游家甲生上厚天轮的座舱，开

始转动tmin后距离地面的高度为H

m,求在转动~周的过程中，H关于t

的法教解析式；

(2J求游家甲在开始转动5min后

距离地面的高度；

(3)若甲、乙两人分别生在两个

相邻的座舱里，在运行一周的过程中，

求两人距离地面的高度差h(单住：

m)关于t的函教解析式，并求高度

差的最大值(精确到0.7)

分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地

看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旅

转过程中，游家距离地面的高度犁呈

现周而复始的变化，因此可以考虑用三

角函数来刻画.

解：如图5.6.10,设座舱距离地面最近

的住置为点P,

以轴心O为原点，与地面平行的直线

为久轴建立直角坐标系.

(])7殳t=0min,

游客甲优于点pco,

—55J,以0P为终边

的角为一“根据摩天

轮转一周大约需要

30min,可知座舱转动的角速度约为专兀

rad/min,由题意可得H=55sin(凯契

+65,0<t<30,

(2J当t=5时，H=55sin(^xs—

三2)"+65=37。5

所以，游家甲在开始转动5min后距离

地面的高度约为37.5m、

(3)如图5.6.10,甲、乙两人的

住置分别用点A,B表示，则ZAOB

二葛二盘、经过后甲跖离地面的高度

为％=55sin（某—》+65,点、B相对于

点A始终落后Jrad,此时乙距离地面

的高度为%=55sin（各一翳）+65,则甲、

乙距离地面的高度差九=%-

“2尸55卜in（白一“-sin（白一詈）尸55卜in（会“

+sin（署-自），羽1用sin。+sin?=2s讥与qos与4可彳导

/i=110|sin^sin（^/-^）,0<t<30,当白七弓（或

371）

即」7。8r或22.8J时，h的最大

值为sin—~7O、

110482

所以，甲、乙两人距离地面的高度差

的最大值约为7.2m.

三、当堂达标

1.函教y=3sin错误!的振幅和周期分别为通过练

习巩固

（）

本节所

A,3,4B、3,错误！Co错误!，4

学知识，

Do错误!，3巩固对

【解析】由于法数y=3sin错误!，二振幅三角函

是3,周期T=错误!=4.教图像

变换规

【答去】A律的理

2、将函数y=sin错误!的图象上所有点的横解，增强

学生的

生林伸长到原来的2僖（纵生标不变），再

直观想

将所得图象向左平移错误!个单佳，则所得

象、教学

函教图象对应的解析式为（）

抽象、教

A.y二sin错误！B.y=sin错误！C.y=sin学运算、

错误氏D、y=sin错误！近辑推

理的核

【解析】函教y=sin错误!的图象上所有

心素养.

点的横生林伸长到原来的

2售，得y=sin错误!的图象，再将此图象

向左平移错误!个单住，

得y=sin错误!=sin错误!的图象，选D.

【答案】D

3.已知收教〉=Asin（cyx+夕）（A>0,①）

0）的最大值是3,最小正周期是错误!，初相

戏,则这个函数的表达式是（）

A.y=3sin错误！B,y=3sin错误！

C.y=3sin错误！D,y=3sin错误！

【解析】由已知得A=3,T=错误!，?二

兀271rc.

不，g=下二7,所以y=3sm错误!。

【答案】B

4.法教y=2sin错误!图象的一条对称轴是

_____.