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文档简介
必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》易错题专题训练(29)
一、单选题(本大题共4小题,共20.0分)
1.下列运用基本不等式求最值,使用正确的个数是()
①已知助力。,由〉+丹〉2《4=2,求得抖脚最小值为2
(^由、=斤"+扁22,,求得y=焉的最小值为2
③已知x>l,由y=x+*22ja,当且仅当%=*即工=2时等号成立,=2代入
2\『lj得y的最小值为4.
Vx-1
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.已知a,bWR,而#0,则“Q>0,b>0"是“手2疝”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.正数x,y满足log2(x+y+3)=log2%+logzy,则%+y的取值范围是()
A.[6,+8)B.(0,6]C.[1+夕,+8)D.(04+V7]
4.在区间[-2,4]上随机地取一个数x,使六之因恒成立的概率是()
A.1B.|C.|D.;
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)
5.以下结论中正确的是()
A.y=x+:的最小值为2
B.当a>0,b>0时,三+;+2病》4
C.y=x(l-2x),(0<x<;)的最大值为:
No
D.当且仅当a,b均为正数时,恒成立
6.下列各结论中正确的是()
A.“孙>0”是“j>0”的充要条件
B.7x^+9+v金xz+的9最小值为2
C.若a<b<0,则,>1
n
D,若公比q不为1的等比数列{an}的前九和S=Aq+B,则4+8=0
7.若a,b,cER,则下列命题中为真命题的是()
A.若a>b,则QC?>be2B.若ab>0,则f+->2
ba
C.若a>|b|,则a2>/D.若a>b,则*>:
8.下列说法正确的是()
A.若x,y>0,x+y=2,则度+2"的最大值为4
B.若X<$则函数y=2x+*的最大值为一1
C.若x,y>0,x+y+xy=3,则xy的最小值为1
D.函数y=/土+的最小值为9
三、单空题(本大题共5小题,共25.0分)
9.已知m>0,n>0,m—+n-+15=m+9n,且m一+n-《1,贝i0jl"o、g2(m+3'九)=______.
10.已知二次函数y=%2+ax+b{a,b6R)的最小值为0,若关于%的不等式y<c的解集为区间
(jn,m+6),则实数c的值为
11.已知%>0,y=逵:;+1,y的最大值是.
12.在平面直角坐标系%Oy中,已知二次函数f(x)=*2+以+(:与久轴交于人(一1,0),B(2,0)两点,
则关于式的不等式x?+bx4-c<4的解集是.
Q2
13.设x,yw/?+,且x+2y=8,贝*卜+y-的最小值为___________.
四、解答题(本大题共17小题,共204.0分)
-,
14.已知非空集合力={巾2一任+少+八。},集合8二<1>,命题P:xe4命题
q.x&B.
(1)若P是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)当实数a为何值时,P是夕的充要条件.
15.已知a,b,c为正数,且a+b+c=9.
(1)证明:;+t+1.
(2)已知mG/?,p:^+1+^>m2+2m-2对任意正数a,b,c恒成立,q:函数y=(m2—2)-2X
是增函数.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求m的取值范围.
16.某公司今年年初用25万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为21万元.同时,公司每年需
要付出设备的维修和工人工资等费用,第一年各种费用2万元,第二年各种费用4万元,以后每
年各种费用都增加2万元.
(1)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利;
(2)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?
17.设函数/(久)=771/—772%—2
(1)若对于一切实数f(x)V0恒成立,求?n的取值范围;
(2)若对于xe[1,3],/(无)>-m+2(%-1)恒成立,求m的取值范围.
18.已知不等式(1-a)x2-4%+6>0的解集为{%|—3V%V1}
(1)求a的值;
(2)若不等式a/_|_mx3>0的解集为R,求实数TH的取值范围.
19.已知不等式(1-a)/-4%+6>0的解集为{x|-3<x<1}
(1)求a的值;
(2)若不等式aM+机%+320的解集为R,求实数m的取值范围.
20.(1)已知0<a<l,解关于x的不等式/一(a+》x+l<0
(2)若关于x的不等式。炉一6x+a2<。的解集是求实数m的值
21.设g(x)=/—mx+1.
(1)若g")》()时任者的?>。恒成立,求实数zn的取值范围;
(2)新n>1,解关于x的不等式g(x)>x-m+1.
22.已知函数/(x)=/—ax(aeR).
(1)若不等式/O)>a-3的解集为R,求实数a的取值范围;
(2)设x>y>0,且xy=2,若不等式/"(x)+f(y)+2ay20恒成立,求实数a的取值范围.
23.解关于x的不等式(ax-l)(x+1)>0(aeR).
24.已知二次函数/(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>一2x的解集为(1,3),若方程/(x)+6a=0
有两个相等的根,求/(x)的解析式。
25.已知函数/(x)=/一(+1)%+i,aeR.
(1)若不等式f(x)<0的解集为G,l),求a的值;
(2)若a<0,求关于%的不等式/(无)>0的解集.
26.(1)己知a>0,:-亍>1,求证:Vl+d>y/r^b'"
(2)已知a,b,cW(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于
27.已知%>0,y>0,且2%+8y-xy=0,求
(l)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
28.已知久>0,y>0,且2%+y=4.
(1)求%y的最大值;
(2)求尹+3丫的最小值.
29.已知函数/(%)=/一%+加.
(1)当m=一2时,解不等式f(x)>0;
(2)若m>0,/(%)<0的解集为(。蒸),求(的最小值.
30.(1)若不等式(1—a)x2—4%+6>0的解集是{%|—3V%V1},b为何值时,ax2+Z?x4-a>0的
解集为脓
(2)已知关于%的不等式a/+5%+c>0的解集为{%||<%<1},解关于%的不等式a/+34-
2)x4-2c>0.
参考答案及解析
I.答案:A
解析:
本题主要考查利用基本不等式求最值,注意基本不等式成立的三个基本条件:一正,二定,三相等,
缺一不可,属于较易题.
利用基本不等式成立的条件,对三个求解过程分别进行判断即可得到答案.
解:对于①,当a与力同为正数时,£+后=2,当且仅当a=b是等号取等;
当a与为一正一负数时,£+51=2不成立,故①不正确.
对于②,y=G+4+/1»2,
Vx2+4
21
当且仅当VX+4=即》2=一3时,等号成立的条件不存在,故②不正确.
yJx2+4
7(7\
对于③'^-1+—+J+1=272+1,当且仅当》=0+1取等号,由于
222、二,积不是定值,故③不正确;
y=x+----
x-1yx-1
故选:力.
2.答案:C
解析:
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键.
解:若“a>0,b>0”由基本不等式可知—>属成立,故充分性成立;
若手之属成立,则必有ab>0,且a+b>0,故"a>0,b>0”成立,故必要性成立,
即“a>0,b>0”是“等>4ab"的充要条件,
故选C.
3.答案:A
解析:
本题考查对数的运算性质、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法.
由正数%,y满足log2(%+y+3)=Iog2%+log2y,利用对数的运算性质可得%+y+3=xy,利用基
本不等式可得孙<(等)2,
即x+y+3W任要.当且仅当x=y>0时取等号.利用一元二次不等式的解法解出即可.
解:由正数x,y满足log?。+y+3)=log2%+logzV,・•・x+y+3=xy,
而xy<(掌A,则x+y+3W色等.当且仅当x=y>0时取等号.
令x+y=t(t>0),贝k+34t化为t2-4t-1220,解得tN6或tW-2.
4
•;t>0,.•.取t>6.
故选A.
4.答案:A
解析:
本题主要考查了几何概型,利用基本不等式求最值,属于中档题.
首先利用基本不等式原理求出1,因此可求出x的范围,然后利用几何概型计算即可.
az+l
解析:
22何+1).岛-1=2-1=1,
当且仅当a=0时取等号,
•••。2+品之因恒成立,
•••|x|<1,
解得一1<X<1,
故在区间[-2,4]上随机地取一个数X,
使标+之田恒成立的概率是六=3
a'+l4+23
故选:A,
5.答案:BC
解析:
本题考查基本不等式求最值,属于基础题.
由题意结合“一正、二定、三相等”的原则,逐个选项验证即可.
解:
A.因为!/1(1羊()),所以1/4-2或y22.选项A错误;
x
B.当a>0,b>0时,;+1+2弋ab>2・1+27ab=+27ab>2-2Vub=4>
当且仅当a=b=l时取等号,选项8正确;
C.因为y=x(l-2x),(0<x<;),所以:由二次函数的性质:当欠=;时、又最大值!.选项C正确;
D当且仅当a,b同号时,£+£》2(当且仅当a=b时)恒成立,选项。错误.
故选BC.
6.答案:ACD
解析:
本题考查充要条件、基本不等式,比较大小,属于中档题.
根据充要条件的判断方法可确定4、D选项,由基本不等式可确定B选项,再由利用作差比较法和不
等式的性质可确定C选项.
解:对于4,xy>0可知,y#0,则不等式两边同时除以必,即亮>会,;q>0,过程可逆,所以
是充要条件,A正确;
对于B,由均值不等式可知,斤{3+五餐>2,当且仅当嵩,解得/=一8,无解,
所以等号不成立,所以取不到最小值,8错误;
对于C,-a--b=aba<b<0,ab>0,b—a>0,
—
~a~b=~ab~>0,ab所以C正确.
n
对于0,若公比q不为1的等比数列{a“}的前n和%=4qn+8①,当n》2财Sn_i=AqT+B,②
①一②得外,=AqnT(q—1),对n=l适用,所以Si=4q+B=A(q—1),所以A+B=0,故。
正确.
故选ACD.
7.答案:BC
解析:
本题考查了基本不等式及不等式的性质,属简单易错题型.
由基本不等式及不等式的性质逐一检验即可得解.
解:对于选项A,当c=0时,若a>6,则好2=反2,故A错误,
对于选项B,因为ab>0,所以三>0,->0,所以q+降=2,当且仅当三=乂即a2=/
baba7bdba
时取等号,故B正确,
对于选项C,若a>|b|,则|a|>|b|,则有a?〉/,故C正确
对于选项。,取a=1,b=-l时,显然选项。错误,
综上可知:选项BC正确,
故选:BC.
8.答案:BD
解析:
本题主要考查利用基本不等式求最值,关键是运用基本不等式,结合指数的运算性质,两角的平方
关系的知识逐项分析解答即可.
解:对于4,若x,y>0,满足x+y=2,则2*+2y>2万行=2x2=4,当且仅当%=y=1时,
取得最小值4,故4错误;
对于B,若x<%即2x-l<0,则函数y=2x+=(2x—1)++1
<-2l(2x-1).工+1=一1,当且仅当x=0,取得最大值一1,无最小值,故8正确;
对于C,若x,y>0,满足x+y+xy=3,由xy<丁7产,可得3<(x+y)+解得久+y>2,
当且仅当x=y=l时,取得等号,即x+y的最小值为2,故C错误;
对于函数v=—!—।---
D,」sin2%cos4x
14
(sin2x+cos2%)
sin2%cos4%
cos2x4sin2x
=5+^7+^7
4sin2xcos2x
>5+29,当且仅当2siMx=cos?%,取得等号,即有函数的最小值为9,故。正确.
cos2xsin2x
故选BD.
9.答案:3
解析:
本题考查基本不等式求最值,考查对数运算,属中档题.
依题意,得m+9n416①,又5+②,①x②得C+;)(m+9n)416,又根据基本不等式
得('+:)(m+9n)》16,此时m=3n,结合'+;+15=m+9n,求得m,n的值,根据对数运
算即可求得结果.
解:因为工+工<1,工+工+15=TH+9n,
mnmn
所以m+9n<16,①
—m+-n<1,②
因m>0,n>0,
所以①x②得(5+£)(m+9n)416,
又住+9(7n+9九)=10+—+->10+2l-x-=16,
\mn/mnyjmn
当空=巴,即m=3n时取等号,
mn
所以G+(m+9n)=16,且m=3n,£+:+15=m+9n,
解得m=4,n=p
所以log2(m+3n)=log28=3,
故答案为3.
10.答案:9
解析:
【试题解析】
本题主要考查了一元二次不等式的应用,以及根与系数的关系,同时考查了分析求解的能力和计算
能力,属于中档题.
根据函数的值域求出a与b的关系,然后根据不等式的解集可得/(x)=c的两个根为m,m+6,最后
利用根与系数的关系建立等式,解之即可.
解::函数/(x)=x2+ax+b(a,bGR)的值域为[0,+°o),
•••f(x)=x2+ax+b=0有两个相等的实数根,
即4=a2-4b=0,贝ij4b=a2,
不等式/(x)<c的解集为+6),
即为/+。%+力vc解集为(?n,7n+6),
则/+a%+b-c=0的两个根%i,不分别为徵,m+6,
m
工两根之差为|%i—x2|=l+6—m|=6,
根据韦达定理可知:
+%2=一©xix2=b—c,
•・・|%i-x2\=6,
・•・V(X1+%2)2-4%1%2=6,
・•・J(-a)2_4(4_c)=6,
•••y/4b—4b+4c=6>
解得:c=9,
故答案为:9.
ii.答案:|
解析:
本题考查解不等式求函数的最值,属于基础题.
由题意分子分母同除以x,然后由基本不等式和不等式的性质可得答案.
解:因为x>0,
2x2
所以y
X2-X+4X+--1
x
<-4=—=2
2房-13
当且仅当%=:即x=2时,上式取最大值|.
故答案为I.
12.答案:(-2,3)
解析:
根据二次函数的性质得到(x+1)(%-2)<4,解出即可.
本题考查了二次函数的性质,考查解不等式问题,是一道基础题.
解:••,二次函数/'(x)-x2+bx+c与无轴交于4(-1,0),8(2,0)两点,
:*x2+bx+c=(x+1)(%—2),
x2+bx+c<4,即(x+l)(x—2)<4,
解得:-2<x<3,
・•.不等式的解集是(-2,3),
故答案为:(-2,3).
13.答案:
解析:
本题考查了基本不等式的应用问题,考查了转化思想,属于基础题.
由x+2y=8可得£+(=久彳+2y)C+》,利用基本不等式可求出最小值.
解:v%,y67?+,且x+2y=8,
4
当且仅当学=手,即久=g,y=g时取等号,
:,孑+(的最小值为去
故答案为:
O
2xr4-1
14.答案:解:(I)解不等式-±L<],即上」<0,解得
x-\X~1
则6={x|-l<x<l卜
由于P是如勺充分不必要条件,则1空B,J=(x|(x-a)(x-a2)<0),
①当Q=Q2时,即当Q=0或。=1时,4=0,不合题意;
②当a<a2时,即当。<0或a>1时,A=|x|a<x<a21,
aN-1
・・・力基8,则〈2,,解得一1工。<0,
a<I
又当a=—1,/={x|-l<x<l}=6,不合乎题意.
所以一1<a<0;
③当。2<。时,即当0<。<1时,
>-1
-A^B,则《一,此时0<q<l.
a<l
综上所述,实数。的取值范围是(—1,0)=(0,D;
(2)由于P是q的充要条件,则4=8=(—1,1),
所以-1和1是方程f-(a2+a)x+a3=。的两根,
由韦达定理得4,.解得a=-l.
a3=-l
解析:本题考查利用充分不必要条件、充要条件求参数,考查运算求解能力,属于中档题.
(1)解出集合8,由题意得出4呈B,可得出关于实数a的不等式组,即可求得实数a的取值范围;
⑵由题意可知4=8,进而可得出-1和1是方程f-(。2+。卜+/=0的两根,利用韦达定理可
求得实数a的值.
15.答案:(1)证明:(a+b+c)《+q+3=3+弓+今+/+5+6+(),
因为a,b,c为正数,
所以(a+b+c)(:+/+:)》3+2J?,/+2/+2J,,:=3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c时取等号.
故工+W+1.
abc
(2)解:由(1)得巾2+2m-2W1,即?n?+2m-340,解得-3WmWl,
若p为真,则-3工TnW1.对于q,函数y=(血2一2)•2%是增函数,则血?>2,
若q为真,则m<—鱼或m>a,由“p或q”为真,“P且q”为假可知有以下两个情形:
若p真q假,贝4一管加,1'万解得一夜WmWl;
(-V2<m<V2,
什g&e"m<-3>1,
右p假q真,贝I”l一=解得血<一3或m>&.
Im<-V2^n>V2,
故实数血的取值范围是(一8,-3)11[-5/113(或,+8).
解析:本题主要考查了基本不等式、综合法证明不等式、不等式恒成立问题、复合命题真假的判定,
涉及一元二次不等式的解法、指数型函数的单调性,属于中档题.
(1)利用基本不等式先证明(a+b+c)&+:9,当且仅当a=b=c时等号成立,从而证明结
论成立;
(2)由(1)的结论及不等式恒成立得到nt?+2m-2<l,即p真时一3<m<1,若q真则有m<—夜或
m>a,再由条件知p,q必为一真一假,列不等式组求出结果.
16.答案:解:(1)由题意知,每年的费用是以2为首项,2为公差的等差数列,
设纯收入与年数n的关系为f(n),
则/'(n)=21n-[2n+x2]-25
=2On—n2—25,
由/(n)>0,得足-20n+25<0,
解得10-5V3<n<10+5V3.
又因为N,,
所以n=2,3,4,……18.
即从第2年该公司开始获利;
(2)年平均收入为
平=20-(0+高W20-2X5=10,
当且仅当n=5时,年平均收益最大.
所以这种设备使用5年,该公司的年平均获利最大.
解析:本题考查了函数模型的应用,等差数列前兀项和,考查了利用基本不等式求最值,属于中档题.
(1)由题意知,每年的费用是以2为首项,2为公差的等差数列,由等差数列的求和公式求解即可;
(2)直接由基本不等式求最值.
17.答案:解:(1)由题意,不等式-mx-2<0恒成立,
①当m=0时,显然一2V0成立,所以m=0时,不等式?n/一m%一2<0恒成立;
②当时,只需{%2+.<0,解得-8<^<。
综上所述,实数m的取值范围为(一8,0].
(2)要使对于%6[1,3],f(%)>-m+2(%-1)恒成立,
只需7n/_mx+ni>2%恒成立,
只需m(M—%+1)>2%,
又因为/-%+1=(%-+[>0,
2x
只需m>z,
x2-x+l
“2x22,I一
令'=3与71=二=F?则只前m>%nax即可
XX
因为》+工22「^=2,当且仅当%=工,即x=l时等式成立,
XXX
因为XE[1,3],
所以'max=2,
所以772>2.
解析:【试题解析】
本题考查二次函数,考查不等式恒成立问题,考查分析与计算能力,属于基础题.
(1)①若m=0,则不等式变为一2<0恒成立,满足题意;②若m#0,则(、<;*',,解出
得到小的取值范围即可;
(2)要使对于xG[1,3],/(x)>-m+2(x-1)恒成立,分离参数得m>正气?令y=j],只需
M>ymax即可,计算求解即可得到答案・
18.答案:解:(1)不等式(l-a)/-4x+6>0的解集为{划一3<%<1},
1-a<0,且方程(1-a)/一4久+6=0的两根为一3,1;
f—=-3+1
由根与系数的关系知1/,
(工=-3
解得a=3;
(2)不等式3/+mx+3>0的解集为R,
则4=m2—4x3x3<0,
解得一6<m<6,
・•・实数m的取值范围为[-6,6].
解析:【试题解析】
本题考查了一元二次不等式的解法,考查了一元二次方程的根与系数的关系,属于基础题.
(1)根据题意得到方程(1-d)x2-4x+6=0的两根为一3,1,由韦达定理可得到结果;
(2)根据一元二次不等式解集为R,利用判别式AWO,求出zn的取值范围.
19.答案:解:(1)不等式(1-a)/-4x+6>0的解集为{x|-3<x<1},
1-a<0,且方程(1一&)/-4刀+6=0的两根为一3,1;
f—=-3+1
由根与系数的关系知广丁_3,
解得a=3;
(2)不等式3/+mx+3>0的解集为R,
则4=7n2—4x3x3<0,
解得-6<m<6,
・•・实数m的取值范围为[―6,6].
解析:【试题解析】
本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系和应用问题,考查分析与计算能力,属于基础题.
(1)一元二次不等式与对应方程的关系,由韦达定理计算求出a的值;
(2)根据一元二次不等式解集为R,利用判别式ASO,求出m的取值范围.
20.答案:(1)解:x2—(a++1<0,
可化为(x—a)(x—》<0,
因为0Va<1,
所以a<x<-,
a
所以不等式/一(a++1<0的解集为(a,》.
(2)解:关于%的不等式a/-6%+a2<。的解集是(Lm),
2
则1和m是方程Q%2—6%4-a=0的两个根,且a>0,m>1,
所以a—6+M=o,解得Q=2或—3(舍去),
可得到2/—6%4-4=0,即/一3%+2=0,
解得:x=1或2,
所以m=2.
解析:(1)本题考查一元二次不等式的解法,属于基础题.
原不等式可转化为(X-a)(x-9<0,根据0<a<1,确定大小根,即可得到答案.
(2)本题考查一元二次不等式的解法,属于基础题.
由关于x的不等式aM-6x+a?<。的解集是可以得到1和m是方程a/-6x+a?=0的两个
根,且a>0,由此得到rn的值.
21.答案:解:(1)由题意,若g(x)20对任意x>0恒成立,
即为——mx+1>0对%>0恒成立,
即m<%4-:在x>。恒成立,
转化为求X+1在x>0时的最小值,
因为x+[22,当且仅当x=1时取“=”,
所以m<2.
(2)不等式可化为——(m4-l)x+m>0,
分解因式可得(%-m)(x-1)>0,
由m>1可得,x<1或%>m,
所以不等式的解集为(—8,1)u(m,+8).
解析:本题考查一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题,涉及基本不等式求最值,属于基础题.
(1)问题可化为m<x+:在X>0恒成立,由基本不等式求出X+:在x>0时的最小值即可;
(2)不等式可化为(x-m)(x-1)>0,由m>1可得不等式的解集.
22.答案:解:(1)/(%)>a—3即无2—ax>a—3,x2—ax—a+3>0恒成立,
所以4<0,即a?—4(—a+3)V0,
(Q+6)・(Q—2)V0,
解得一6<a<2,即实数a的取值范围是{可一6VQV2).;
(2)因为%>y>0,且xy=2,
所以/—ax+y2—ay+2ay>0即%2+y2—a(%—y)>0,
又因为%—yH——>2/(%—y)•--=4,
x-y、x-y
4
当且仅当x-y=U时,即x=l+g,y=-l+百时取等号,
x—yJ
所以a44,所以实数a的取值范围是(一8,4]..
解析:本题主要考查不等式恒成立,不等式求解以及利用基本不等式求最值,考查了推理能力与计
算能力,属于中档题.
(1)由题意,可得/-ax-a+3>0恒成立,根据A<0,由此可求出a的取值范围;
(2)通过分离参数法,结合基本不等式求最值,即可得出答案.
23.答案:解:
(1)当a=0时,-(x+1)>0,即:x<-1;
(2)当a>0时,(x-i)(x+1)>0,即:》<—1或%>;;
(3)当Q<0时,(%-^)(x+1)<0,
若一1VQ<0,则工<%v—l;若Q=—1,则无解;若av—1,则一1VXV工.
aa
综上:原不等式的解集分别为
当Q<一1时,{%|-1V%V:};
若a=—1时,0;
当一1<QV0时,{%|/V%V-1}
当Q=0时,{%[%<—1];
当Q>0时,{%|%<-1或%>(}.
解析:先利用不等式(。%-1)(%+1)>0得出对应方程(a%—1)(%+1)=0的根,再结合根的大小对
参数a的取值范围进行讨论,分类解不等式
24.答案:解:・・"(%)+2%>0的解集为(1,3),
・•・/(%)4-2%=a(x-1)(%—3)且a<0,
:./(x)=a(x—1)(%—3)—2%=ax2—(2+4a)x+3a,
又f(%)+6Q=0得a7—(2+4a)x+9Q=0,
,・・方程Q--(2+4a)x+9Q=0有两个相等的根,
・•・4=[—(2+4a)]2—4a-9a=0,BP4a2—4a—1=0,
解得a=-3可取)或a=1(舍),
...y(x)=
解析:本题考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程之间的关系,属于基础题.
由/(x)+2x>0的解集为(1,3),得/(x)+2x=a(x-1)(%-3)且a<0,f(x)+6a=0得a/-(2+
4a)x+9a=0,有两个相等的根,4=[-(2+4a)]2一4a•9a=0,解得a=-9可取)或a=1(舍),
得解析式.
25.答案:解:(1)因为/(x)<0的解集为G”),
所以a1为方程f(x)=。的两个根,
由韦达定理得:[[二*3,解得a=2;
I-=2
(2)由/(%)>0得:ax2-(a+l)x+1>0,所以(ax-1)(%-1)>0,
因为aV0,.,・(%—:)(x—1)V0,而:<11
所以不等式的解集为弓,1).
解析:本题考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与相应函数方程的关系,属于中档题.
(1)根据一元二次不等式解法可知点1为方程/(%)=。的两个根,然后利用韦达定理求解即可;
(2)含有参数的一元二次不等式要注意根大小的比较.
26.答案:证:(1)要证Vl+a>^==,
只要证"1+Q•V1-6>1,
故只要证(1+a)(l-b)>1,即a-b-ab>0,
111
1得
a>--->-
匕ab故b>0,
由a>0,6>0且广嗟>1,可得。-—防>0成立,
故原不等式成立.
(2)假设三式同时大于%即(1-a)bb)cc)a>
三式同向相乘得(1-a)b(l-b)c(l-c)a>
由a,b,cG(0,1),可知1—a>0,1-b>0,1-c>0
由,(l-a)a<空岁=|
则有—=:,同理(l—b)b4(,(l-c)c<i,A(1-a)a(l-b)b(l-c)c<
当且仅当a=b=c=之时等号成立.
这与假设矛盾,故原命题正确.
解析:本题考查不等式的证明问题,属于中档题.
(1)要证K1+a>而■,只要证a-b-ab>0,运用已知条件证明即可;
(2)可用反证法,假设(l—c)a>%由基本不等式得(1-a)aW
(亨%同理—(1-c)c<i,于是有(1一a)a(l-b)b(l-c)c4去,与假设找出
矛盾.
27.答案:解:(1)由2x+8y-xy=0,得g+:=l.
又x>0,y>0,所以1=勺+222=4,
Xyyjxyy/xy
得“EPxy>64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得?+j=l,
则X+y=6+l)(x+y)=10+j+^>10+2后号=10+8=18,
当且仅当x=12,y=6时等号成立,
所以x+y的最小值为18.
解析
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