10分析动力学9Kane方法(课堂)

2Page1清华大学航天航空学院王天舒（tswang@）分析动力学之

Kane方程2Page2本节内容建立动力学方程的方法：牛顿欧拉方法：方程简单，但需考虑约束力是否有类似于牛顿方法的最少变量方法？第二类拉氏方程：不考虑约束力，只用到速度，要求导第一类拉氏方程：可处理非完整约束，引入代数方程Apell方程：引入伪速度，需计算加速度如何取得最少变量：笛卡尔坐标广义坐标广义速度伪速度如何建立方程2Page3偏速度：质点系由N个质点组成的系统，有f=3N-r-s个自由度，广义速度：伪速度：广义速率偏速度广义速率本质上为伪速度，标量偏速度的作用是赋予广义速率以方向性，矢量。伪速度可以看成是真实速度在偏速度上的投影。2Page4质点系的Kane方程质点速度的变分可以表示为：虚功率原理：定义广义主动力：定义广义惯性力：Kane方程：各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为0将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。2Page5牛顿方法虚功率原理变量(坐标)：基本方程：Kane方法独立变量(伪速度)基本方程：消去约束力，减少变量数速度变分不一定独立其中：方程是否仅含有广义速率而不包含广义坐标？质点系Kane方程的基本思路2Page6例1：质点系的Kane方程广义速率：质点的速度为：偏速度：主动力：广义主动力：2Page7惯性力：广义惯性力：例1：质点系的Kane方程2Page8例1：质点系的Kane方程2Page9偏速度：刚体设刚体B上的P1,P2,…,PN点处分别作用有主动力F1,F2,…,FN。取刚体的上的O点为基点，取伪速度为u1,u2,…,uf。设刚体基点O的速度、角速度与伪速度的关系是：偏角速度偏速度刚体上的任意一点P的速度为P点的偏速度为刚体上任一点的偏速度可以表示为基点的偏速度的函数2Page10广义主动力为:利用体积公式F是外力的主矢量Lo是外力的主矩刚体的广义主动力2Page11刚体的广义惯性力广义惯性力为:令2Page12刚体的广义惯性力2Page13刚体的广义惯性力2Page14广义惯性力为：当O与质心C重合时，因此Kane方程为：为了与广义主动力形式一样广义惯性力写为刚体的Kane方程2Page15牛顿欧拉方法变量(坐标)：基本方程：随体坐标系原点取在质心上：虚功率原理Kane方法独立变量(伪速度)Kane方法的解题步骤：广义坐标伪速度加速度广义力刚体Kane方程的基本思路2Page16例2：刚体定点转动解：设OXYZ为参考坐标系，oxyz为固连的主轴坐标系。设外力对O点的力矩为LO。oxyzXYZ以欧拉角为广义坐标。设转动惯量矩阵为刚体的角速度：伪速度选为：（这样选伪速度保证了广义速度的反解存在）角速度用伪速度表示为：因此，可以“看出”偏角速度为：2Page17刚体的角加速度：在动系oxyz中求导：角加速度用广义速度表示会复杂得多：角加速度在动系和惯性系中是一样的。根据定义，广义主动力为：由于因此例2：刚体定点转动2Page18例2：刚体定点转动广义惯性力为：以r＝1为例进行计算：因此得到类似求出代入Kane方程，得到这正是描述刚体运动的欧拉方程2Page19为什么会这样？这的确是欧拉动力学方程。这可作为特例检验Kane方程是否正确。向i,j,k方向投影如果一个矢量向i,j,k方向投影都为零，则该矢量为零。例2：刚体定点转动2Page20例3：非完整系统两自由度系统定义广义速率：质心的速度：角速度：偏速度和偏角速度：质心的加速度：角加速度：OxyvA

CAe1e22Page21外力垂直于伪速度：OxyvA

CAe1e2广义惯性力：系统方程：或：例3：非完整系统2Page22例4：复杂平面问题q1q2q3q4e1e2OijCP圆盘在平面上运动，质量为M，对质心的转动惯量为JC。其上有光滑小槽，一小球通过弹簧可作相对直线运动。小球质量为m，弹簧系数为k，原长为l0。为方便设圆盘质心C在小槽中。试建立系统运动微分方程。解：建立坐标系。选广义坐标q1,q2,q3,q4。运动分析2Page23例4：复杂平面问题q1q2q3q4e1e2OijCP选伪速度反解存在则求偏速度2Page24例4：复杂平面问题设系统所受力、力矩为：弹簧力是内力，如何处理？广义主动力为：q1q2q3q4e1e2OijCP2Page25例4：复杂平面问题广义惯性力力为：q1q2q3q4e1e2OijCP2Page26例4：复杂平面问题如何检验方程是否正确？首先对方程进行量纲检查。e1方向动量定理动量矩定理相对运动方程e2方向动量定理q1q2q3q4e1e2OijCP其次考察方程的物理意义。2Page27例4：复杂平面问题质心运动定理非惯性系中的相对运动方程达朗贝尔原理等价2Page28例4：复杂平面问题q1q2q3q4Oe1e2ijCPmap2map1P点惯性力对C点的力矩圆盘对C点的惯性力矩2Page29例4：复杂平面问题根据方程的物理意义，可能容易发现（用红色表示的）错误（1）以系统为研究对象时，弹簧力k(q4-l0)是内力，在动量定理中不应出现。（2）在e2方向上应用动量定理，运动及外力均沿坐标正方向。（3）P点惯性力对C点取矩时，不应出现径向分量。（4）研究P点相对运动时，弹簧力是外力要出现。2Page30例4：复杂平面问题退化检查。第1种情况，假设圆盘不动，只有小球相对运动主动力作用在圆盘上，但怎样才能使圆盘不动呢？这正是希望得到的结果。但这是什么意思？2Page31例4：复杂平面问题第2种情况，假设圆盘作定轴转动，小球相对不动这正是希望得到的结果。质心运动的简单情况与第1式不协调？小球如何才能“相对不动”？或者是去掉弹簧，但在小球上作用一个力F1；或者不去掉弹簧，但k为无穷大且弹簧在原长位置。2Page32例4：复杂平面问题

当然还可以有其它可能的退化情况。在退化的情况下，某个方程应该是我们事先所期望的结果，