第1节等差数列、等比数列的概念及求和1

第六章数列

第一节等差数列、等比数列的概念及求和

第一部分六年高考体题荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.(2010浙江理)(3)设S“为等比数列｛2｝的前〃项和，8%+%=0,则邑=

S]

(A)11(B)5(C)-8(D)-11

解析：通过8a2+%=0，设公比为4,将该式转化为8%+%/=0,解得q=-2,带入

所求式可知答案选D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式,

属中档题

2.(2010全国卷2理)(4).如果等差数列｛4｝中，%+4+%=12，那么q+a2+...+a7=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.

[解析】%+%+%=3a4=12,4=4,/.a｝+a,H--F%=Jr)=7%=28

3.(2010辽宁文)(3)设S“为等比数列｛2｝的前〃项和，已知3s3=&-2,3s2=q-2,

则公比q=

(A)3(B)4(C)5(D)6

【答案】B

解析：选B.两式相减得，3a3=2一生，«4=4a3,.,.q=—=4.

4.(2010辽宁理)(6)设｛a,.)是有正数组成的等比数列，5„为其前n项和。已知染④=1,=7,

则s$=

,、15,、31—33,、17

(A)——(B)——(C)—(D)——

2442

【答案】B

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能

力。

【解析】由a.=1可得因此弓=1,又因为S3=q(l+q+/)=7,联力两式

q

1114_(1一,)31

有(一+3)(——2)=0,所以q=—，所以$5=-------3―=—,故选B。

qq24

2

5.(2010全国卷2文)⑹如果等差数列｛4｝中，%+。4+。5=12,那么%+%+*“+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【解析】本题考查了数列的基础知识。

..%+&+/=12.%=4%+%+…+%=97*(%+%)=7%=28

•,••

6.(2010安徽文)(5)设数列｛”“｝的前n项和S“=”2，则知的值为

(A)15(B)16(C)49(D)64

【答案】A

【解析】G=S8-S7=64-49=15.

(方法技巧】直接根据a,=Sn-S)1(〃>2)即可得出结论.

7.(2010浙江文)(5)设s“为等比数列｛%｝的前〃项和，8a2+%=0则区=

(A)-ll(B)-8

(C)5(D)ll

解析：通过8a2+%=o,设公比为4,将该式转化为8a2+//=0,解得q=-2,带入

所求式可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式

8.(2010重庆理)(1)在等比数列｛%｝中，电。1。=8。2。。7，则公比q的值为

A.2B.3C.4.D.8

【答案】A

解析：—=/=8.-.q=2

a2001

9.（2010广东理）4.已知｛〃“｝为等比数列，S是它的前〃项和。若。2,。3=2%，且应与

2%的等差中项为;，则$5=

A.35B.33C.31D.29

【答案】C

解析：设｛〃“｝的公比为q,则由等比数列的性质知，=2%，即。4=2。由%

与2%的等差中项为1知，“4+2。7=2*1,即%=5（2X1-4）=5（2X7—2）=w.

q，="=g,即q=；.&=a/=%xg=2,EPa,=16.

10.（2010广东文）

4.已知数列忆}为等比数列，名是它的前〃项和.若％q=%且为与

2a.的等差中项为:，则邑=

A.35B.33C.31D.29

:a?"a?=*a^q=2。］=2

e3、5.351q2

=2x——.+4q=——q=一,可=—?-=—：―=16

422q’1

y

,16（1-A）

故：S}=-----4=32（1-上）=32-1=31,选C

l-l32

一9

11.（2010山东理）

（9）设｛生｝是等比数列，则"a：<公是数列｛生｝是递噌数列的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件、

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条化

【答案】C

【解析】若已知aja?<a3，则设数列｛aj的公比为q,因为aJazVa?，所以有a^aiquaiq?,解得q>l,

且a-0,所以数列｛aj是递噌数列；反之，若数列｛aj是递噌数列，则公比q>l且a^O,所以

a^a^ajq2.即a]<a2<a3，所以aja?43是数列｛a1是递增数列的充分必要条件.

【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题.

12.（2010重庆文）（2）在等差数列｛4｝中，％+为=10,则%的值为

（A）5（B）6

（C）8（D）10

【答案】A

解析：由角标性质得％+%=2%，所以%=5

二、填空题

1.（2010辽宁文）（14）设S“为等差数列｛4｝的前“项和，若S3=3,56=24,则

S3=3qH----d—3

2，解得%=-1

解析：填15.，/.%=q+8d=15.

56=61+殍1=24d=2

2.（2010福建理）11.在等比数列｛aj中，若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的

通项公式a“=

【答案】4n-'

【解析】由题意知％+4q+16q=21,解得％=1,所以通项%=4"二

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。

3.（2010江苏卷）8、函数y=x2（x>0）的图像在点（&,城）处的切线与x轴交点的横坐标为k

为正整数，a?=16,则ai+as+a^

解析：考查函数的切线方程、数列的通项。

在点（a,a力处的切线方程为：？一%，=2%5-&）,当丁=0时，解得》=今

所以4+i=*,%+。3+。5=16+4+1=21。

三、解答题

1.（2010上海文）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个

小题满分8分。

已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且S”=〃—5a,-85,nwN”

（1）证明：｛a“一1｝是等比数歹U；

（2）求数列｛SJ的通项公式，并求出使得>S”成立的最小正整数〃.

解析：⑴当时，a=—14；当〃22时，a,尸SLS_I=—5a“+5a,i_i+l,所以a“-1=*(《,_]-1),

6

又团-1=-15关0,所以数列｛a,T｝是等比数列;

n-1

(2)由⑴知：an-l=-15-^,得见=1-15・弓)I,从而

S“=75(3+n-90(/TEN*)；

由SGS”得⑶<-,„>log,—+1=14.9,最小正整数ml5.

2.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）

已知｛a,,｝是公差不为零的等差数列，&=1,且d,as,办成等比数列.

（I）求数列｛4｝的通项；（H）求数列｛2巧的前。项和S.

解（I）由题设知公差拄0,

山&=1,研，a,晶成等比数列得匕2=匕留，

11+24

解得仁1,d=。（舍去），故｛4｝的通项8=1+（/?-1）X\=n.

（II）lU（I）知2,—二2〃，由等比数列前n项和公式

SM=2+22+2：'+…+2三20—2)-2田-2.

1-2

3.（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）

已知｛4｝是各项均为正数的等比数列，且

4+。2=2(---1---),%+。4+。5=64(—I----1—)

a\a2“3a4a5

(I)求｛4｝的通项公式;

(n)设打=&+—)2,求数歹ij也,｝的前〃项和7；o

a„

【解析】本题考查了数列通项、前九项和及方程与方程组的基础知识。

(1)设出公比根据条件列出关于.与“的方程求得《与"，可求得数列的通项公式。

(2)由(1)中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分

成两个等比数列分别求和即可求得。

4.(2010江西理)22.(本小题满分14分)

证明以下命题：

(1)对任一正整a,都存在整数b,c(b<c),使得b2,成等差数列。

(2)存在无穷多个互不相似的三角形△),，其边长6，b„,%为正整数且a；,c,,2

成等差数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

(1)考虑到结构要证=2/,；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值『,52,72满足等差数列，只需取b=5a,c=7a,对一切正整

数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角

形，再证明互不相似，且无穷。

证明:当个，%q：成等差数列，则

分解得：依+)依-an)=(c,+bn)(cn-b“)

选取关于n的一个多项式，4〃(〃2一1)做两种途径的分解

4〃(〃2-1)=(2/2-2)(2〃2+2n)=(2/-2〃)(2〃+2)4n(n2-1)

an=-2〃-1

2

对比目标式，构造（bn=n+\（H>4）,山第一问结论得，等差数列成立，

%="2+2〃-1

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正.整数m,n,若△m,△n相似：则三边对应成比例

m2-2m-1_+1_机？+2m-1

n2-2n-\n2+1n2+2^-1

由比例的性质得：'二!■="土1=>机=〃，与约定不同的值矛盾，故互不相似。

n-\〃+1

5.（2010安徽文）（21）（本小题满分13分）

设£,。2,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线

y=j-x相切，对每一个正整数〃，圆G都与圆C,l+I相互

外切，以/；,表示C“的半径，已知｛/｝为递增数列.

（I）证明：为等比数列；

（H）设6=1,求数列｛-｝的前〃项和.

【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括

能力以及推理论证能力.

【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为（4,0）,得4=27同理得

4+1=2乙用，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即匕,｝中《用

与乙的关系，证明化,｝为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列上n,

然后用错位相减法求和.

解：⑴将直线y=@x的倾斜角记为，则有tan外也,sin。」，

332

设G的圆心为（4，0），则由题意得知?=L得4=2%;同理

42

=2rn+l,从而4+]=4+r0+rn+1=2rn+1,将4=2%代入,

解得1=39

故卜n|为公比q=3的等比数列。

（II）由于七=1,q=3,故rn=3"T,从而R=n*3i,

rn

记Sn=1---F+-,则有

nr,r„

-1-21-

Sn=1+2*3+3*3+……n*3"

S

胃=1*3-1+2*3-2+…+（〃—1）*3一，+〃*3-"

①-②，得

2S

。=1+37+3-2+...+3~-〃*3-"

3

3

..S=四22

"4224

【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关

于数列相邻项4与%+i之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通

项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成

的数列时，通常是利用前n项和S“乘以公比，然后错位相减解决.

6.（2010重庆文）（16）（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分.）

已知｛%｝是首项为19,公差为-2的等差数列，S“为｛《｝的前〃项和.

（I）求通项及S,；

（II）设是首项为1,公比为3的等比数列，求数列｛a｝的通项公式及其前〃

项和却

解：(I)因为I。」是首项为与=种,公差d=-2的等差数列.

所以册=19-2(。-1)=-2“+21,

S、=I9n+”5]■•(-2)=-a*+20n.

(H)由题意A=3-',所以b.=3-'-2n+21.

T.=S.+(1+3♦-+3-')

=-n1+20n+3；1.

7.（2010浙江文）（19）（本题满分14分）设a”d为实数，首项为a”公差为d的等差数

列瓜｝的前n项和为S„,满足S5s6+15=0。

(I)若Ss=5,求56及出；

（II）求d的取.值范围。

<I>解:Hi用泌.&iS.=«-3.

«*-Sy-

所以「id』

解犯。,・7.

所以S.=-3.a,=7.

《II)解：因为S,S,♦IS«O,

质KUS%•IW)(64(»I5J)»15=°.

,

3i2(i1»9<4>t♦UM'-I-0.

校2%S.

所以丁>&

故4例取值也用力dW-2万园43区.

8.（2010北京文）（16）（本小题共13分）

已知|为|为等差数列，且％=-6，4=0。

（I）求|a,|的通项公式;

（II）若等差数列||满足年=一8,%=%+%+%，求也,I的前n项和公式

解：（I）设等差数列｛4｝的公差d。

因为%=-6,40

16f,+2d=-6

所以《।解得力=—10,d=2

[q+5d=01

所以%=-10+（〃—l>2=2〃—12

（ID设等比数列也,｝的公比为q

因为％=〃]+。2+%=—24/=-8

所以一的二一24即q二3

所以｛b„]的前〃项和公式为Sn=型二g=4（1-3"）

1-q

9.（2010四川理）（21）（本小题满分12分）

已知数列｛&｝满足&=0,&=2,且对任意以、都有

阳—1I3.2/1—12Hm+n—lI2（加71）~

（I）求55；

（II）设4=瓯+L&1（〃=V）,证明：｛（是等差数列;

（IH）设。〃=（4+】一&）/（gWO,neN）,求数列｛c〃｝的前〃项和S.

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决

问题的能力.

解：（1）由题意，零〃=2,可得色=2/一句+2=6

再令勿=3,〃=1,可得法=2&-a+8=20........................2分

⑵当〃金N*时，由已知（以〃+2代替血可得

52/1+34-32n-\~2a?n+1+8

于是[4S+D+1-―（例〃+1-O2n~\）—8

即bn+1一必=8

所以伪才是公差为8的等差数列.....................................5分

（3）由（1）（2）解答可知｛4｝是首项为5=&-&=6,公差为8的等差数列

==

则bf）8n—2,即32fLi—32H-i8/1—2

另由已知（令加=1）可得

2

那么an+La尸“2”+|+〃2〃-1—2/7+1

=2〃

]

于是cn=2n(f~.

当(z=l时，S=2+4+6+.......+2〃=〃(〃+1)

当qWl时，S=2•q+4•，+6•q++2/7•q~｛.

两边同乘以s可得

qS„—2•d+4•q+6•q++2/7•Q.

上述两式相减得

(1-g)S=2(1+q+q++^；1)—2nq

—z•---------Inq

"q

_2/一(〃+1)/+的向

i-q

所以s,=2・"“—(〃+y+i

(q-1)?

n(n+l)｛q=1)

综上所述，〃/川_(〃+1)/+1.........................................12分

__(TIP(")

10.(2010全国卷1理)(22)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

已知数列｛““｝中，=l,a„+,=c-—.

an

(i)设c=2也=一^,求数列也,｝的通项公式；

2ci„—2

（II）求使不等式见<出<3成立的c、的取值范围.

分析：本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查或

析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查

第（口）小题难度较大，学生不易得分。

解:⑴由已知有”2吊±2=爰,.•.+=含=号+2f=4V2』+.她+§

717119

.•.｛4+三｝是一个首项为-匕公比为4的等比数列.2+±=-L4*T即勾=-匕4”-1-4

333333

（口）由的=1,。2=。一工:得C>2下面用数学归纳法证明：当c>2时，％<见书

%

（1）当71=1,时，%=C------>的,命题成立；

%

（2）假设〃=上时，ak<ak^,那么当〃=幺+1时，。无+2=。一一->c--=ak^.

出封ak

由(1).(2)可知当c>2时，an<a^

c+yjc2-411_

当时，令

c>20：=---------，由&+—<%+i+一=c,^an<a.

2%%

当2<c«吧时，a„<a<3.

3

当c吟时,"3,且14…,.«3表33扣一)即“融-1),

a—1

而当力>log3----时，2一氏44<。一3,%7>3.不满足题意故舍去。

a-3

综上C的取值范围为

11.（2010山东理）（18）（本小题满分12分）

已知等差数列｛6,｝满足：%=7，%+%=26,｛凡｝的前〃项和为S”.

（I）求4及S“；

（II）令b,r—^—（neN,）,求数列也｝的前n项和7；.

%T

【解析】（I）设等差数列｛a“｝的公差为d,因为%=7,%+%=26,所以有

4+2d=7

解得％=3,d=2,

2%+10d=26

n^n-^x2=n2+2n

所以%=3+2(1户2n+l；S“=3n+

2

1_1J_1

(II)由(I)知a“=2n+l,所以b,p—•(------)

o„2-r(2n+l)2-l4n(n+l)4nn+1

所以T+--L)=l.(i--L)=n

"4223nn+14n+14(n+l)

即数列也,｝的前〃项和7；=需不

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前〃项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟

练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

2009年高考题

一、选择题

1.（2009年广东卷文）已知等比数列｛%｝的公比为正数，且的•他=2%2，%=1，则%=

1/y

A.—B.---C.I）.2

22

【答案】B

【解析】设公比为外由已知得％如.6/=2（%/『，即“2=2,又因为等比数列｛%｝的公

比为正数，所以q=血，故q="=—尸=——，选B

-7V22

2.（2009安徽卷文）已知为等差数列，■+■+,=10工叫+■+■=*,则一等

于

A.-1B.1C.3D.7

【解析】ai+a3+a5=105即3a3=105a｝=35同理可得a,=33公差d=a4—a）=—2/.

«20=a4+（20-4）xrf=l.^Bo

【答案】B

3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列｛6,｝的前〃项和为S”.若4是%与%的等比中

项，S8=32,则号0等于

A.18B.24C.60D.90

【答案】C

【解析】由<Z4-a3ai得(q+34)2=(q+2d)(%+6d)得2q+3d=0,再由

S8=8^+yJ=32得24+7d=8贝ijd=2,a,=-3,所以

90

A。=104+51=6(),.故选C

4.(2009湖南卷文)设S〃是等差数列｛4｝的前n项和，已知々=3,R="，则邑等于

()

A.13B.35C.49D.63

【解析】S产出等=曰=*=49.故选C.

出=q+d=34=1

或由<a7=1+6x2=13.

4=q+5d=11d=2

所以附誓必笑―故选C.

5.（2009福建卷理）等差数列｛4｝的前n项和为S,,且S3=6,4=4,则公差d等于

A.1B-C.-2D3

3

【答案】：C

3

［解析］:$3=6=5（。|+%）且。3=〃i+2d〃］=4d=2.故选C

6.（2009辽宁卷文）已知｛%｝为等差数列，且%—2%=—1,%=°，则公差d=

A.—2B.——C.—D.2

22

【解析】ai—2a.i=aa+4d—2闻+（1）=2d=—1=>d=——

2

【答案】B

7.（2009四川卷文）等差数列｛册｝的公差不为零，首项为=1,%是卬和肉的等比中

项，则数列的前10项之和是

A.90B.100C.145D.190

【答案】B

【解析】设公差为d,则（l+d>=l（l+4d）.Yd#0,解得d=2,二a。=100

8.（2009宁夏海南卷文）等差数列｛凡｝的前n项和为S“，已知4i+%,+1—%=0,

52"1=38,则加=

A.38B.20C.10D.9

【答案】C

【解析】因为｛。"｝是等差数列，所以，am_｛+am+l=1am,由+勺+1-晨=0，得：2怎,

一见「=0,所以，。,“=2,又邑时|=38,即（2〃2T）（；迦-J=38,即（2m-l）X2

=38,解得m=10,故选.C。

9..（2009重庆卷文）设｛4｝是公差不为0的等差数列，%=2且成等比数列，则

｛q,｝的前〃项和5〃=（）

人/Inn25n八n23〃、2

A.---1---B.---1---C.---1---D.n~+n

443324

【答案】A

【解析】设数列｛为｝的公差为d,则根据题意得（2+2d）2=2-（2+5d）,解得d=g或

d=0（舍去），所以数列｛4｝的前〃项和S0=2〃+迎二=

二、填空题

10.（2009全国卷I理）设等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，若Sg=72,则％+%+%=_

答案24

解析•••｛q,｝是等差数列，由59=72,得.♦.$9=9%,%=8

/.生+%+%=（a2+%）+%=（%+a6）+〃4=3%=24.

11.（2009浙江理）设等比数列｛凡｝的公比q=J,前〃项和为S,,,则&=__________.

2a4

答案：15

解析对于=-^-~—,«4—=~j~--=15

1-q&

12.（2009北京文）若数列｛凡｝满足：q=l,a“+[=2a“（〃eN*）,则％=；

前8项的和$8=.（用数字作答）

答案225

解析本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算

的考查.

a｝=l,a2=2a｝=2,a3=2a24,a4=2a｝=8,a5=2<74=16,

28-1

易知Sg=-----=255，,应填255.

82-1

13.(2009全国卷H文)设等比数列｛凡｝的前n项和为s“。若％=1,56=4s3，则％=___3

答案：3

3

解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由q=1,56=4s3得qJ3故a,,=a,q=3

q

14.(2009全国卷n理)设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若。5=5%贝IJ'=__________

S5

解析・・・｛〃“｝为等差数列，・・・也=丝=9

S55%

答案9

15.(2009辽宁卷理)等差数列｛凡｝的前〃项和为S〃，且6s5-5§3=5,则。4=

解析VS=nai+-n(n—l)d

n2

/.S5=5ai+10d,S3=3a1+3d

.,.6S,5-5S3=30ai+60d-(15a1+15d)=15ai+45d=15(ai+3d)=15a1

答案I

三、解答题

16.(2009浙江文)设"为数列｛凡｝的前〃项和，S“=h?+〃，〃eN*,其中攵是常数.

(I)求力及%;

(II)若对于任意的加cN*,ain,a2m,〃成等比数列，求攵的值.

解(I)当〃=1,4=S]=k+l,

12

n>2,Q〃=Sn-Sn_｝=kn+n-[k(n-I)+(n-1)]=2kn-k+1(*)

经验，n=1,(*)式成立，/.an-2kn

(II)成等比数列，。2/="4,"'

即（4女加_/+1）2=（2&加_k+1）（8&也_%+]）,整理得:〃洪（左一1）=0,

对任意的meN*成立，/.k-O^k=1

17.(2009北京文)设数列｛4｝的通项公式为4=p〃+q(〃eN*,P>0).数列出｝定义

如下：对于正整数m,幻是使得不等式a„>m成立的所有n中的最小值.

(I)若"=；,《=一；，求4；

(II)若p=2,q=-1,求数列他」的前2必项和公式；

(III)是否存在0和g,使得〃“=3机+2(〃zeN*)?如果存在，求0和g的取值范围；如

果不存在，请说明理由.

【解析】木题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、

分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题.

解(I)由题意，得/解得〃2型.

"23233

>3成立的所有n中的最小整数为7,即4=7.

233

(II)由题意，得。〃二2〃-1,

rn+1

对于正整数，]llan>m,得“2竺

根据篇的定义可知

当〃z=2左一1时，b“,=k(kGN*)；当"1=2人时b,“=k+l(k€N*).

4+a+…+〃2,“=(■+优+…+〃2,“-1)+(%+。4+，-+%,")

=(l+2+3+---+m)+[2+3+4+---+(/72+l)]

+m(m+3),

=-----4-------=nr+2nl.

22

(III)假设存在。和g满足条件，由不等式+及p>0得二9.

P

Vbm=3m+2(meN*),根据粼的定义可知，对于任意的正整数m都有

3m+1<<36+2,即一2p—q<(3p—1)加<-p—q对任意的正整数而都成立.

P

当3p—l>0(或3p-l<0)时，得机<一公义(或mW-女士幺),

3p-l3p-1

这与上述结论矛盾！

12121

当3〃一1=0,即〃=—时，得----q<0<----q,解得—<q<——.

33333

工存在p和q,使得〃“=3m+2(/7?wN")；

121

夕和。的取值范围分别是p=§,

18.(2009山东卷文)等比数列｛｝的前n项和为S〃，已知对任意的neN+，点(%S〃),

均在函数y="+r3>0且bH1也r均为常数)的图像上.

(1)求r的值；

>7+1

(11)当b=2时，记b.=——(〃eN+)求数列也,｝的前〃项和7；

44

解:因为对任意的〃€N+,点(〃,SJ,均在函数y=厅'+rg〉0且bH\,b,r均为常数)的图

像上.所以得S“=6"+r,

当〃=1时，q=S]=b+r,

当”22时，an=Sn-S,i=。"+「-+r)=b"—h'-'=(b-l)b"-',

又因为｛4｝为等比数列，所以r=—l,公比为所以a“=3—l)b"T

〃+1〃+1〃+1

(2)当b=2时,a=(b-l)b"~'=2'"',b=

nn4a,,4x2"-'2n+1

234〃+1

则C+尹+.+…+——7-

2"+i

234n〃+l

••H-----+

域+牙+尹+・2"+,2"+2

相减，得;7；=京+■+1n+1

+2”+i2"2

1/(尸)n+1_31n+1

-+

21」42n+,2"+2

2

31〃+13〃+3

所以7；

22n2"+'22H+I

【命题立意】：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式,以及已知S“求。”的基本题型，并

运用错位相减法求出等比数列与噂差数列对应项乘积所得新数列的前八项和T”.

19.(2009全国卷H文)已知等差数歹!)｛%｝中，%的=-16,%+。6=°，求｛见「前n项

和力•

解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。

解：设｛《,｝的公差为d,则

(q+2d)(q+6")=-16

<

%+3d+q+5d=0

自2+8加+12,=-16

即4

q=-4〃

a,=-8,3[a.=8

解得41或「

d=2,d=-2

因此S〃=-8n4-n(H-l)=H(H-9),或S“=8H-/I(M-1)=-A?(H-9)

20.(2009安徽卷文)已知数列｛.｝的前n项和4="+切，数列占｝的前n项和

4=2f

(I)求数列｛■｝与｛4｝的通项公式；

(II)设证明：当且仅当n23时，‘♦】<7

【思路】由“=(，，=1)可求出和我，这是数列中求通项的常用方法之一，在

ls“-s“T(〃22)

求出明和〃，后，进而得到c“，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。

【解析】(D由于q=访=4

2

当”22时，an-sn-5„_1=(2”2+2n)-[2(n-l)+2(〃-1)]=4〃/.am-4n(/ieN*)

又当x2〃时勿=7；-%-(2-6“,)-(22b,,=如

数列也,｝项与等比数歹打其首项为1,公比为;.也=(g)i

°16(〃+1)2人)”

(力+1)2

⑵由⑴知。=4；丸=16〃2.5+1_2

2n2

由J±L<1得(〃+1)<1即〃2-2〃_1>0.・.〃>1+也即”23

C.2〃

又“23时鱼半<1成立,即9迎<1由于C,,>0恒成立.

2/G

因此，当且仅当〃23时，C„+I<C.

21.（2009江西卷文）数列｛6｝的通项%=〃2（cos2早-sinz票），其前〃项和为5“.

⑴求5“；

⑵bn=斗,求数列｛b„｝的前n项和Tn.

n'4'

/八T2n兀-2〃兀2n兀j,

解：（1）由于cos----sin--=cos----，故

333

S3k=(q+4+%)+(&+%+“6)+…+(%*-2+a3k-\+a3k)

=(一苧+32)+(一胃+62)+…左詈出+的))

1331侬一51(9吠+4)

一+一++---------

2222

k(4—%)

S3A-I=S3k-a3k

2

C0灯4一9%),(3%-Ip13k-21

=-^+不-=丁=-丁-]

n1

n=3k—2

—3—1

(〃+l)(l-3〃)

n-3k-\(kwN*)

6

n(3n4-4)

n—3k

6，

9/z+4

2-4"

丁113229/z+4

Trf+不+一二]n，

包,=加+,+…+岩,

两式相减得

9_2

1_999n+4、1-c44"9〃+4、19n

3T,=­[ri13d--1-…H---：-------]=-[13H-----------]—8o—；------

"244"T4"2.14"22"~322,,+,

1-----

4

物T=8__1_____3«_

“乂3322"-322,,+|,

22.（2009天津卷文）已知等差数列｛%｝的公差d不为0,设S“=%+%4+…+