古代中国数学省公开课一等奖全国示范课微课金奖

长治学院数学系

副教授:秦少青中世纪中国数学第1页希腊几何演绎精神伴随希腊文明衰微而消失，之后便是漫长东方数课时期，除了埃及外，河谷地域再次成为数学活跃舞台，而主角换成了中国、印度与阿拉伯。第2页我国古代数学是自己独创发展起来.她不像古希腊文化那样用几何图形来结构世界，我国数学一开始便重视实际，重视数与形结合，从实践中逐步发展完善起来第3页1.算术、算学、数学等名称起源。数学，我国古代叫做算术，以后又叫算学，又叫数学，近几十年来才确定统一叫做数学。算术：普通是指计数、数初等运算及一些几何学中应用。如自然数、分数、小数四则运算、乘方、开方等运算。第4页古代“算”字有三种写法：筭,算，祘。许慎《说文解字》作以下解释：“筭”，长六寸，计历数者。从竹从弄，言常弄及不误也。“算”，数也。从竹从具，读若“筭”。“筭”或“算”都是一个竹制工具，是几寸长竹鉴，也叫做筹码。用来记数、计算或卜卦。摆弄这些“算”有一套技术或学问，自然就叫做“算术”或“算学”。第5页“祘”由两个“示”字合成。《说文》解释“示”字说:“示”，神事也。“二”是古文上字。三竖（后写成一竖两点）是日、月、星。古人认为天上有神灵，神表示是从上面下来筹同时也来占筮第6页凡属鬼神字多用“示”字旁，如：保祐，祷告，祈祷，坐禅，祠堂祝福禄祸等。第7页记数历史演变：手指记数石子记数结绳记数、刻痕记数。《周易·系辞下》有“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”之说，“结绳而治”即结绳记数，“书契”就是刻划符号。第8页

中国筹算数码：（公元前500年左右）：纵式

横式

123456789第9页用两套方法表示是为了防止把12这么数错写为3,如12写为而3写为而交替使用两套,即在10奇数幂位置上用横式,10偶数次幂上用纵式,这么12写出来就是以下数分别写为:4311325682第10页甲古文“”字是“数”出处，它是结绳计数像形。左边是一根打了许多结，上下是散乱绳头，右边似“”就是右手。所以整个字反应了用手结绳记数形象。第11页“算”，有数学史学家考证甲骨文或金文中从未发觉过这个算字.所以它出现年代不可能早于公元前三世纪。不论怎样“算术”这个名称使用在汉代已经很通行。第12页正式使用是《九章算术》一书。它涵义是指当初数学全体和当代算术意义不一样.宋、元两代，我国数学发展到达高峰，那时“算学”和“数学”这两个词是并用。宋代朱世杰《四元玉鉴》（1303年）序中就同时使用这两个词：“松庭先生以数学名家，周游湖海二十余年矣，…方今尊崇算学，科目渐兴…。”

第13页算学、数学并用情况，在我国一直延续了几百年，1935年“中国数学会名词审查委员会”仍主张两词并存。1939年6月，为了划一起见，我国才确定用“数学”而不用“算学”。第14页2.“数学”定义“数学”拉丁文、希腊文都是科学或知识意思，伴随时代发展，它涵义才逐步明确起来。数学最显著特点之一是体系严谨性，它要求每一个概念（除少数基本概念外）都要给出明确定义。第15页在历史上，数学有过以下种种定义：“数学是量科学”——这个最古老定义由古希腊哲学家亚里士多德给出。“数学是研究现实世界空间形式与数量关系科学。”——19世纪德国哲学家恩格斯给出。第16页

“当代数学就是各种量之间可能，普通说是各种改变着量关系和相互联络科学”——20世纪50年代苏联人给出。“数学这个领域已被称作模式科学，其目标是要揭示人们从自然界和数学本身抽象世界中所观察到结构和对称性”。——20世纪80年代美国数学家。第17页“数学是研究数量关系和空间形式科学”

数学是由基础和应用两部分组成，前者追求真和美，后者主要性在于各方面应用。

第18页3.古代中国数学我国数学文化最少是从黄帝时代（约公元前2700年）开始。相传大挠创造甲子，垂创造规矩。大挠是黄帝老师，垂也可能是黄帝时代人。考古学家发觉这个时期陶器都有各种几何图形。第19页3.1我国是十进制、位值制使用最早国家。我国河南安阳发掘殷墟甲古文（前1400年）及周代金文证实：在殷代已确定十进位制，并采取“十进位制”先进记数法，当初已经有了到万数字统计。我国至迟在春秋战国时代就已经能熟练地利用十进位制算筹记数法，它和现在通用十进位制笔算记数法是一样。第20页3.2我国最早使用数学工具是规和矩。规就是圆规，用来画圆；矩就是丁字尺或直角三角板，用来画方。“规”与“矩”又相传为伏羲氏所造，在山东嘉祖县武梁祠石碑上刻有汉代一幅蛇身人面画像，伏羲氏手执矩，女娲手执规。第21页司马迁在《史记》里有大禹治水:“左准绳”“右规矩”记载。“准”是测水工具，“绳”是测垂直工具。第22页3.3《周易》中数学文化《周易》并不是一部真正意义上数学书，而是中国人在长达数千年时间里用来决定主要行动占卜书。但如今人们从中挖掘到数学文化内容之丰富、之神秘可与任何一部数学经典著作比美。第23页3.4算经十书：《周髀算经》

《九章算术》

《孙子算经》

《数书九章》

《五曹算经》

《夏侯阳算经》《张邱建算经》《五经算术》

《缉古算经》

《海岛算经》第24页(1)《周髀算经》《周髀算经》作者不详，成书年代应不晚于公元前2世纪西汉时期.书中渉及数学、天文知识有能够追溯到西周（公元前11世纪——前8世纪）。第25页里面记载了周公向大夫商高请教：古时伏曦氏是怎样测量天文和制订历法，天既没有供攀登台阶，地也不能用尺子去测量，那么，这些数是从哪里得出来呢？商高解释说：数是依据圆形和方形数学道理计算得来。圆来自方，而方来自直角三角形。第26页还说：将一线折三段围成直角三角形，一条直角边（勾）为3，另一条直角边（股）为4，则斜边（弦）就是5。这就是我国最早关于“勾股定理”记载第27页当周公向商高讨教“矩”（三角尺）使用方法时，商高回答说：把矩放平了，可测定水平和垂直方向；把矩立起来，可测量高度；把矩翻过来倒置，能够测量深度；把矩卧在地面，能够测量水平距离；将矩环转一周，能够得到圆形；将两矩合起来，能够得到长方形。第28页商高关于“环矩认为圆”叙述，即:立于直径上圆周角为直角这一定理发觉，比古希腊数学家泰勒斯早五、六百年。第29页《周髀算经》数学内容主要有：①在算术方面统计有分数乘除法，公分母求法以及分数应用。②在历法上用“四分历”法。讨论了日影测量，并列出一年各个节气日影长度表。第30页③能够看到等差级数演进次序。比如，二十四节气日影长：从夏至到冬至，从1350分到160分，每次递减99分；从冬至到夏至，从160分到1350分，每次递增99。其中10分=1寸，10寸=1尺，10尺=1丈。④勾股定理建立。第31页《周髀算经》:首先它是现存最早天文数学著作，总结了古代天文学中所应用数学知识，有些内容证实了我国数学在世界数学史上发觉最早，对后代数学产生过主动影响；另首先在于它讨论天地现象时丝毫不带迷信色彩，在占卜星相占统治时期，这确是了不起事！第32页（2）《九章算术》《九章算术》是中国古典数学中最主要著作。它确实切写作与起始年代已不可考。作为中国古代数学集大成者，这一著作应该说经历了许多不一样年代修改和补充才逐步成为一个模式

第33页假如说《几何原本》集中地表达了古希腊数学传统；中国古代特有数学传统在《九章算术》中有着经典表现。第34页《九章算术》以方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股共九个类型实践应用性问题分成九章。每一个详细问题提出后，给出答案，在相同一类问题上用“术”形式给出详细算法。全书共计246个问题，202个详细计算方法——“术”。第35页《九章算术》主要内容以下：第1章：方田38题21术平面形田地面积计算及与面积相关分数四则运算。第2章：粟米46题33术计算各种粮食兑换问题；砖、竹、漆、丝、布等生产、生活资料买卖问题；百分比问题。第36页第3章：衰分20题22术按一定百分比进行分配物品、税收、罚款、计工、贷款利息，粮食买卖等。第4章：少广24题16术（开方术）关于求矩形、圆形、立方体、球体等求积问题。（开启了中国古代解一元高次方程先河。）第37页第5章：商功28题24术（阳马术）土方工程计算。筑城、开渠、开运河、修堤坝、建粮仓等应用问题。（开创了中国古代数学中独特数学证实方法。）第6章：均输28题28术“均输平准”政策——按地域人口多少、路途远近、生产粮食种类、交纳实物或摊派徭役计算方法。第38页第7章：盈不足20题17术“盈不足术”应用问题，处理盈亏问题一个计算方法。第8章：方程18题19术算筹摆法解线性方程组，相当于现在利用线性方程组系数增广矩阵变换方法。第39页第9章：勾股24题22术用勾股定了解应用问题，开创直角三角形相同来进行测量计算，处理关于高度、深度和广度各种测量计算问题。第40页《九章算术》是中国古代数学典范，它总结了历史上积累下来数学知识和方法，并进行了有目标分类整理；同时对筹算竹棍运演排列操作性方法给出了详细程序，用“术”形式给出了方法模式。第41页《九章算术》“方程卷”第七题：“今有牛五、羊二值金十两，牛二、羊五，值金八两。问牛羊各值金几何？”列方程得：解这一解法相当于求解二元一次方程组矩阵消元法。第42页中国盈不足术问世后，经丝绸之路传至阿拉伯国家，在那里被称为契丹算法（契丹，中国古代北方一个少数民族），后又传入欧洲。13世纪著名意大利数学家斐波那契明确指出了这种方法源自中国。比如求实根近似值便是盈不足术。第43页（3）《张邱建算经》与百鸡问题《张丘建算经》大约成书于公元466——485年间，作者张丘建是北魏时人。“百鸡问题”是数学史上一道名题，它即妙趣横生，又深奥难解，在世界上流传广泛。第44页“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三直钱一。凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”相当于张邱建得解为：（1）（2）（3）第45页13世纪意大利斐波那契《算经》，15世纪阿拉伯阿尔.卡西《算术之钥》中均出现相同问题。第46页（4）《缉古算经》《缉古算经》作者王孝通是唐初人。大约完成于公元625年左右，是唐代数学教科书之一。《缉古算经》也是一本实用问题集，列举了28个形如：正系数方程及有理根，但没有解法。第47页《缉古算经》是世界上最早讨论三次方程组代数解法著作。其中用几何方法列三次方程解应用题是一个辉煌成就，这不但是中国现存典籍中最早记述，在世界数学史上也是关于三次方程数值解法及其应用系统最早叙述。第48页4、刘徽和祖冲之父子公元220年东汉分裂，到580年隋朝建立，史称魏晋南北朝，这是中国历史上动荡时期。魏晋南北朝是中国数学史上一个独特而丰产时期，而最出色代表是刘徽和祖冲之父子。第49页（1）刘徽数学成就刘徽，公元3世纪魏晋时人，其它不详。公元263年撰写《九章算术注》，刘徽最突出成就是“割圆术”和体积理论。①“割圆术”：计算圆周率近似值。“割圆术”：闪烁着极限思想光芒第50页刘徽用割圆术从正6边形算起边数逐次加倍，……直到192边形，得到：后又算到圆内接正3072边形面积，求得：第51页②在理论上明确了分数性质，是世界上最早提出十进分数概念人。③对正、负数给予了较明确定义及运算法。④创造了“割补术”，利用“出入相补原理”。论证了立体图形体积公式。刘徽在《九章算术注》中对全部命题都给出了证实或说明。

第52页⑤刘徽《九章算术注》第十章又称为《海岛算经》以后被单独刊行。里面对相同三角形性质及其应用等，对“勾股定理”给出了各种证法。第53页（2）祖冲之父子刘徽数学思想和方法到南北朝时期（公元420～589）被祖冲之和他儿子祖暅推进和发展了。祖冲之出身于历法世家，是历代为数极少能名列正史数学家之一。第54页祖冲之著有《缀术》一书，是一部曾经作为唐朝时数学书本，里面数学内容十分丰富，最得意是准确计算和体积公式。①算出了圆周率上下限：

算到了内接正24576边形边长。第55页祖冲之提出圆周率分数近似值：密律是一个很有趣数字，分母、分子数字排序为113355，含有独特数学美。第56页②给出了球体积公式：（D为直径）这一公式更确切地说应该是祖冲之儿子祖暅贡献。祖暅在继承刘徽思想基础上处理了球体积计算问题。

第57页5、宋、元数学宋、元时期（公元960——1368）是中国历史上一个非常特殊时期，我国四大创造有三项——指南针、火药、活字印刷是在宋代完成并取得广泛应用。这一时期被称为“数学四大家”有：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰第58页①秦九韶——“中国剩下定理”

①秦九韶——“中国剩下定理”秦九韶（约公元1202～1261）,四川安岳人，代表著作《数书九章》。其主要成就有：为“0”要求符号第一个中国人；处理了部分高次方程求解问题（最高十次），欧洲18世纪才有三次方程普通解法，19世纪才有和秦九韶一样解法。第59页创建“大衍求一数”，系统地从理论上完成了一次同余式问题，发展了“孙子定理”。现称为“中国剩下定理”。这个定理比高斯和欧拉早几百年，并取得国际公认。

第60页“中国剩下定理”最早来自于

——《孙子算经》中“物不知数”“今有物不知其数，三三数之剩二,五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这相当于求解一次同余组：《孙子算经》答数N＝23。

第61页这种数学游戏，被人们称为“鬼谷算”“韩信点兵”。第一次：3路纵队，末尾多出1人；第二次：5路纵队，末尾多出2人；第三次：7路纵队，末尾多出3人。韩信对值日官说；“有58人没有来操演，怎么能说全部到齐了呢？”

第62页秦九韶给出了“物不知数”问题普通解法，称为“大衍求一数”。解题步骤是：选5×7一个倍数，被3除余1，即70；选3×7一个倍数，被5除余1，即21；选3×5一个倍数，被7除余1，即15。第63页

然后按下式计算：

105为3、5、7最小公倍数，P为适当选取整数及运算符号则：1×70＋2×21＋3×15＝157，157＋105×17＝1942。第64页1852年英国传教士把“孙子剩下定理”和秦九韶“大衍求一术”带到欧洲。德国数学家高斯18“同余式问题”及其解法是完全一致。然而，若从《孙子算经》算起他们相差1000多年。所以，国际上称《孙子算经》中“孙子剩下定理”为“中国剩下定理”。第65页②杨辉——“杨辉三角”

②杨辉——“杨辉三角”杨辉（约公元1261年左右），流传于世最著名“杨辉三角”。它实际上是一张二项系数表，即展开各项系数，有一定规律。

第66页

①①①①②①①③③①①④⑥④①①⑤⑩⑩⑤①┅┅┅┅┅（牛顿二项展开式）（杨辉三角)第67页杨辉三角若从不一样角度去看，更是妙趣横生。横看：把各行数分别加起来，从第一行起，依次得到和是1、2、4、8、16、…恰恰是…第68页斜看：1、1、2、3、5、8、…叫斐波那契数列。假如把贾宪三角变换一下形式11

112113311464115101051竖看：第一列，都是1；第二列，是自然数列；

第三列，是三角形数数列。第69页“杨辉三角”也称为“帕斯卡三角”（帕斯卡公元1632——1662,法国著名天才数学家，有过很多数学成就，他也发觉了这一三角形数）由保留下来“杨辉三角”这一确凿证据能够说系数三角形起源于中国。而最早发觉这一规律又应归功于北宋时期数学家——贾宪。

第70页③

李冶——“天元术”

李冶（1192——1279），李冶原叫李治，以后发觉与唐高宗同名，将“治”改为“冶”。李冶在《测圆海镜》、《益古演段》中对天元术进行了精辟叙述，，是宋元时期数学领域一大宝贵财产。

第71页什么叫天元术呢？代数学中由实际问题列方程一个方法。天元：问题中未知数符号,“立天元为××”。这是种用一个文字“元”来表示方程中未知数，从而列出简明数学方程方法。第72页李冶1248年撰成《测圆海镜》，完善了天元术，提出了简捷明了列方程程序：立天元一，这相当于设未知数。由题意列出一个天元等式，经过相消，化成标准天元开方式，即得含未知数一元高次方程，相当于：第73页李冶还用“天、上、高……”表示……，“地、下、底……”表示

……。第74页④朱世杰——“四元术”

朱世杰将天元术未知数推广到：二元、三元及四元高次联立方程组，这就是“四元术”。代表作：《四元玉鉴》，其中对多个未知数分别称为：“天元”、“地元”“人元”“物元”，相当于我们今天所给未知数x、y、z、w。第75页《四元玉鉴》卷首第四题做法是：“立天元为勾，地元为股，人元为弦，物元为开数”依据题意列出四个方程，相当于方程组

朱世杰用消元法解方程，求出开数为14。第76页《四元玉鉴》中还使用了“剔消”、“易位”“互隐通分”“内外行乘积”等各种消元伎俩。表现了熟练消元技巧。《四元玉鉴》能够说是宋元数学绝唱。元末以后，中国传统数学聚转衰落。第77页⑤沈括——“隙积数”和“会元数”

沈括（1031～1095）浙江钱塘人代表著作：《梦溪笔谈》.博学善文，于天文、方志、律历、音乐、医药、卜算无所不通，皆有所论著。他又是物理、地理、地质学家、外交家和数学家。象他这么多才多艺全方面人才，不但在数学史上没有，在整个世界史上也是罕见。

第78页1082年军事失利牵连被贬，晚年闲居在润州（今江苏镇江）梦溪园潜心写作。完成《梦溪笔谈》，是有巨大科学价值著作。第79页括沈贡献：在历法方面，括沈历法不但比当初阴历好，比现行公历也好。在数学方面：创造了“隙积术”和“会圆术”。前者是高阶等差数列求和法，后者是关于弓形计算。第80页《梦溪笔谈》第18卷“技艺”中：“算术求积尺之法，如刍萌、刍童、……之类，物形备矣，独未有‘隙积’一术。……隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。”意思是：过去有种种求体积方法，但所指形体都是实心。假如把缸、罂、盆之类堆垒成长方台（刍童）形状，中间是有空隙，这就不能用刍童算法求其总数。第81页沈括把许多一样大小弹丸堆积起来，各层成巨形，每一层比上一层长、宽各多一个，求其总数。设第1层长b，宽a，第2层长b+1宽a+1,……第n层长b+(n-1),宽a+(n-1).第82页总数

S=ab+(a+1)(b+1)+(a+2)(b+2)+…+[a+(n-1)][b+(n-1)]=前者为等差级数，前人早已知道，后者则为古书所未道及。第83页构想沈括已求出

连同则A、B分别为最底层长、宽。

第84页6、尺历史演变《孔子家语》：“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻，斯不远之则也。”大拇指与中指张开，两指端距离叫做一尺，中指一节长叫做一寸，两手伸长得八尺叫一寻。第85页古代一尺，现在叫一拃，大约是20厘米。经过考证，周代一尺长是19.91厘米，和这个数相符。度量衡单位，并不是一成不变，它伴随时间不停地改变着，总趋势是由大变小。第86页周代：一尺为19.91厘米；后汉：一尺为23.04厘米；魏晋：一尺为24.12厘米；隋一尺为29.51厘米；宋、元：30.72厘米；清：32.厘米；当代：33.33厘米。第87页为何由小变大呢？封建社会统治者向老百姓征税，是收布帛、米、粟等实物。第88页国家要求税率是不能随时变更，但只要将尺稍为加大一点，就能够多收许多实物。况且古代度、量、衡器具不可能作准确校正，所以尺就渐渐长起来，以后税收改用货币，就无须用加大单位方法来增加税收了。第89页与古代中国用手来作尺单位类似还有英国尺。英国尺是以人脚长为准，所以“英尺”和“脚”现在仍用同一个字（foot).第90页现在一英尺比一只脚也长多，这与中国尺演变是一样。英皇亨利一世（1068～1135）要求从他鼻尖到大拇指尖端长度作为一码。第91页6、历法在世界各地

现行公历，又叫阳历；是以地球绕太阳运行周期确定。它起源于古代埃及，定型于罗马帝国。现行公历，月份大、小参差不齐，每个月日数杂乱无章，季节安排没有规律，这都是罗马皇帝遗留下来陋习。第92页公元前46年，罗马帝国“文武大元帅”恺撒改历：原定一年12个月，单月31天，双月30天，这么一年便有366天。而实际一年只有365天，故从2月扣除一天成为29天。第93页2月为何要少一天呢？罗马人普遍认为2月不吉利.(在当初罗马帝国，凡被判死刑都是在2月中执行)恺撒为何要求7月是大月？原因是他生于7月，并以他名字Julius来作为7月名称。（转成英文July）,

第94页以后奥古斯都当了皇帝，又把他出生8月命名为Augustus，并改8月为大月31天，再从2月扣除一天。这就是2月28天来历。这么胡乱修改历法，使得日子非常混乱。

第95页因为地球公转一周时间为365天5时48分46秒。当初要求每年天数为365天。所余时间约每4年积累一天。罗马人又要求：4年一闰（即每隔4年就要在2月中加一天，叫闰日），这就是沿用到今天阳历。因为他在世界上通用，所以又称公历。第96页各国俗历：日本