专题13指数函数（原卷版）

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题13指数函数№考向解读专题13指数函数№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第四章指数函数与对数函数专题13指数函数→➊考点精析←1指数函数概念一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x（1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：①如果，则②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．③如果，则是个常量，就没研究的必要了．2图像与性质时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数3指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：【方法技巧与总结】1、指数式大小比较方法（1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．（2）中间量法（3）分类讨论法（4）比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若；；；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．2、简单指数不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的单调性求解；（2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；（3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解．→➋题型突破←【题型一】指数函数定义的判断1．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，是指数函数的个数是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【解析】①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数；③中底数，只有规定且时，才是指数函数；④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数.故选：D.2（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模（文））函数，且，则（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】运用代入法进行求解即可.【详解】由，所以，故选：B【题型二】利用指数函数的定义求参数3．（2023·全国·高一单元测试）函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C4．（2022·全国·高一课时练习）函数是指数函数，则有（

）A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1【答案】C【解析】由已知得，即，解得．故选：C【题型三】求指数函数的表达式5．（2023·全国·高一单元测试）若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．【答案】【解析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1），∴，解得，∴.故答案为：.6．（2022·全国·高一课前预习）函数，且，则（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】由，所以，故选：B【题型四】指数型函数过定点问题7．（2023·全国·高一单元测试）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B8．（2022·四川内江·高一期末）若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是幂函数，所以或，又因为该幂函数在上单调递增，所以，即，因为，所以函数过定点，故选：D【题型五】指数函数的图象问题9．（2021·吉林长春市·高三其他模拟（文））如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】利用指数函数的图象与性质即可得出结果.【详解】根据函数与关于对称，可知①④正确，函数为单调递增函数，故③正确.所以②不是已知函数图象.故选：B10．（2023·全国·高一单元测试）函数的图象的大致形状是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，又，∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.故选：C.【题型六】指数函数的定义域、值域11．（2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______【答案】【解析】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：，所以函数的定义域是.故答案为：12.（黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数的图像经过点，（1）求值；（2）求函数的值域；【答案】（1）（2）【解析】（1）函数的图像经过点（2）由（1）可知在上单调递减，则在时有最大值又函数的值域为【题型七】指数函数的单调性及其应用13．已知，且，设，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作差，对分类讨论，利用指数函数的单调性即可求出.【详解】当时，单调递增，因为，所以，，，所以，所以；当时，单调递减，因为，所以，，，所以，所以.综上所述：故选：A14．（2023·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）设，，则是（

）A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减【答案】D【解析】依题意，得，且，所以是偶函数．当时，，则单调递减；当时，，则单调递增．故选：D.【题型九】解指数型不等式15．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是______.【答案】【解析】因为函数，所以不等式即为，在坐标系中作出的图象，如下图所示，都经过，即的图象在图象的下方，由图象知：不等式的解集是.故答案为：16．（2022·浙江省杭州学军中学高一期末）已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】因函数，则不等式化为：或，解得：，解，无解，于是得，所以不等式的解集为.故答案为：【题型十】判断函数的奇偶性17．（2022·北京五十五中高一期中）如果函数是奇函数，则的值是__________.【答案】1【解析】因为函数的定义域为R，并且函数是奇函数，所以，即，解得；经检验符合题意故答案为：1.18.（2022·全国·高一专题练习）若函数是奇函数，为偶函数，则________.【答案】【解析】函数是奇函数，，即，则

①，为偶函数，，即，则

②，由解得．故答案为：19．（2023·全国·高一单元测试）已知定义在上的函数为偶函数.(1)求的值，并判断在上单调性（只作判断，不用说明理由）；(2)若，求的范围.【解析】（1）因为函数的定义域是为，且函数为偶函数，则，即，所以.所以，则，经检验，时，为偶函数，符合题意.因为，令、、，因为在上单调递增，且，又对勾函数在上单调递增，所以在上单调递增，而在上单调递减，所以在上单调递减，即在上单调递减；（2）因为，则又因为在上单调递减，所以，即解得或.→➌专题精练←1．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（

）A． B．C． D．2．设函数则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3.已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是()A．1 B． C． D．4.函数的值域为（

）A． B． C． D．5．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．6.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是()A． B．C． D．7．（2010·浙江·高考真题（文））已知是函数的一个零点，若，则（

）A．， B．，C．， D．，8．已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．9.已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于()A． B． C．2 D．10.已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．11．已知，不等式恒成立，实数取值范围是（

）A． B．C． D．12.设函数，则满足成立的的取值范围是()A． B． C． D．13.已知函数，则()A．是奇函数，且在上是减函数B．是偶函数，且在上是减函数C．是奇函数，且在上是增函数D．是偶函数，且在上是增函数14.已知偶函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为()A． B． C． D．15.(多选题)(2021重庆九龙坡高三期中)已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是()A．点是函数的零点B．，，使C．是的极大值点D．的取值范围是16．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（

）A．在定义域内单调递减 B．图象过点C．是奇函数 D．定义域是17（多选）9．已知函数，则（

）A．为偶函数 B．是增函数C．不是周期函数 D．的最小值为18．（2022·湖北武汉·高一期中）下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．

图象关于点成中心对称C．

的最大值为D．幂函数在上为减函数，则的值为19．设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．20.若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是________.21.已知指数函数，则的值是___________.22.函数是定义在上的偶函数，且当时，．若对任意的，均有，则实数的取值范围是________．23、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为______．24.求下列函数的值域；(1)；(2)；(3).25.设函数f(x)=|2x−1|，c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)，判断226.已知，判断函数的单调性并证明.27.已知定义域为R的函数是奇函数．(1)求实数a的值；(2)判断的单调性；(3