河北省邯郸市第三十一中学高三数学理测试题含解析

河北省邯郸市第三十一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，△ABF2的周长为24，利用双曲线的定义，可得=24﹣4a，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论．【解答】解：由题意，△ABF2的周长为24，∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|=，∴=24﹣4a，∴b2=a（6﹣a），∴y=a2b2=a3（6﹣a），∴y′=2a2（9﹣2a），0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＞0，∴a=4.5时，y=a2b2取得最大值，此时ab取得最大值，b=，∴c=3，∴e==，故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．2.满足M｛a1,a2,a3,a4｝,且M∩｛a1,a2,a3｝={a1，a2}的集合M的个数是（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略3.数列前n项和，对数列描述正确的是A.数列为递增数列

B.数列为递减数列C.数列为等差数列

D.数列为等比数列参考答案：【知识点】等比关系的确定；数列的函数特性．D2D3【答案解析】A

解析：?，所以是递增数列;不是等差数列也不是等比数列.故选A.【思路点拨】利用，利用函数的单调性及等差数列与等比数列的概念对A、B、C、D四个选项逐一分析即可得到答案．4.在椭圆上有两个动点P，Q，E（3,0）为定点，EP⊥EQ，则最小值为（

）A.6

B.

C.9

D.参考答案：A设，则有，因为EP⊥EQ，所以，即，因为，所以当时，取得最小值6，故选择A。考点：向量、解析几何、二次函数在给定区间上的最值。5.函数的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将函数的图像A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位参考答案：【知识点】三角函数的图像.C3【答案解析】D

解析：解：由图知，为了得到的图像，则只要将的图像向左平移个单位长度.所以正确选项为C【思路点拨】根据三角函数的图像求出三角函数，再由三角图像的移动求出最后结果.6.设A(x,1)、B(2,y)C(4，5)为坐标_面上三点,0为坐标原点,若与在方向上的投影相同，则x与y；满足的关系式为(A)4x一5y=3

(B)5x-4y=3(C)4x+5y=14

(D)5x+4y=14参考答案：A略7.命题:“≤

”的否定为

A．

B．

C．

D．

≤参考答案：B略8.若正数m，n满足，则的最小值为（

）A. B. C. D.3参考答案：A【分析】由，利用基本不等式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.设在四边形ABCD中，,若,则=（

）A.-16

B.16

C.25

D.15参考答案：B略10.若不等式组，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是

（

）A.

B.

C.

D.或参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是虚数单位，则__________．参考答案：复数．12.已知当且时，函数取得最大值，则a的值为__________．

参考答案：由题意可得：其中，，.因为要取得最大值，，带入以上所求，化简：，解：13.设函数向左平移单位后得到的函数是一个偶函数，则φ=

．参考答案：﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角弦函数的奇偶性，求得φ的值．【解答】解：函数向左平移单位后得到的函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，根据所得函数是一个偶函数，则+φ=kπ+，k∈Z，可得φ=﹣，故答案为：．14.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则

，

.参考答案：，3，，由余弦定理可得，即，得或（舍去），由正弦定理得，得，故答案为，3.

15.向量若b与b—a的夹角等于，则的最大值为

参考答案：416.已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为

．参考答案：1【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a值，再求三角函数的最值．【解答】解：f（x）=，∵是对称轴，f（0）=f（），∴，∴，最大值为1．故答案为1．17.若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积是

▲

.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若?x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法；5B：分段函数的应用．【分析】（1）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；（2）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若?x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m成立，只需4m﹣2m2＞fmin（x），解出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）①当x＜﹣2时，f（x）=1﹣2x+x+2=﹣x+3，令﹣x+3＞0，解得x＜3，又∵x＜﹣2，∴x＜﹣2；②当﹣2≤x≤时，f（x）=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1，令﹣3x﹣1＞0，解得x＜﹣，又∵﹣2≤x≤，∴﹣2≤x＜﹣；③当x时，f（x）=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3，令x﹣3＞0，解得x＞3，又∵x，∴x＞3．综上，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．（Ⅱ）由（I）得f（x）=，∴fmin（x）=f（）=﹣．∵?x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，∴4m﹣2m2＞﹣，整理得：4m2﹣8m﹣5＜0，解得：﹣＜m＜，∴m的取值范围是（﹣，）．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法及分段函数的应用，分情况讨论去绝对值符号是关键．19.某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数,且所有得分都是整数.(1)求全班平均成绩；(2)计算得分超过141的人数；（精确到整数）(3)甲同学每次考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，表示进入前100名的次数，写出的分布列，并求期望与方差.参考数据：.参考答案：(1)由不同成绩段的人数服从正态分布，可知平均成绩.(2),故141分以上的人数为人.(3)的取值为0，1，2，3，4，,,,,,故的分布列为01234期望，方差.20.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB；（1）求cosB的值；（2）若?=2，且b=2，求a+c的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由条件得sin（B+C）=3sinAcosB，再由sin（B+C）=sinA≠0，可得cosB=．（2）由两个向量的数量积的定义得到ac=6，再由余弦定理可得a2+c2=12，解方程组可求得a和c的值．【解答】解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，得sin（B+C）=3sinAcosB，因为A、B、C是△ABC的三内角，所以sin（B+C）=sinA≠0，因此cosB=．（2）?=||?||cosB=ac=2，即ac=6，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，所以a2+c2=12，解方程组，得a=c=．所以a+c=2．21.已知数列{an}满足,其中Sn为{an}的前n项和,数列{bn}满足（1）求数列{an}的通项公式及Sn;（2）证明:

参考答案：解:由已知时,即:,…1分又时,所以当时…………………2分故,…………………3分又由得…………………4分即:,…………………5分(2)…………………7分…………………9分故……12分22.（本小题满分13分）设函数（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；（Ⅱ）若函数在存在单调递增区间，试求实数的取值范围；（Ⅲ）求函数的极值点.参考答案：（1）的定义域为，，在上增函数，当时，取得最小值，在上的最小值为. ……………4分（2）,设.依题意,在区间上