2021年高考理数真题试卷（北京卷）508带答案解析

2021年高考理数真题试卷（北京卷）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1.已知集合A={x||x|V2},B={-1,0,1,2,3},则AnB=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

2x—y<0,

2•若x,y满足{%+yW3,,则2x+y的最大值为（）

%>0,

A.0B.3C.4D.5

3.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1,则输出的k值为（）

B.2C.3D.4

4,设a,b是向量，贝『'|a|二|b|〃是〃|a+b|=|a-b|〃的(

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知x,yWR,且x>y>0,则（）

1111

A.--->0B.sinx-siny>0C.(-)x-(-)v<0D.lnx+lny>0

6,某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

C-1D.1

7.将函数y=sin%后）图像上的点P（/t）向左平移s（s>。）个单位长度得到点[若P，位

于函数y=sin2x的图像上,则（）

A.t=is的最小值为±B.t=3，s的最小值为三

2626

c.t=is的最小值为±D.t=在，s的最小值为上

2323

8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将

其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直

到袋中所有球都被放入盒中，则（）

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9.设a&R,若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=。

10.在（1-2x）6的展开式中，%2的系数为.（用数字作答）

10

11.在极坐标系中，直线pcos0-Kpsin。-=与圆p=2cos。交于A,B两点，贝I]|AB|

12.己知｛aj为等差数列，Sn为其前n项和，若%=6,a3+a5=0,贝ijS6=

13.双曲线1-芍=1（a>0,b>0）的渐近线为正方形OABC的边OA,0C所在的直线，点B为该双曲线

的焦点。若正方形OABC的边长为2,则a=.

x3-3x,x<a,

14.设函数｛

—2x,x>ao

①若a=0,则f(x)的最大值为；

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是。

三、解答题(共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)

15.在4ABC中，a3+c3=b3+\[2ac

(1)求ZB的大小

(2)求V2cosA+cosC的最大值

16.A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻

炼时间，数据如下表(单位：小时)；

A班66.577.58

B班6789101112

C班34.567.5910.51213.5

(1)试估计C班的学生人数;

(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所

有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

(3)再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时),

这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记〃1,表格中数据的平均数记为40,试判断

Mo和Mi的大小，(结论不要求证明)

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD1平面ABCD,PA1PD,PA=PD,AB1AD,AB=1,AD=2,AC=CD=

V5

(1)求证：PD1平面PAB;

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;

(在棱上是否存在点使得平面若存在，求翳的值；若不存在，说明理由。

3)PAM,BMIIPCD?AP

18.设函数f(x)=xe。-*+bx,曲线y=f(x)在点(2,f⑵)处的切线方程为y=(e-l)x+4,

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的单调区间。

19.已知椭圆C：4+4=1(a>b>0)的离心率为—,A(a,0),B(O,b),0(0,0),△OAB的面积为

a2b22

1.

(I)求椭圆c的方程；

(2)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。求证：IANI•IBMI为定

值。

设数列,aa如果对小于的每个正整数都有a<a,则称

20.A：%2N(N>2)on(2VnSN)kknn

是数歹UA的一个"G时刻"。记"G(A)是数歹UA的所有“G时刻”组成的集合。

(1)对数列A：-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素；

(2)证明：若数列A中存在an使得〃>%,则G(A)#0；

证明：若数列满足，则的元素个数不小于a-%。

(3)Aan-an_x<1(n=2,3,.,N)GA.N

答案解析部分

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.【答案】C

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】集合4={x|—2<x<2},集合8={x|-1,0,1,2,3},所以4nB={-1,0,1}

【分析】先求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出ACB.

2.【答案】C

【考点】简单线性规划

【解析】【解答】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为（1，2）,最大

值为2x1+2=4.

【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的

取值范围.

3.【答案】B

【考点】程序框图

【解析】【解答】开始a=1,k=0；第一次循环。=一；，k=l；第二次循环a=-2,k=

2,第三次循环a=l,条件判断为"是"跳出，此时k=2

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运

行过程，可得答案.

4.【答案】D

【考点】充要条件，向量的模

【解析】【解答】若\a\=\b\成立，则以a,b为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，

a+b，a-b表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a+6|=|a-b|不一定成

立，从而不是充分条件；反之，\a+b\=\a-b\成立，则以五，b为边组成平行四边形，则该平行四

边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以|a|=|b|不一定成立，从而不是必要条件.

【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案

5.【答案】C

【考点】不等关系与不等式

【解析】【解答】A.考查的是反比例函数y=工在（0,+8）单调递减，所以:〈;即:一:<。所

Xxyxy

以A错；

B.考查的是三角函数y=sinx在（0,+°0）单调性，不是单调的，所以不一定有sinx>siny,B

错；

C.考查的是指数函数'=©尸在（0,+8）单调递减，所以有（2尸<（］，即G尸一（］〃<0所以c

对；

D.考查的是对数函数y=Inx的性质，Inx+Iny=Inxy，当％>y>°时，xy>0不一定有

Inxy>0,所以D错

【分析】x,yWR,且x>y>0,可得：工<工，sinx与siny的大小关系不确定，（士）x<（《）

xy22

Inx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论.

6.【答案】A

【考点】由三视图求面积、体积

【解析】【解答】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高力=1,底面积S=：x

lxl=J,所以体积==；.

ZDO

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案.

7.【答案】A

【考点】函数y=Asin（3X+4>）的图象变换

【解析】【解答】点P(—,t)在函数y=sin(2x—y)上，所以t=sin(2x-y)=sin(-^-)=:，然

后y=sin(2x-y)向左平移s个单位，即y=sin(2(x4-s)-y)=sin2x，所以s=看+々兀,ke

Z,所以s的最小值为三

6

【分析】将*=二代入得：t=5,进而求出平移后P'的坐标，进而得到S的最小值.

42

8.【答案】B

【考点】进行简单的演绎推理

【解析】【解答】取两个球往盒子中放有4种情况：

①红+红，则乙盒中红球数加1个；

②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；

③红+黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；

④黑+红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个.

因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.

③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响.

①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.

综上，选B

【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红

球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9.【答案】-1

【考点】复数的代数表示法及其几何意义

【解析】【解答】(1+j)(a+j)=a—1+(a+

•••其对应点在实轴上

a+1=0,a=-1

【分析】(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)i,则a+l=0,解得答案

10.【答案】60

【考点】二项式定理的应用

【解析】【解答】由二项式定理得含X2的项为c氢—2x)2=60/

【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出.

11.【答案】2

【考点】简单曲线的极坐标方程

【解析】【解答】将极坐标转化为直角坐标进行运算》=pcosO,y=psin9

直线的直角坐标方程为x-V3y-1=0

p=2cos0,p2（sin20+cos20）=2pcos0x2+y2=2x

圆的直角坐标方程为（x一I/+y2=i

圆心（1,0）在直线上，因此AB为圆的直径，\AB\=2

【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得|AB|.

12.【答案】6

【考点】等差数列的前n项和

【解析】【解答】a3+a5=2a4，a4=°

ax=6,a4=aj+3d：­d=-2

S6=6ax+=6

【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6.

13.【答案】2

【考点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线图象如图

CM8C为正方形，\OA\=2c=\OB\=272.ZAOB

直线04是渐近线，方程为y=3=tan^AOB=1

又a2+b2=c2=8a=2

【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线,

结合等轴双曲线的性质进行求解即可

14.【答案】2；a<-1

【考点】分段函数的应用

【解析】【解答】由(X3-3%)=3/_3=0，得X=±1,如下图，是/(x)的两个函数在没有限

制条件

时的图象.

①f(X)max=f(T)=2;

②当a之一1时，/(%)有最大值/(-I)=2；

3

当a<-1时，一2%在％>a时无最大值，且一2a>(x-3x)max.

所以，a<—1.

【分析】①将a二0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=-l时，(x)的最大值为2；

fa<-i卜>-1

3

②若f(X)无最大值，则q，或-2a>a-3a，解得答案.

-2a>a-3a、

-2a>2

三、解答题(共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)

15.【答案】(1)解：：a2+c2=b2+\[2ac

a2+c2-b2=\[2ac

a2+c2-b2五acV2

COSBn=­：-------=------

2ac2ac2

(2)解：；4+8+C=

3

丁♦V2cos>l+cosC

V2V2

=V2coSi4+—cos^)+—sin/l

=cos/l+-ysinA=sin（A+：）

A+C=ln

A6（0,3.）

4+?e（1页）

sin（4+；）最大值为1

上式最大值为1

【考点】解三角形的实际应用

【解析】【分析】（1）根据已知和余弦定理，可得cosB=Y2进而得到答案：（2）由（I）得：C=卫

24

-A,结合正弦型函数的图象和性质，可得&cosA+cosC的最大值.

16.【答案】⑴解：5x100=40,C班学生40人

（2）解：在A班中取到每个人的概率相同均为1

设A班中取到第I个人事件为4/=123,4,5

C班中取到第j个人事件为=1,234,5,6,7,8

A班中取到4>Cj的概率为P]

所求事件为。

1111

1--+-D

5555M

?13131314

-

X

--------一

358585858

3

=-

8

<

「

Ml

三组平均数分别为7,9,8.25,总均值的=8.2

但Mi中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比的小，

故拉低了平均值

【考点】用样本的频率分布估计总体分布，古典概型及其概率计算公式

【解析】【分析】（1）由己知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数；（2）根据古典概型概率计

算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）根据平均数的定义，可判断出M＞内

17.【答案】（1）证明：・.・平面PADJ■平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,

且ABJ_AD,AB印面ABCD,

/.AB_L平面PAD,

PDd5)2面PAD,

AB±PD,

又PDJ_PA,且PAnAB=A,

PD_L平面PAB；

（2）解：如图:

取AD中点为。，连结CO,P0，；CD^AC=VS--CO1AD-：PA=PD：.PO1AD以。为原

点，如图建系易知P(0,0,1),B(l,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),则即=(1,1,-1),

")=(0,-1,-1),代：=(2,0,-1),Ct)=(-2,-1,0)设转为面PDC的法向量，令

卷=(殉，yo>1){:黑二;=卷=(9一LD，则PB与面PCD夹角6有sin。=|cos<^,PB>\=

I上J=I金二一|=3

M时II即工刀3

（3）解：假设存在M点使得BMII面PCD

设京=4，M(0,y,z)

由(2)知4(°,l,0),P(0,0,l),ZP=(0,-l,l)，B(l,l,0),AM=(0,y/一l,z')

有箱=2而=M(0,1-4,2)

•••BM=

BM||面PCD,行为PCD的法向量

•••BM-n=0

即-：+；l+；l=0

1

=4

综上，存在M点，即当普=；时，M点即为所求

AP4

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】【分析】（1）由已知结合面面垂直的性质可得AB_L平面PAD,进一步得到ABJ_PD,再由PDLPA,

由线面垂直的判定得到PDJ■平面PAB；

（2）取AD中点为0,连接C。，P0,由已知可得C0J_AD,P0±AD.以。为坐标原点，建立空间直角坐

标系，求得P(0,0,1),B(l,1,0),D(0,-1,0),C(2,0,0),进一步求出向量PB、PD、pc

的坐标，再求出平面PCD的法向量若，设PB与平面PCD的夹角为仇由

丽>|=|%|求得直线与平面所成角的正弦值;

sine=|COs<n，PBPCD

InIIPBI

（3）假设存在M点使得BMII平面PCD,设空=入，M（0,yi,Zi）,由京二九百可得M（0,1

职时

-入，入），BM=（-1,-入，入）由BMII平面PCD,可得丽・[=0，由此列式求得当

M点即为所求.

.【答案】（）解：ax

181,•"（X）=xe-+bx

axaxax

f(%)=e~—xe~+b=(1—x)e~+b

•••曲线在点处的切线方程为

y=/(x)(2,/(2))y=(e-l)x+4

/(2)=2媪-1)+4，/(2)=eT

即a2爆-

/(2)=2e-+2b=21)+4①

a2

f'(2)=(1-2)e-+b=e-1②

由①②解得：

a=2,b=e

(2)解：；a-2,b=e；

f(x)=xe2x+ex,

f(x)=e2x-xe2x+e=(1-x)e2x+e,

fn(x)=-e2x-(1-x)e2x=(x-2)e2x,

由f”(x)>0得x>2,由f"(x)<0得x<2,

即当x=2时，f(x)取得极小值f'(2)=(1-2)e22+e=e-l>0,

f(x)>0恒成立，

即函数f(x)是增函数，

即f(X)的单调区间是(-8,+8).

【考点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2）,建立方程

组关系即可求a,b的值；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f<x）的单调区

间.

19•【答案】⑴解：由已知,合争产=1,又a2=〃+c2,

解得Q=2,/?=1,c=V3.

椭圆的方程为-+y2=l

4

（2）解：方法一:

设椭圆上一点P（x（）,yo），则J+%=1.

直线PA：y=（X-2）,令X=0,得.

...|喇=|1+汽

XQ-2

x

直线PB：y-^~+1,令y=0,得%N=.

XQyo~L

|硼=|2+起

%o2yo

|ZN|・|BM|=|2+

Vo-15+总

,xo+2yo-2x+2y-2

=lNQ01

x0-2y0-l

,赔+4诏+4xy-4%o-8y+4,

=------------------0---0----------------0-----

xoyo-x0-2y0+2

将9+%=1代入上式得\AN\■\BM\=4

故\AN\■\BM\为定值.

方法二：

设椭圆上一点P（2cos0,sin0）,

直线PA：y=G（x-2），令X=。，得yM=^.

\BM\=|sin0+cos0-l

1-cos。

2cosG

直线PB:y=2co?X+1,令y=0,得环

l-sin0

\AN\=2sin0+2cos0-2

l-sin0

2sin04-2cos8-2sin。+cos。—1

|皿|眄=卜-in。—W1—一与1