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文档简介
2020-2021学年梅州市高二上学期期末数学试卷
一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)
1.关于命题,下列判断正确的是()
A.命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题
B.命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题
C.命题“VxGR,x4eR”的否定为**3X0eR,环CR”
D.命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”
2.已知直线环在平面a内,则“直线/上有两个点到平面a的距离相等"是““/a”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3.(理)若向量行=(1,1,X),6=(1,2,1)-?=(1,1,1).满足条件值一行>(23)=—2,则x=()
A.:B.2C.—;D.—2
22
4.过点P(3,0)直线l与圆/+y2=4%的位置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.相交或相离
5.已知双曲线条一3=19>0方>0)与抛物线*=4缶有共同的焦点尸,且点F到双曲线渐近
线的距离等于1,则双曲线的方程为()
A.-——=1B.x2—y2=1C.--y2=1D.x2——=1
44/3/3
6.己知函数/Xx)=1+芯一?+9—9+“・+^,设F(x)=/(x+4),且函数F(x)的零点均在
区间[a,b](a<b,a,6eZ)内,圆产+y2=匕一。的面积的最小值是()
A.nB.27rC.3兀D.47T
7.某城镇为改善当地生态环境,2016年初投入资金120万元,以后每年投入资金比上一年增加10万
元,从2020年初开始每年投入资金比上一年增加10%,到2025年底该城镇生态环境建设共投资
大约为()
A.1600万元B.1660万元C.1700万元D.1810万元
8.已知若f(x)为定义在R上的偶函数,且当x6(—8,0]时,f(x)+2x>0,则不等式/(>+1)—
f(x+2)>2x+3的解集为()
A.(3,+8)B.(-00,-3)C.D.(--,4-OO)
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)
9.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义,由此发展的混沌理论在生物
学、经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中,函数的周期点是一个关键概念,定义如
下:设f(x)是定义在R上的函数,对于&CR,令X"=f(Xn-i)(n=l,23“・),若存在正整数k使
得丸=而,且当0<j<k时,Xj^x0,则称与是/(久)的一个周期为k的周期点.给出下列四个结
论正确的是()
A.若/(x)=/T,则/'(X)存在唯一个周期为1的周期点
B.若/(x)=2(1-%),则/。)存在周期为2的周期点
{2x,x<-
21,则/(x)不存在周期为3的周期点
2(1-x),x>-
D.若/(x)=x(l-x),则对任意正整数n,;都不是f(x)的周期为n的周期点
10.已知奇函数/(%)的定义域为R,且满足对任意的X6R,都有/(T)=/(X+1).当OWxW割寸,
/(x)=log2(l+x),则下列说法正确的是()
A.的周期为2B.若ieN*,则22i/(i)=0
1011
C•点(一1.0)为/⑶的一个对称中心D.X曾=log2(|)
11.关于椭圆9+?=1,以下说法正确的是()
A.长轴长为2aB.焦距为2注
C.离心率为当D.左顶点的坐标为(-夜,0)
12,在三维空间中,定义向量的外积:方x坂叫做向量五与方的外积,它是一个向
量,满足下列两个条件:
①为1(5x3),b1(axK),且落B和ax石构成右手系(即三个向量的方向依次
与右手的拇指、食指、中指的指向一致,如图所示);
②运xl的模|方>石|=|方||7|sin<2,(<乙]>表示向量五,3的夹角).
在正方体4BC0-4B1C1D1中,有以下四个结论,正确的有()
A.|丽xAC\=\福x丽|
B.ABxAD=ADXAB
C.石77x卡与西方向相同
D.6|前x前|与正方体表面积的数值相等
三、单空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.如图,y=f(x)是可导函数.直线2是曲线y=/(x)在%=2处的切线,
令g(x)=号,则g'(2)=.
14.经过点3,0),Q(0,-2)的椭圆的标准方程是.
15.已知a>0,点A(a,a),B(0,a),C(a,0),M和N分别是线段。B、AC上的动点(包括端点,其中。
是坐标原点),且满足|0M|=|4N|,则直线ON与CM的交点P的轨迹方程为
16.正方体48。。一4/16。1中,则异面宜线4B与4G所成的角大小为
四、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.己知4(一1,2),8(3,-2),C(l,5),求过点C且与直线48垂直的直线方程.
18.已知直线I:ax+(2-a)y+1=0.
(I)若直线,在x轴上截距和在y轴上截距相等,求a的值;
(11)若直线1与圆0—》2+3一》2=!相切,求°的值.
19.如图,动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室,如果I..]..「©....“....「fl
可供建造围墙的材料总长是307n.x
(1)用宽光(单位m)表示所建造的两间熊猫居室的面积y(单位巾2);
(2)怎么设计才能使所建造的熊猫居室面积最大?并求出每间熊猫居室的最大面积?
20.如图,斜三棱柱ABC-481cl的底面是直角三角形,乙4cB=90。,点名在底面内的射影恰好是
BC的中点,且BC=C4=2
(1)求证:平面4CC1&_L平面BiQCB;
(2)若4遇=3,求点B到平面B1C4的距离.
4
21.设直线y=ax+b与双曲线3——y2=i交于A、氏且以4B为直径的圆过原点,求点P(a,b)的
轨迹方程.
22.已知函数萩:盛=工斓科描/哥怀•书癖,设曲线展=翼:礴在与窖轴交点处的切线为抑=硼:-』既,
冬
,飕琰为舞磁的导函数,满足,资津-蹴=殿礴.
(1)求.戏蜷的单调区间.
(2)设教磁=嘉必奠礴,蝴油颂,求函数辔氏礴在|奥喇上的最大值;
参考答案及解析
1.答案:c
解析:解:命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词,是全称命题,所以4不正确;
命题“有一个素数不是奇数”是存在量词命题,所以8不正确;
命题“VxeR,x,eR”的否定为“m&eR,xfCR”,满足命题的否定形式,所以C正确;
命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”,所以。不正确;
故选:C.
利用量词判断48的正误;命题的否定判断CO的正误.
本题考查命题的真假的判断与应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.
2.答案:B
解析:解:由直线,不在平面a内,知:
“直线2上有两个点到平面a的距离相等”="〃/a或直线2与平面a相交”,
“〃/a”="直线I上有两个点到平面a的距离相等”,
直线,上有两个点到平面a的距离相等”是“l〃a”的必要不充分条件.
故选:B.
“直线I上有两个点到平面a的距离相等”=>“〃/a或直线2与平面a相交",“〃/a”="直线/上有
两个点到平面a的距离相等”,由此能求出结果.
本题考查充分条件、必要条件的判断,考查直线与平行的位置关系等基础知识,是基础题.
3.答案:B
解析:解:由题意可得仁―五)•(2方)=(0,0,1—;0・(2,4,2)=2(1—久)=一2,
可得久=2,
故选:B.
由条件《一砂•(2])=-2,化简可得2(1-%)=一2,由此求得x的值.
本题主要考查两个向量数量积公式的应用,两个向量坐标形式的运算,属于基础题.
4.答案:A
解析:解:•••圆心C(2,0)与点P(3,0)的距离为|PC|=1,
圆半径r=1V16=2,
\PC\<r,
•••点P在圆内,;.过点P(3,0)直线/与圆+y2=4%相交.
故选:A.
由圆心C(2,0)与点P(3,0)的距离小于圆半径,得点P在圆内,由此能求出过点P(3,0)直线/与圆/+
y2=4%相交.
本题考查直线与圆的位置关系的求法,是中档题,解题时要认真审题.
5.答案:B
解析:解:因为抛物线f=8x的焦点坐标(、/2,0),
则由题意知,点F(夜,0)是双曲线的左焦点,
所以a?+b2=c2=2,
又双曲线的一条渐近线方程是bx-ay=0,
所以点F到双曲线的渐近线的距离d=7=彗=1,
Va2+d2
.,,/)=1,
解得a=l,
所以双曲线的方程为:%2-y2=1.
故选:B.
通过双曲线的标准方程可见其焦点在%轴上,则双曲线的左焦点为(-鱼,0),此时由双曲线的性质
a2+b2=c2可得a、b的一个方程;再根据焦点在%轴上的双曲线的渐近线方程为y=±^x,可得a、
6的另一个方程.那么只需解a、b的方程组,问题即可解决.
本题考查圆锥曲线的共同特征,主要考查了双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,确
定c和a的值,是解题的关键.
6.答案:A
,V2V3V4"2013
解析:解:=+J—二+…+游,
八/2342013
,1J.V2013
,当X<一1或%>一1时,/'(%)=1—X+/3+…+x2012=-------->0.
〉''1+X
而当x=-1时,[。)=2013>0
・•・/'(%)>0对任意XGR恒成立,得函数/(%)是(一8,+8)上的增函数
•••/(-1)=(1-1)+(-A3)+…+^~7oi2~2Ql3^<0,/(。)=1>0
二函数/(%)在R上有唯一零点式oG(-1,0)
・.・“%)=f(x+4),得函数尸(%)的零点是&-4G(-5,-4)
CL<-5且b>—4,得b—Q的最小值为—4—(—5)=1
•.,圆*2+y2=6_a的圆心为原点,半径r=7b-a
.,.0x2+y2=b-a的面积为兀*=兀(/,-a)<n,可得面积的最小值为乃
故选:A.
利用导数研究函数的单调性,得函数f(x)是R上的增函数.再用零点存在性定理,得f(x)在R上
有唯一零点X。e(-1,0),结合函数图象的平移知识可得数尸(x)的零点必在区间(-5,-4),由此不难得
到b-a的最小值,进而得到所求圆面积的最小值.
本题给出关于x的多项式函数,求函数零点所在的区间长度的最小值.着重考查了函数的零点、圆的
标准方程和利用导数研究函数的性质等知识点,属于中档题.
7.答案:D
b
解析:解:设2016年到2025年每年投入资金分别为电,a2>。3,«4,瓦,2.....匕6,
由已知a2,a3,。4为等差数列,%=120,a4=150>
其和为S]=aT+a2+a3+a4=540>
又瓦,b2,,坛为等比数列,bj=150x1.1,公比q=l.l,
6
其和为S2=瓦+尻+••...+b6=I2=1650(1.1-1).
Xl.l6=(1+0.1)6«1+C^O.l+Cjo.I2+CfO.I3«1.77,
:.S2x1270,
:.Si+S2P1810,
即共投入资金大约为1810万元.
故选:D.
设2016年到2025年每年投入资金分别为a?,a3,a4,瓦,b2,..,b6,由题意可知出,a2,
a,为等差数列,比,b2,生为等比数列,再利用等差数列和等比数列的前n项和公式求解.
本题主要考查了等差数列和等比数列的性质,同时考查了学生的计算能力,是基础题.
8.答案:D
解析:解:根据题意,设g(x)=/(%)+/,
则f(x+1)-f(x+2)>2x+3=>f(x+1)+(x+I)2>/(x+2)+(x+2)2ng(x+1)>g[x+
2).
若/(x)为偶函数,贝Ug(-x)=/(-x)+(-x)2=f(x)+x2-g(x),即可得函数g(x)为偶函数,
又由当x€(-8,0]时,f(x)+2x>0,则g(x)单调递增,则g(x)在[0,+8)上递减,
则g(x+1)>g(x+2)=I尤+1|<|x+2|=(x+I)2<(x+2)2,解可得x>-|,
即不等式的解集为(-l,+8);
故选:D.
根据题意,分析可得/(x+1)-f(x+2)>2x+3=f(x+1)+(x+l)2>f(x+2)+(x+2)2=>
g(x+l)>g(x+2),由函数奇偶性的定义分析可得g(x)为偶函数,结合函数的单调性分析可得
g(x+l)>g(x+2)n|%+1|>|%+2|,解可得x的取值范围,即可得答案.
本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,注意分析g(x)的奇偶性与单调性,属于基础题.
9.答案:AD
解析:解:对于殉GR,令xn=/(xn_1)(n=1,2,3,...)>
若存在正整数k使得4=殉,且当0</<k时,X)*x0,
则称而是/(x)的一个周期为k的周期点.
对于4,f(x)—ex-1»当k=l时,=f(&)=e&T,
因为直线y=x与y=/(x)只有一个交点(1,1),故A正确;
对于E,,/(x)=2(1-%),k=2时,x2=/(xj=2(1-xj=2[1-/(x0)]=4x0-2,
所以f(x)存在周期为2的周期点,故B正确;
(2x,x<-
对于C,若/'(x)=121,则当%<0时,/(%)<0恒成立;
\2(l-x),x>-
当久<0时,xr—/(x0)-2x0<0,x2—/Qi)=4x0<0.x3-/(x2)-8x0<0,
显然X。=X3在a=0时成立,所以存在周期为3的周期点,故③错误:
对于D,/(%)=x(l-%)=-(x-j)2+所以B|J/(x)<I,
所以3不是周期点,故。正确.
故选:AD.
由周期点的定义,可得直线y=x与y=/(x)存在交点.分别对选项分析,结合函数的最值和函数值
的符号,可得结论.
本题考查了函数的新定义的理解和运用,主要是周期点的定义,考查运算能力和推理能力,属于中
档题.
10.答案:ABC
解析:解:对于4因为对任意的都有/(—x)=/(x+l),所以/(x)关于%对称,
又因为/(x)为奇函数,所以/(-X)=
所以,f(x)=-f(x+1)=-(-/(x+1+1))=f(x+2),于是f(x)的周期为2,所以4对;
对于B,因为f(l)=/(0)=0,f(2)=/(0)=0,所以当i€N*时,/(i)=0,所以,口i/(i)=0,
所以B对;
对于C因为/(—2-乃=/(一乃=一/(乃,所以点(-1,0)为/(x)的一个对称中心,所以C对;
对于。,当i=2k时,/(1)=f(k)=0,当i=4k+1H寸,/(1)=f(2k+}=/(},当i=4k+3时,
/(1)=fQk+1)=/(I+》=/(-1)=
1011
所以濯=/(|)=log2(|)*log2(|),所以。错.
故选:ABC.
4根据周期函数定义判断;B根据周期性求/(i),进而求解;C根据对称中心定义判断;。根据周期性
分类求/(》值,进而求解.
本题以命题的真假判断为载体,考查了函数基本性质,属于中档题.
11.答案:BCD
解析:
求出椭圆的长轴长,焦距,离心率,左顶点坐标,判断选项的正误即可.
本题考查椭圆的简单性质的应用,是基础题.
解:椭圆^■+?=1的焦点在y轴上,a=2,b=企,c=或,
所以长轴长为2a=4,A错误;
焦距2c=2\/2,B正确;
离心率e=£=涯,C正确;
a2
左顶点坐标为(一40),即(一四0),。正确.
故选:BCD.
12.答案:ACD
解析:解:对于4,由五xb模的定义知,
|axb|=|a11b|sin<a>b>=|b||a|sin<
a>=|Kxa|.所以4对;
对于B,由五,方和「X1构成右手系知,Zx石与Bx五方向相反,
再由4知,a,Xb=—bxa>所以B错;
对于C,A1cl1B1D1,41cl1BB、=41cl_L平面口当久。,
BDXu平面BB也。=BO11A£,BDr1ArD,
再由右手系知,硒'x砸与西同向,所以C对;
对于D,正方体棱长为a,6|BCx^4C|=6|BC||^C|-sin45°=6V2a-a-y=6a2.
正方体表面积为6a2,所以D对.
故选:ACD.
运用新定义及空间向量基本概念分别判断即可.
本题以命题的真假判断为载体,考查了空间向量的基本概念,理解新定义是解本题的关键,属中档
题.
13.答案:一:
解析:解:由图可知,/(2)=3,r(2)=三=3
2—U/
又g(x)=竽.W(x)=^^,
则或2)=字=/
故答案为:一,
由图象可得外2)与((2)的值,再由导数的运算法则求g(x)的导数,则答案可求.
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查基本初等函数的导函数与导数的运算法则,
是基础题.
14.答案:亡+g=1
94
解析:解:•.,经过点P(-3,0),(2(0,-2),
・•・a=3,b=2,
所以椭圆的标准方程为立+乃=1.
94
故答案为:兰+日=1.
94
根据经过点P(-3,0),<2(0,-2),表示出长轴,短轴,然后写出椭圆的标准方程,即可.
此题考查学生会利用待定系数法求椭圆的标准方程,是一道基础题.学生做题时应注意椭圆的焦点
所在位置.
15.答案:y--~x2+(0<x<a)
解析:解:设N(Q")(0W£WQ),
v\OM\=\AN\,
:.M(0,a—t).
直线ON,CM的方程分别为:y=-xf-+^=1,
联立消去t可得:y=-^x24-x,(0<x<a).
故答案为:y=—/x2+x,(0<x<a).
设N(a,t)(0WtWa),根据|OM|=\AN\,可得M(0,a-t).
直线ON,CM的方程分别为:y=:x,(+£=1,联立
消去t即可得出.
本题考查了直线方程、抛物线方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16.答案:45°
二ZB141cl为异面直线4B与46所成的角,且NBi&G=45°,
.••异面宜线4B与4G所成的角大小为45。,
故答案为:45°.
可连接4G,从而可看出NB14G为异面直线4B与41cl所成的角,并且该角显然为45。.
本题考查了异面直线所成角的定义及求法,考查了计算能力,属于基础题.
17.答案:解:因为=不二=—1,
故所求直线的斜率为1,
所求直线方程y—5=%—1,即x—y+4=0
解析:先求出4B的斜率,然后根据直线垂直的条件可求所求直线的斜率,进而可求直线方程.
本题主要考查了直线垂直的条件及直线方程的点斜式方程的应用,属于基础试题.
18.答案:(I)易知直线I的截距不能为0,
令“0,y=一士,令y=0,x=
(口)圆心GJ)到直线I的距离d=号+产*=々
22y/a2+(2-a)2V5
整理,得而三片"。?-2a-8=0na=4或a=-2;
解析:(I)分另I令x=0,y=0,得到截距,解方程即可;
(II)根据圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.
本题考查截距的知识,直线与圆相切对应的等量关系,属于基础题.
19.答案:(本题满分12分)
解:(1)设熊猫居室的宽为%(单位m),由于可供建造围墙的材料总长是30小
两间熊猫居室的长为30-3x(单位rn)...(1分)
所以两间熊猫居室的面积y=%(30-3%)...(3分)
又备>-°3%>。得°<“<1°”5分)
于是y=-3x2+30x,(0<x<10)为所求…(6分)
(2)又(l)y=-3x2+30x=-3(x-5)2+75二次函数图象开口向下,对称轴x=5...(8分)
且x6(0,10),当x=5时,所建造的熊猫居室面积最大,...(10分)
使熊猫居室的宽5m,两间居室的长为157n时所建造的熊猫居室面枳最大;
其中每间熊猫居室的最大面积为当加2...(12分)
解析:(1)设熊猫居室的宽为x,则两间熊猫居室的长为30-3x,进而可得两间熊猫居室的面积y的
表达式;
(2)由(1)中所得解析式及自变量x的取值范围,由二次函数的图象和性质,可得函数最大值及最大值
点.
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.
20.答案:(1)证明:取BC中点M,连接贝lj74
•••Bi在底面内的射影恰好是BC的中点
B[MJ•面4BC,
•1,B]Mu面BBiGC
.•.面BBiGC,面ABC
vBC=®BB1C1Cn面力BC,AC1BC
■■AC1面BBiQC
•••ACu面4CC14
.•.面acGai面Bcc/i
(2)解:设点B到平面B1C4的距离为八,
=KBI-ABC,
(|x2x3)/i=|(|x2x2)x2V2
.-.h=^
3
即点B到平面BO的距离为警
解析:(1)取BC中点M,连接81M,则当Ml面ABC,从而面88道母_1_面48。,进一步可得4cl面
BBiGC,从而可证面ACGa_L面BCC/i;
(2)利用力-B1c4=^Bi-ABC'可求点B到平面B1CA的距离.
本题考查面面垂直,考查点到面的距离,解题的关键是掌握线面、面面垂直的判定与性质,正确运
用三棱锥的体积公式.
21.答案:解:由鼠2_丫2=1,
消去y得:(a?-3)x2+2abx+Z?2+1=0.
•••直线与双曲线交于4、B两点,
*2—340,
"(△>0
设4(x"i),B(
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