信号与系统 (第三版) 全套课件（上）

西安电子科技大学出版社信号与系统(第三版)张小虹

编著胡建萍

主审高等学校信息工程类“十二五”规划教材第一章

信号与系统第二章

连续时间信号和系统的时域分析第三章 连续时间信号和系统的频域表示与分析第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析第五章 离散时间系统的时域分析第六章

Z

变换及其应用目

录第一章 信号与系统信号与系统概述信号及其分类典型信号连续信号的运算连续信号的分解系统及其响应系统的分类LTI系统分析方法基于MATL

AB的信号描述及其运算1.1

信号系统概述现代社会的人们每天都会与各种各样载有信息的信号密切接触。例如,听广播、看电视是接收带有信息的消息；发短信、打电话是为了把带有信息的消息借助一定形式的信号传送出去。信号是各类消息的运载工具，是某种变化的物理量，如电话铃声，交通红绿灯，收音机、电视机、手机收到的电磁波等，并称之为声信号、光信号、电信号。不同的声、光、电信号都包含有一定的意义，这些意义统称为信息，消息中有意义或实质性的内容可用信息量度量。在自然科学，社会等诸多领域中，系统的概念与方法被广泛应用。系统泛指由若干相互作用，相互关联的事物组合而成的，具有特定功能的整体。通信、控制系统是信息科学与技术领域的重要组成部分，它们还可以组合成更复杂的系统。本书所研究的是信号通过系统进行传输、处理的基本理论和基本分析方法，通常可由图1.1－1所示的方框图表示。其中f(▲)是系统的输入（激励），y(▲)是系统的输出（响应），h(▲)是系统特性的一种描述。“▲”是信号的自变量，可以是连续变量t，也可以是离散变量n。图1.1-1信号与系统分析框图图1.1－1所示信号与系统分析框图中，有激励、系统特性、响应三个变量。描述它们的有时域、频域、复频域三种方法。研究各变量的不同描述方法之间的转换关系以及三个变量之间的关系（已知其中两个求解出第三个），是“信号与系统”课程研究的主要问题。因为存在连续与离散两类不同的信号的描述，所以有连续与离散两类不同的传输、处理系统。本书采用先连续信号与系统分析，后离散信号与系统分析的顺序编排。1.2

信号及其分类人们用来传递信息的信号主要是电信号。电信号有许多众所周知的优点，传播速度快、传播方式多:有线、无线、微波、卫星等。日常许多非电的物理量如压力、流速、声音、图像等都可以利用转换器变换为电信号进行处理、传输。本书讨论的电信号，一般是指随时间变化的电压或电流，有时

也可以是电荷或磁通。为了对信号进行处理或传输，要对信号的特性进行分析研究。这既可以从信号随时间变化的快、慢、延时来分析信号时间特性也可以从信号所包含的主要频率分量的振幅大小、相位的变化来分析信号的频率特性。当然，不同的信号具有不同的时间特性与频率特性。信号随时间变化的关系，可以用数学上的时间函数来表示，所以有时亦称信号为函数f(t)，离散信号为序列x(n)。因此本书中信号与函数、序列这几个名词通用。信号的函数关系可以用数学表达式、波形图、数据表等表示，其中数学表达式、波形图是最常用的表示形式。1.确定性信号与随机信号信号可以用确定的时间函数来表示的，是确定性信号，也称规则信号。如正弦信号、单脉冲信号、直流信号等。信号不能用确定的时间函数来表示，只知其统计特性，如在某时刻取某值的概率的，则是随机信号。从常识上讲，确定性信号不包括有用的或新的信息。但确定性信号作为理想化模型，其基本理论与分析方法是研究随机信号的基础，在此基础上根据统计特性可进一步研究随机信号。本书只涉及确定性信号。2．周期信号与非周期信号周期信号是依一定的时间间隔周而复始、无始无终的信号一般表示为f(t)=f(t+nT)

n=0,

±1,

...

（1.2-1）其中T为最小重复时间间隔，也称周期。不满足式（1.2-1）这一关系的信号为非周期信号。如果若干周期信号的周期具有公倍数，则它们叠加后仍为周期信号,叠加信号的周期是所有周期的最小公倍数；其频率为周期的倒数。只有两项叠加时，若T1、T2与ω1、ω2分别是两个周期信号的周期与角频率，叠加后信号的角频率、周期的计算为,

T

=

N1T1

=

N2T2T2

T1T1

=

T21N1

N2ω

=

ω20,ω

=（1.2-2a）号的角频率、周期的计算为1

20

0

0n其中N1、N2为不N可1

约的正整N数2

。若是大于N两n项叠加时，信NNNω

=

,ω

=

,,ω

=

,00N（1.2-2b）T=

N1T1=N2T2＝N3T3=

NnTn其中，N1,N2,⋯,Nn为正整数。若N1,N2,⋯,Nn无公因子，则ω

=

1若有公因子N，

则00Nω

=

N（1.2-2c）例1.2-1判断下列信号是否为周期信号，若是，求出其周期e1(t)=a

sin5t+b

cos8t；e2(t)=3

cos1.2t-5

sin5.6t。解(1)方法一：ω1

=

5ω2

8为有理数，且无公因子，所以，2π0ω

=

5

=

8

=

1,

T

=

=

2π0

5

8

ω方法二：01Tω

=

2π=

15T1

=

8T2

=

2π=

T2πT

=

2π

T

=5

,

2

8(2)方法一：3

14

ω00ω

=

1.2

=

5.6

=

0.4,

T

=

2π=

5πω1

=

1.2

=

3

=

N1ω2

5.6

14

N2方法二：1.2

5.6211

2=14T,3T2π

2ω0

=

T

=

5

=

0.4=

5π=

TT

=

2π=,

T

=

2π3．连续时间信号与离散时间信号按函数的独立变量(自变量)取值的连续与否，可将信号分连续信号与离散信号。本书默认独立变量(自变量)为时间，实工程中可为非时间变量。连续时间信号在所讨论的时间内，对任意时间值(除有限连续点外)都可以给出确定的函数值。连续时间信号的幅值可是连续的（也称模拟信号），也可以是离散的(只取某些规定如图1.2-1所示。图1.2-1连续时间信号离散信号亦称序列，其自变量n是离散的，通常为整数。若是时间信号（可为非时间信号），它只在某些不连续的、规定的瞬时给出确定的函数值，其它时间没有定义，其幅值可以是连续的也可以是离散的，如图1.2-2所示。图1.2-2离散时间信号图1.2-2中,1n=藝1.1

2

n

=

0,2

0 n为其它

1

藝1

n

=

藝2,3x

(n)

=

0

n

>

0n

<

0x2

(n)

=

e藝a

nx1(n)还可简写为x1(n)=［-1

1

2

1

2

-1］式中小箭头标明n=0的位置。4．能量信号与功率信号为了了解信号能量或功率特性，常常研究信号f(t)（电压或电流）在单位电阻上消耗的能量或功率。在(-T/2~T/2)区间信号的平均功率P为T

/

2f

2

(t)dtP

=

1T

藝T/2（1.2-3）在(-∞,∞)区间信号的能量E为（1.2-4）藝∞∞E

=

f

2

(t)dt

如果信号f(t)的能量有界，即0<E<∞，而平均功率P=0，则它就是能量信号，例如单脉冲信号。如果信号f(t)的平均功率有界，即0<P<∞，而能量E趋于无穷大，那么它就是功率信号，例如周期正弦信号。如果有信号能量E趋于无穷大，且功率P趋于无穷大，就是非能量非功率信号，例如e-at信号。也就是说，按能量信号与功率信号分类并不能包括所有信号。5.因果信号与非因果信号按信号所存在的时间范围，可以把信号分为因果信号与非因果信号。当t<0时，连续信号f(t)=0，信号f(t)是因果信号，反之为非因果信号；当n<0时，离散信号x(n)=0，则信号x(n)是因果信号，反之为非因果信号。1.3.1常用连续信号1.实指数信号实指数信号如图1.3-1所示，其函数表达式为f(t)=Aea

t

（1.3-1）式中，a>0时,f(t)随时间增长;a<0时,f(t)随时间衰减;

a=0时,f(t)不变。常数k表示t=0时的初始值;|a

|的大小反映信号随时间增、减的速率。1.3

典型信号通常还定义时间常数τ=1/|a

|，τ越小，指数函数增长实际上遇到的多是τ藝或衰减的速率越快，如

图0

1.3-1所t示<。0如图1.3-2所示的f(单t)边=指

数信号，其表示式为

t

Ee

t

≥0（1.3-2）特别地，若f(0)=A，当t=τ时et

=τ

Af

(τ)

|t

=τ=

f

(t)

=

=

0.368

A即经过时间τ后，信号衰减为初始值的36.8%。图1.3-1实指数信号图1.3-2单边指数信号2.正弦信号正弦信号也包括余弦信号，因为两者只在相位上相差π/2，一般正弦信号表示为f(t)=k

sin(ωt+θ)（1.3-3）其中，k是振幅、ω是角频率、θ是初相。周期T

=

2π=

1ω

f是频率f的倒数。正弦信号如图1.3-3所示。正弦信号如图1.3-3所示。实际工作中通常遇到的是衰减正弦信号，即包络按指数规率变化的振荡信号，如图1.3-4所示。

0f

(t)

=

ke藝a

t

sinωt

t

>

0t

<

0（1.3-4）(a>0)图1.3-3正弦信号图1.3-4单边衰减振荡信号3.复指数信号f(t)=Aest

（1.3-5）其中,s=σ+jω为复数，σ为实部系数，ω为虚部系数。借用欧拉公式：Aest=Ae(σ+jω)t=Aeσt

e

jωt=Aeσt

cosωt+jAeσt

sinωt（1.3-6）复指数信号可分解为实部与虚部。实部为振幅随时间变化的余弦函数，虚部为振幅随时间变化的正弦函数。可分别用波形画出实部、虚部变化的情况。σ表示了正、余弦信号振幅随时间变化的情况；ω是正、余弦信号的角频率。特别地,当σ>0时，正、余弦信号是增幅振荡；当

σ<0时，正、余弦信号是减幅振荡；当σ=0时，正、余弦信号是等幅振荡。当ω=0时，f(t)为一般指数信号；当σ=0，ω=0时f(t)为直流信号。虽然实际上没有复指数信号，但它概括了多种情况，因此也是一种重要的基本信号。还可以借用欧拉公式将正、余弦信号表示为复指数形式，即j2cos

ωt=

1

(e

jωt

+e藝jωt

)j2sinωt=

1

(e

jωt

藝e藝jωt

)（1.3-7）（1.3-8）4.Sa(t)信号(抽样信号)tSa(t)信号定义为f(t)=Sa(t)=sint（1.3-9）不难证明，Sa(t)信号是偶函数，当t→±∞时，振幅衰减，且f(±nπ)=0，其中n为整数。Sa(t)信号还有以下性质atSa(at)

=

sinat（1.3-12）Sa(at)波形如图1.3-6所示。2∞Sa

(t)dt

=

π

0（1.3-10）（1.3-11）实际遇到的多为S

a∞(a

t)信号，表达式为

藝∞Sa(t)dt=πSa(t)信号如图1.3-5所示。图1.3-5

Sa(t)信号图1.3-6Sa(at)信号1.3.2

阶跃信号与冲激信号定义

t

>

0

1

t

<

01.单位阶跃信号uu((tt))=

0（1.3-13）单位阶跃信号u(t)如图1.3-7(a)所示。利用单位阶跃信号u(t)可以很方便地用数学函数来描述信号的接入（开关）特性或因果（单边）特性。

0

t

<

0f

(t)u(t)

=

f

(t)

t

>

0（1.3-14）图1.3－7单位阶跃信号u(t)和阶跃信号u(t-t0)例1.3-1用阶跃信号表示如图1.3-8所示的单边正弦信号。解1t

<

0f

(t)

=

0=sinωt匭u(t)

sinωt

t

>

0图1.3-8单边正弦信号2.单位冲激函数δ(t)

我们可以在用理想元件组成的电路中引入冲激的概念。如图1.3-9所示电路，当t=0时，开关K由a→b，电容器上的电压的波形如图1.3-10所示，即vC(t)=Eu(t)。图1.3-9理想电路图1.3-10vC(t)由电容器上电压与电流的关系，我们可以得到电容电流表示为CCdtdυi

(t)

=

C当t>0或t<0时，不难得到流过电容器的电流iC(t)为零。而在t=0时，电容器电压vC(t)突变为E，我们知道这时的

电流一定不为零。可以认为在t=0瞬间，有一无穷大的电

流流过电容器，将电荷转移到电容器上，完成了对电容

器的充电，使得电容电压在这一时刻发生了跳变。这种

电流持续时间为零，电流幅度为无穷大，但电流的时间

积分有限的物理现象可以用冲激函数δ(t)来描述。由对矩形脉冲取极限表示

的单位冲激函数为

2

τ

τ

2τ→0u(t藝)δ(t)=lim

1

u(t+τ

藝)（1.3-15）单位冲激函数一般定义为

∞

δ(t)dt

=1

藝∞单位冲激函数的波形用箭头表示，如图1.3-12所示。

0

t

≠0

∞

t

=

0

(t)

=

δ

（1.3-16）图1.3-11矩形脉冲的极限为冲激函数图1.3-12冲激函数00描述任一时刻t=t时的冲激函数记为δ(t－t)，表示式为

∞

藝∞000

0

t

≠t0∞

t

=

tδ(t藝t)dt=1δ(t藝t)=（1.3-17）由于冲激函数的幅值为无穷，因此冲激函数能比较的是其强度。定义式（1.3-16）的积分值（面积）为冲激强度，如4δ(t)、Aδ(t)。作图时强度一般标在箭头旁，如图1.3-13所示Aδ(t－t0)。图1.3-13Aδ(t－t0)冲激函数还具有如下运算性质:1)取样性或“筛选”若f(t)是∞在t=0处连续的有界∞函数，则

藝∞f

(t)δ(t)dt

=

藝∞

f

(0)δ(t)dt

=

f

(0)（1.3-18）以及∞∞

藝∞f(t)δ(t藝t0

)dt=

藝∞f(t0

)δ(t藝t0

)dt=f(t0

)（1.3-19）式（1.3-19

）表明冲激函数具有取样（筛选）特性。如果要从连续函数f(t)中抽取任一时刻的函数值f(t0)，只要乘以δ(t－t0)，并在(－∞,∞)区间积分即可。同理f(t藝t1

)δ(t藝t0

)dt=f(t0

藝t1

)∞

藝∞（1.3-20）例1.3-2计算5

52

2藝5藝5(1)(c3o)

stδ((tt);+2t+1)δ((t2);)(t-(14))δ

(t)(；t+2t+1)δ(t藝6)dt解(1)costδ(t)=δ(t)，因为cos0=1。(4)(3)52(2)(t-1)δ(t)=-δ(t)，因为(t-1)|t=0=-1。52

2=

1

藝5藝5t=0(t+2t+1)δ(t藝6)dt=0,因为δ(t藝6)不在积分区内(t+2t+1)δ(t)=1因为(t+2t+1)|2)偶函数δ(t)=δ(-t)（1.3-21）证f(藝τ)δ(τ)dτ∞=f(0)

藝∞δ(τ)dτ=f(0)∞∞

藝∞f(t)δ(藝t)dt=

藝∞

∞藝∞t

≠0dt

∞

t

=

∞

1

t

>

0

0

t

<

0du(t)

=

δ(t)

=

03)与单位阶跃函

数uδ((t)τ互)d为τ积=分

、微分关系（1.3-23）（1.3-22）由式（1.3-23），图1.3-9电路的电容电流iC(t)可以用δ(t)函数描述为dtCdυC

(t)=

CEδ(t)i

(t)

=

C4)尺度特性aδ(a

t)

=

1

δ(t)（1.3-24）证a>0时a∞a

藝∞∞

藝∞δ(τ)dτ=

1δ(a

t)dt

=

1a11

1a

a

藝∞∞藝∞∞∞

藝∞δ(τ)dτ=藝δ(τ)dτ=藝a<0时δ(at)dt

=综合a>0、a<0两种情况，得δ(a

t)=

1

δ(t)a*

δ(t)的广义函数定义广义（分布）函数理论认为，虽然某些函数不能确定它在每一时刻的函数值（不存在自变量与因变量之间的确定映射关系），但是可以通过它与其他函数（又称测试函数）的相互作用规律（运算规则）来确定其函数关系，这种新的函数是广义（分布）函数。即按照它“做”什么，而不是它“是”什么而定义的函数，叫做广义函数或分布函数。δ(t)就是一个把在t=0处连续的任意有界函数φ(t)，赋予φ(0)值的一种（运算规则）广义函数，记为∞

藝∞笆(t)δ(t)dt=笆(0)这种用运算规则来定义函数的思路，是建立在测度理论基础上的，它与建立在映射理论基础上的普通函数是相容且不矛盾的。所以，只要一个函数g(t)与任意的测试函数φ(t)之间满足关系式∞

藝∞笆(t)g(t)dt=笆(0)则这个函数g(t)就是单位冲激函数，即g(t)=δ(t)其中φ(t)是在t=0时刻任意的有界函数。3.单位斜坡函数R(t)

0

t

<

0单位斜坡函数波形R如(t)图=1.

3-14所示，=定tu义(t为)

t

t

>

0（1.3-25）任意时刻的斜坡函数如图1.3-15所示，表示为00R(t藝t)=

0=(t藝t0

)u(t藝t0

)t

<

t

t

>

t0

t藝t0（1.3-26）图1.3-14R(t)图1.3-15R(t－t0)单位斜坡函数与阶跃进函数u(t)互为微分、积分关系，即R(t)

=dtdR(t)

=

u(t)

0tu(τ)dτ=

0t<

0

（1.3-27a）

t

t

>

0

（1.3-27b）例1.3-3f(t)如图1.3-16所示，由奇异信号描述f(t)。解f(t)

=(t+2)［u(t+2)－

u(t)

］+(－

t+2)［u(t)－

u(t－

2)］=

R(t+2)－2R(t)+R(t－

2)图1.3-16例1.3-3图4.单位函数gτ(t)22

0

12τ=

t

>

τt

<

τ

2

门函数gτ(t)是以原点为中心，以τ为时宽，幅度为1的矩形单脉冲信号，

波形如τ图1.3-17所τ示

。

g(t)=u(t+

)藝u(t藝)（1.3-28）图1.3-17门函数gτ(t)5.单位符号函数sgnt1.3-18所示。符号函数是t>0时为1

，1

t<0时t为>－01的函数，波形如图sgnt

=

藝1

t

<

0=2u(t)藝1=藝u(藝t)+u(t)

=

1

t

>

0

藝1

t

<

0（1.3-29）图1.3-18符号函数6.单位冲激偶函数δ′(t)对单位冲激函数求导得到单位冲激偶函数。因为单位冲激函数可表示为1

2dδ(t)

dtτ

τ

δ(t)=lim

u(t+2

)藝u(t藝)

τ→0

τ

2

τ1

τ

τ

′δ(t)

==

limτ→0δ

t+

藝δ

t藝

2

(1.3-30)(1.3-31)所以式（1.3-31

）取极限后是两个强度为无限大的冲激函数，当t从负值趋向零时，是强度为无限的正冲激函数；当t从正值趋向零时，是强度为负无限的冲激函数，如图

1.3-19所示。

图1.3-19单位冲激偶函数δ′(t)′

单位冲激偶函数具∞有如′下特性：藝∞δ(t)f(t)dt=藝f(0)(1)对证f′(t)在0点连续的函数，有f

′(t)δ(t)dtdt

藝∞∞藝∞藝∞=藝f

′(0)

藝∞δ(t)dt=藝f

′(0)∞=f(t)δ(t)|∞

藝∞

∞

藝∞f

(t)

dδ(t)δ′(t)

f

(t)dt

=(2)由图1.3-19的单位冲激偶函数可见，δ′(t)的正、负两个冲激的面积相等，互相抵消，冲激偶函数所包含的面积为零，即∞

藝∞δ′(t)dt=0(1.3-32)

藝∞

0

0t<0藝0藝<t<0+t

>

0+(t)dt

=

∞tδ′(3)δ′(t)与δ(t)互为积分、微分关系，即δ′(t)

=

dδ(t)dt(1.3-33)1.4

连续信号的运算1.4.1时移、折叠、尺度信号的时移也称信号的位移、时延。将信号f(t)的自变量t用t-t0

替换，得到的信号f(t-t0)就是f(t)的时移，它是f(t)的波形在时间t轴上整体移位t0。若t0>0，f(t)的波形在时间

t轴上整体右移t0

；若t0<0，f(t)的波形在时间t轴上整体左移t0，如图1.4-1所示。图1.4-1信号的时移将f(t)自变量t用－t替换，得到信号f(－t)是f(t)的折叠信号。f(－t)的波形是f(t)的波形以t=0为轴反折，所以也称时间轴反转，如图1.4-2所示。图1.4-2信号的折叠将f(t)的自变量t用at(a≠0)替换，得到f(a

t)称为f(t)的尺度变换，其波形是f(t)波形在时间t轴上的压缩或扩展。若|a

|>1，波形在时间t轴上压缩；|a

|<1，波形在时间t轴上扩展，故信号的尺度变换又称为信号的压缩与扩展。例如，假设f(t)=sinω0t是正常语速的信号，则f(2t)=sin2ω0t=f1(t)是两倍语速的信号，而f(t/2)=sin(ω0t/2)=f2(t)是降低一半语速的信号。f1(t)与f2(t)在时间轴上被压缩或扩展，但幅度均没有变化，如图1.4-3所示。图1.4-3信号的尺度变换例1.4-1已知f(t)的波形如图1.4-4(a)所示，试画出f(－2t)、f(－t/2)的波形。解

f(－2t)、f(－t/2)除了尺度变换，还要折叠（反折）。第一步:尺度变换，如图1.4-4(b)所示。第二步:折叠,如图1.4-4(c)所示。图1.4-4例1.4-1中f(－2t)、f(－t/2)例1.4-2已知f(t)的波形如图1.4-5(a)所示，试画出f(2-2t)的波形。解f(2-2t)是f(t)的时移、折叠及压缩信号。第一步：折叠,如图1.4-5(b)所示；第二步：时移变换，如图1.4-5(c)所示；第三步：尺度变换，如图1.4-5(d)所示。图1.4-5例1.4-2中f(2－2t)的形成以上变换都是函数自变量的变换，而变换前后端点上的函数值（冲激函数除外）不变。所以可以通过少数特殊点函数值不变的特性，确定变换前后波形中各端点的相应位置。具体方法是：设变换前信号为f(at+b)，用t1表示变换前端点的位置；变换后信号为f(mt′+n)，用t1’表示变换后端点的位置,则变换前后的函数值为（1.4-1a）f(at1+b)=f(mt1’+n)由式（1.4-1a），可得at1+b=

mt1’+n（1.4-1b）由式（1.4-1b）解出变换后的端点的位置为1

1mt′=

1

(at+b藝n)（1.4-1c）1.4.2微分与积分微分是对f(t)求导数的运算，表示为f

′(t)

=

df

(t)（1.4-2）dt信号经过微分后突出了变化部分，如图1.4-6所示。图1.4-6信号的微分运算积分是对f(t)在(-∞,t)区间内的定积分，表示式为f(τ)dτty(t)=

藝∞（1.4-3）信号经过积分后平滑了变化部分，如图1.4-7所示。图1.4-7信号的积分运算1.4.3信号的加（减）、乘（除）信号的相加（减）或相乘（除）是信号瞬时值相加（减）或相乘（除）。f1(t)±f2(t)是两个信号瞬时值相加（减）形成的新信号；f1(t)▲f2(t)或f1(t)/f2(t)=f1(t)▲［1/f2(t)］是两个信号瞬时值相乘形成的新信号。如图1.4-8(a)所示f1(t)、f2(t)，求f1(t)+f2(t)、例1.4-3f1(t)▲f2(t)。解

f1(t)+f2(t)如图1.4-8(b)所示，

f1(t)▲f2(t)如图1.4-8(c)所示。实际工作中经常遇到幅度衰减的振荡信号，是信号相乘的典型应用。图1.4-8例1.4-3信号的相加与相乘t

≥0

Ae藝a

tf1

(t)

,

f2

(t)

=

cos

ω0

tt

<

0

0,画出f1(t)▲f2(t)波形。例1.4-4解01

2

Ae藝a

t

cos

ωtf(t)匭f(t)=

t

≥0

t

<

0

0f1(t)▲f2(t)是幅度按指数规律变化的余弦信号，如图1.4-9所示。一般两个信号相乘，变化慢的信号形成包络线，包络线反映了相乘信号总的变化趋势。图

1.4-9

f1(t)▲f2(t)形成衰减振荡信号(a)指数信号；(b)余弦信号；(c)幅度衰减的余弦信号1.5

连续信号的分解1.5.1规

则

信

号

的

分

解一般规则信号可以分解为若干个简单信号的组合。下面

举

例

说

明

规

则

信

号

的

分

解

。例1.5-1用简单信号表示如图1.5-1(a)所示信号f1(t)。解

将f1(t)分解为无数不同时移的锯齿波的叠加，

表示为1A

Af

(t)

=

A=

T

(t藝nT)[u(t藝nT)藝u(t藝(n+1)T)]∞n=0t[u(t)

藝u(t

藝T

)]

+

(t

藝T

)[u(t

藝T

)

藝u(t

藝2T

)]

+T

T或如图1.5-1(b)所示，将f1(t)分解为一个幅度为A的斜坡函数与无穷多个时移的阶跃函数的叠加（减），表示为∞1n=1=

R(t)藝A

u(t藝nT)

TATf(t)=

AR(t)藝Au(t藝T)藝Au(t藝2T)藝

图1.5-1(a)锯齿波；(b)锯齿波的一种分解例1.5-2用简单信号表示如图1.5-2(a)所示信号f2(t)。图1.5-2(a)例1.5-2信号；(b)例1.5-2信号的分解解

f2(t)可以分解为四个不同时刻出现的阶跃函数，表示为f2(t)=u(t+2)+u(t+1)－u(t－1)－u(t－2)或如图1.5-2(b)所示，将f2(t)分解为两个宽度不同的门函数，表示为f2(t)

=f21

(t)+f22

(t)=［u(t+2)－u(t

－2)］+［u(t+1)

－u(t－1)］=g4(t)+g2(t)1.5.2

信号的直流与交流分解信号可以分解为直流分量fD(t)与交流分量fA(t)，即f(t)=fD(t)+fA(t)

(1.5-1)信号的直流分量fD(t)是信号的平均值。信号f(t)除去直流分量

fD(t)，剩下的即为交流分量fA(t)。1.5.3

奇偶信号的分解这种分解方法是将实信号分解为偶分量与奇分量之和。其优点是可以利用偶函数与奇函数的对称性简化信号运算。偶分量定义fe(t)=fe(藝t)（1.5－2）奇分量定义fo(t)=藝fo(藝t)（1.5－3）其中11fe

(t)=2

[f(t)+f(藝t)]fo

(t)=2

[f(t)+f(藝t)]（1.5－5）（1.5－6）例1.5－3用图解法分别将图1.5－3(a)所示信号分解为奇、偶分量。解如图1.5-3(b)所示。图1.5-3例1.5-3信号的奇偶分解1.5.4任

意

信

号

的

脉

冲

分

解

任意信号的脉冲分解方法，是将冲激信号或阶跃信号作为基本信号元，将任意信号分解为无穷多个冲激信号或阶跃信号，如图1.5－4及图1.5－5所示。这类分解的优点是基本信号元的波形简单，响应好求，并且可以充分利用LTI系统的叠加、

比例与时不变性，

方便地求解复杂信号的响应。图1.5-4将信号分解为脉冲之和图1.5-5将信号分解为阶跃信号之和如图1.5－4所示，f(t)可以分解为冲激信号之和，这种分解思路是先把信号f(t)分解成宽度为Δt的矩形窄脉冲之和，任意时刻kΔt的矩形脉冲幅度为f(kΔt)。为使分析简单，我们假设f(t)为因果信号。这样f0(t)=f(0)[u(t)藝u(t藝Δt)]f1(t)=f(Δt)[u(t藝Δt)藝u(t藝2Δt)]⋯fk(t)=f(kΔt)[u(t藝kΔt)藝u(t藝(k+1)Δt)]⋯信号f(t)可近似表示为

f(t)轅f0(t)+f1(t)+f2(t)+⋯fk(t)+⋯n轅

f

(kΔt)[u(t藝kΔt

)藝u(t藝(k+1)Δt

)]k=0n轅

Δt

f

(kΔt

)[u(t藝kΔt

)藝u(t藝(k+1)Δt

)]Δt

1k=0nf(kΔt)[u(t藝kΔt)藝u(t藝(k+1)Δt)]Δt1f

(t)

=

lim

Δt→0

k=0k=0n令窄脉Δ冲t→宽0

度Δt→Δ0t

，并对其取极限，得到=lim

f(kΔt)δ(t藝Δt)Δt此时kΔt→τ，Δt→dτ，求和运算变为积分运算。于是，用冲激函数表示任意信号的积分形式为tn

→，

即0k=0f(τ)δ(t藝τ)dτf

(t)

=

0t（1.5-6）如图1.5-5所示，

f(t)可以分解为阶跃信号之和，

分解思路

是

先

把

信

号

分

解

为

阶

跃

信

号

的

叠

加

， 此

时

令Δt≈

u(t藝kΔt)Δt任意时刻kΔt的阶Δf跃(k为Δt)fk

(t)≈[f(kΔt)藝f(kΔt藝(k藝1)Δt]u(t藝kΔt)

将信号f(t)近似表示为f

(t)

≈f0

(t)

+

f1

(t)

+

f2

(t)

+

+

fk

(t)

+nk

=1

Δf

(kΔt)

Δtu(t藝kΔt)Δt

≈f

(0)u(t)

+

然

后

， 令

窄

脉

冲

宽

度

Δt→0

， 并

对

上

式

取

极

限

为最后，得到任意信号用阶跃信号表示的积分形式为t+f

(t)

=

f

(0)u(t)

+

0f

′(τ)u(t藝τ)dτ（1.5-8）1.6系统及其响应1.6.1

系统的定义系统所涉及的范围十分广泛，包括大大小小有联系的事物组合体。如物理系统、非物理系统；人工系统、自然系统、社会系统等等。系统具有层次性，可以有系统嵌套系统；对某一系统，其外部更大的系统称为环境，所包含的更小的系统为子系统。因为本书涉及的是电信号，所以本书的系统，是产生信号或对信号进行传输、处理变换的电路（往往也称为网络）系统。这是由电路元器件组成的实现不同功

能的整体。本书将用具体电路网络作为系统的例子，讨论信号的传输、处理、变换等问题，所以书中网络、系统、电路三个名词通用。由于信息网络的广泛应用，在信息科学与技术领域中“网络”也泛指通信网或计算机网，与本书的“网络”不同。例如，我们所涉及的连续系统，其功能是将输入信号转变为所需的输出信号，如图1.6-1所示。图1.6-1中,f(t)是系统的输入（激励），y(t)是系统的输出（响应）。为叙述简便,激励与响应的关系也常表示为f(t)→y(t)，其中“→”表示系统的作用。图1.6-1信号与系统分析框图1.6.2系统的初始状态在讨论连续系统响应前，首先讨论连续系统的初始状态（条件），其基本概念也可用于离散系统。“初始”实际是一个相对时间，通常是一个非零的电源接入电路系统的瞬间，或电路发生“换路”的瞬间，可将这一时刻记为t=t0。为讨论问题方便，本书一般将t0=0记为“初始”时刻；并用0-表示系统“换路”前系统储能的初始状态，用0+表示“换路”后系统响应的初始条件。下面以电容、电感的电压、电流关系理解系统初始状态与初始条件的概念。例1.6-1

如图1.6-2所示简单理想电路系统，

已知激励电流i(t)，求响应vC(t)。dtdυ

(t)解由电容iC的(t电)=压i、(t)电=流C关系C(1.6-1)式(1.6-1)是一阶线性微分方程，解此方程可得响应为CtCi

(τ)dτC

藝∞v

(t)

=

1(1.6-2)图1.6-2例1.6-1简单电路式(1.6-2)说明电容电压与过去所有时刻流过电容的电流有关，因此也称电容为动态（记忆、储能）元件。要知道全部时刻的电流iC(t)是不实际的，通常要计算vC(t)一般是由已知某时刻t0开始到所要C计算时刻t的i(t)，以及此C

0时刻前的电容电压v(t)来确定，即C1

1t

tCC

C

0iCCi

(τ)dτ+t0+藝∞v

(t)

=(τ)dτ=

v

(t

)

+

(1.6-3a)若t0=0，代入上式成为+

藝∞tCC

C

+tCCC

0v

(t)

=

1i

(τ)dτi

(τ)dτ=

v

(t

)

+

1(1.6-3b)切相关。

vC(

vC(0-)是在iC(t)时刻t=用，反映了系统在该时刻的储能。由电容与电感的对偶关系，不难得到式(1.6-3)t中0+

只有已知t>t0或t>0时的iC(t)以及系统的初始条件vC(

)、

vC(0+)，

才能求解t>t0（t>0）系统的响应vC(t)。或t0

_t=0-以前的作而vC(t0+)或vC(0+)与系统的初始状态vC(t0

_)或vC(0-)密t)0或_LLdtdi

(t)v

(t)

=

L(1.6-4)LLtLtLv

(τ)dτv

(τ)dτL

t0L

t++v

(τ)dτ=

i

(t

)

+

1i

(t)

=

1)

+

1vL

(τ)dτ=

iL

(t0+i

(t)

=

1L

L

+∞L

藝∞∞L

藝∞(1.6-5a)(1.6-5b)与电容情况相同，(1.6-5)式表明电感也为动态(记忆、储能)元件。只有已知t>t0

(t>0)时的vL(t)以及系统的初始条件iL(t0+)、iL

(0+)，才能求解t>t0

(t>0)系统的响应i

L

(t

)。同样的iL(t0+)、iL

(0+)与系统的初始状态iL(t0藝)、iL(0藝)密切相关，iL

(t0藝)、iL

(0藝)是电压vL(t)在时刻t=t0藝、t=0藝以前的作用（系统在该时刻的储能）。以及1.6.3

系统的响应下面通过具体例题讨论系统的响应。例1.6-2如图1.6-2所示电路系统，且已知vC(0-)=1/2V，C=2F,电流i(t)的波形如图1.6-3所示，求t≥0的响应vC(t)并绘出波形图。图1.6-3例1.6-2电流i(t)波形解

由已知条件可见，

该系统既有初始储能,

也有激励，所以系统响应既有初始储能产生的部分，也有激励产生的部分。从电流i(t)波形可知，i(t)除了在t=0时刻加入，在t=1及t=2还有变化，都可以理解为“换路”，因此在t=0－、t=1－及t=2－分别有三个初始状态vC(0－)、vC(1－)、vC(2－)，利用该电容电压无跳变，要解出对应的三个初始条件vC(0+)、vC(1+)、

vC(2+)。由此得到响应(如图1.6-4所示)为图1.6-4例1.6－2中vC(t)波形由引起响应的不同原因，我们给出系统零输入响应与零状态响应的定义：当系统的激励为零，仅由系统初始状态（储能）产生的响应是零输入响应，记为yzi

(t)或yx

(t)；当系统的初始状态（储能）为零，仅由系统激励产生的响应是零状态响应，记为yzs

(t)或yf

(t)。上例是一阶微分方程描述的简单系统。我们看到，为了求解它的响应，除了知道系统的激励外，还需要知道系统的一个初始条件。推论，若系统是由n阶微分方程描述的，则求解响应

ddm

dm藝1=b0

dtm

f(t)+b1

dtm藝1除了dn激励外，还dn必藝1须知道系统的n个d初始条件（状态）。an0阶d线tn

性y(微t)分+方a1

程dt的n藝1一y般(t形)+式

为+an藝1

dt

y(t)+an

y(t)f(t)+

+bm藝1

dt

f(t)+bm

f(t)(1.6-6)当给定y(0+),y′(0+),匭匭,y(n-1)(0+)，及f(t)，可以得到n阶线性微分方程的完全解。为

讨

论问题方便

y(0+),

y′(0+),

匭匭,y(n-1)(0+)

可简写为y(k)(0+)(k=0,1,2,

匭)或{y(k)(0+)}

。{y(k)(0+)}

这样一组数据是解微分方程所需要的标准初始条件。在处理实际n阶电路系统时，已知的储能情况，通常是由

n个独立储能元件的初始值(电容电压、电感电流){xk(0藝)}

(k=1,2,匭,n)(以下简写为{xk(0藝)})表示，储能元件的初始值也可简称初始状态。电路中的各独立的iL

(0藝)、vC

(0藝)是{xk(0藝)}的组成部分，是我们求解零输入响应的已知条件。这样的初始状态反映了系统储能的情况，它为求t>0的系统响应提供了以往储能的全部信息(若初始时间为t=t0

时类推)，由此而确定的响应是系统的零输入响应。虽然初始状态一般有{xk(0藝)}={xk(0+)}，但通常{xk(0藝)}不能全部直接用于系统微分方程求解，所以也称其为非标准初始条件。例如一阶RC或RL电路中，待求的响应是电阻电压。而已知的初始状态，是电容上的电压vC

(0藝)或电感上的电流iL

(0藝)，即非标准化初始条件。通过{xk(0藝)}及0+初始值等效电路，可以确定系统零输入时的标准初始条件y(k)(0+)，即可以将非标准化初始条件转换为标准化初始条件。有关初始条件标准化的具体内容将在第2章讨论。因为零输入响应是由初始状态{xk(0藝)}产生的，零状态响应是由激励f(t)产生的，所以也有教材将零输入响应记为yx(t)；零状态响应记为yf(t)。1.7

系统的分类1.7.1动态系统与静态系统含有动态元件的系统是动态系统，如RC、RL电路。没有动态元件的系统是静态系统也称即时系统，如纯电阻电路。动态系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，还与该时刻以前的激励有关；静态系统在任意时刻的响应

仅与该时刻的激励有关。描述动态系统的数学模型为微分

方程，描述静态系统的数学模型为代数方程。1.7.2

因果系统与非因果系统因果系统满足在任意时刻的响应y(t)仅与该时刻以及该时刻以前的激励有关，而与该时刻以后的激励无关。也可以说，因果系统的响应是由激励引起的，激励是响应的t原因，响应是激励的结果；响应不会发生在激励加入之前，系统不具有预知未来响应的能力。例如系y统(t)的=激

藝∞励ff((τt))与dτ响应y(t)的关系为f(t)=dy(t)/dt，这是一阶微分方程，而响应与激励的关系是积分关系，则系统是因果系统。响应与激励具有因果关系的系统也称为物理可实现系统。如果响应出现在激励之前，那么，系统为非因果系统，也称为物理不可实现系统。书中一般不特别指明均为因果系统。例如图1.7-1(a)所示系统的响应与激励的关系为y1(t)=f1(t－1)，响应出现在激励之后，系统是因果系统；如图1.7-1(b)所示系统的响应与激励的关系为y2(t)=f2(t+1)，响应出现在激励之前，那么它是非因果系统。图1.7-1(a)因果系统；(b)非因果系统一般由模拟元器件如电阻、电容、电感等组成的实际物理系统都是因果系统。在数字信号处理时，利用计算机的存储功能，可以逼近非因果系统，实现许多模拟系统无法完成的功能，这也是数字系统优于模拟系统的一个重要方面。另外，t<0时为零的信号也称为因果信号。对于因果系统，在因果信号激励下，响应也是因果信号。1.7.3连续时间系统与离散时间系统激励与响应均为连续时间信号的系统是连续时间系统，也称模拟系统；激励与响应均为离散时间信号的系统是离散时间系统，也称数字系统。普通的电视机是典型的连

续时间系统，而计算机则是典型的离散时间系统。随着大规模集成电路技术的发展与普及，越来越多的系统是既有连续时间系统又有离散时间系统的混合系统。如图1.7-2所示为一个混合系统。图1.7-2混合系统1.7.4线性系统与非线性系统“线性”系统是满足叠加性与比例(齐次或均匀)性的系统。考虑引起系统响应的因素，除了系统的激励之外，还有系统的储能，因此线性系统必须满足以下三个条件。1.

分解性系统的响应有不同的分解形式，其中线性系统的响应一定可以分解为零输入响应与零状态响应，即系统响应可表示为y(t)=yzi

(t)+yzs

(t)（1.7-1）式中，yzi

(t)是零输入响应，yzs

(t)是零状态响应。2.

零输入线性输入为零时，由各初始状态{x1(0),x2(0),...,xn(0)}引起的响应满足叠加性与比例性，若t≥0xk(0-n）→yzik

(t)

(k=1~n)

则a

k

xk

(0藝)→

ak

yzik

(t)t≥0(k

=

1

~

n)k

=1

k=1n(1.7-2)式（1.7-2）可用图1.7-3的方框图表示。图1.7-3零输入线性3.零状态线性初始状态为零时，由各输入激励f1(t),f2(t),...,fm(t)引起的响应具有叠加性与比例性（均匀性），若mfi(t)u(t)→yzsi

(t)u(t)m则i

=1

i

=1

bi

fi

(t)u(t)

→

bi

yzsi

(t)u(t)(1.7-3)式（1.7-3）可由图1.7-4的方框图表示。图1.7-4零状态线性不满足上述任何一个条件的系统就是非线性系统。如果线性系统还是因果系统，那么由t<t0，f(t)=0可以得到y(t)=0

t<t0例1.7-1已知系统输入f(t)与输出y(t)的关系如下，判断系统是否线性。-2(2)

y(t)=4x(0

)+2f

(t)u(t)；0

_

f

(τ)dτ((13))

yy((tt))==3x2(0x-()0f(_t))u+(t)3；t解(1)不满足可分解性，是非线性系统；不满足零状态线性，是非线性系统；满足可分解性、零输入线性、零状态线性，所以是线性系统。例1.7－2讨论具有如下输入、输出关系的系统是否线性。(1.7-4)y(t)=2+4

f(t)

解是非f1(线t)→性y系1(t统)=。2+4

f1(t)f2(t)

→

y2(t)=

2+4

f2(t)f1(t式)+(f12(.t7)－→4y)(分t)=明2+是4[一f1(t个)+线f2(t性)]方≠y程1(t)，+y却2(t描)=述4+的4[是f1(t一)+个f2(非t)]线性系统，结论似乎有些奇怪。这个系统的输入、输出关系如图1.7－5所示，可以表示为一个线性系统的输出与该系统的零输入响应之和。式(1.7－4)表示的线性系统为

f(t)→4f(t)=yzs(t)零输入响应为yzi(t)=2实际应用中存在可以由图1.7－5表示的系统，这类系统的总输出等于一个零状态线性系统的响应与一个确定的零输入响应之和，也有人将其称为增量线性系统。图1.7-5一种增量线性系统的结构1.7.5时变系统与非时变系统从系统的参数来看，系统参数不随时间变化的是时不变系统，也称非时变系统、常参系统、定常系统等；系统参数随时间变化的是时变系统，也称变参系统。从系统响应来看，时不变系统在初始状态相同的情况下，系统响应与激励加入的时刻无关。即在{x1(0),x2(0),...,xn(0)}时，f(t)→y(t)则在{x1(t0),x2(t0),...,xn(t0)}时,f(t-t0)→y(t-t0)（1.7-4）非时变系统的输入输出关系可由图1.7-6表示。从图1.7-5可见，当激励延迟一段时间t0

加入时不变系统时，输出响应亦延时t0才出现，并且波形变化的规律不变。图1.7-6时不变系统例1.7-3已知系统激励与响应之间的关系如下，判断是否是时不变系统。y(t)=cos3t▲x(0)+2tf(t)u(t)解

因为初始状态x(0)与激励f(t)u(t)的系数均不是常数，所以是时变系统。图1.8-11.8

LTI系统分析方法系统框图表示如图1.8-1所示系统框图。图中T［

］表示将输入信号转变为输出信号的运算关系，可表示为系统运算关系Ty(［t)=］T既［满f(足t)］线性又（满1.足8-1时）不变性的是线性时不变系统，简写为LTI系统。分析LTI系统具有重要意义，因为LTI系统在实际应用中相当普遍，或在一定条件

范围内一些非LTI系统可近似为LTI系统；尤其是LTI系统的分析方法已经形成了完整、严密的理论体系。而非线性系统分析，迄今没有统一、通用的分析方法，只能视具体问题具体讨论。此后不特别说明，本书涉及的均是LTI系统。LTI系统模型描述LTI系统模型的方法有两类：输入—输出描述法它着眼于系统激励与响应的外部关系，不关心系统内部的变量情况。适用于单输入、单输出系统，如通信系统中大量遇到的就是单输入单输出系统。状态变量描述法它除了给出系统的响应外，还可以提供系统内部变量的情况，适用于多输入、多输出的情况。在控制系统理论研究中，广泛采用状态变量描述法。1.8.2

LTI系统分析方法LTI系统分析方法有时域方法与频（变）域方法两种。

LTI系统分析的一个基本任务是求解系统对任意激励信号

的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信号元。时域分析将脉冲信号作为基本信号元，信号可以用冲激（阶跃）函数表示。（复）频域（也称变域）分析将正弦（复指数）函数作为基本信号元，信号可以用不同频率的正弦（复指

数）函数表示。它们是同一信号两类不同的分解方法，对应着两类分析方法。这两类分析方法思路相同，都是先求得基本信号元的响应，然后叠加。即这两类分析方法均以叠加性、均匀性及时不变特性作为分析问题的基点，

没有本质区别，仅是分解的基本信号元不同而已。1.8.3

LTI系统的微、积分性质若f(t)→y(t)，则dt利用LTI系统具有的叠加、比例与时不变特性，可推得LTI系统具有如下微分特性：df

(t)

→

dy(t)(1.8-2)dt证若f(t)→y(t),由时不变性，输入时移t0，输出也时移t0，得到f(t-t0)→y(t-t0)由叠加性，输入为两项叠加，输出也为两项叠加，得到f(t)-f(t-Δt)→y(t)-y(t-Δt)再由比例性，输入乘1/Δt，输出也乘1/Δt，得到ΔtΔt

f(t)藝f(t藝Δt)

→

y(t)藝y(t藝Δt)Δt

y(t)藝y(t藝Δt)

Δt对上式两边同f

时(t)取藝极f限(t藝Δt)→

limΔt→0limΔt→0得到df

(t)

→

dy(t)

dt

dt这个性质说明，当系统的输入是原信号的导数时，LTI系统的输出亦为原输出响应的导数。这一结论可以推导到高阶导数与积分，即若f(t)→y(t)，则dtn

dtndn

y(t)dn

f(t)→n为正整数（1.8-3）y(τ)dτtt

0f

(τ)dτ→

0（1.8-4）式（1.8-3）与（1.8-4）表示当系统的输入是原信号的n阶导数时，系统的输出亦为原输出响应函数的n阶导数；当系统的输入是原信号的积分时，系统的输出亦为原输出

响应函数的积分。LTI系统的微分特性和积分特性如图1.8-2所示。图1.8-2LTI系统的微分特性和积分特性1.9 基于