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文档简介
湖南省临澧一中2024年高考仿真卷数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和是3的倍数,则获奖,若有5人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是()A. B. C. D.2.已知函数的图象的一条对称轴为,将函数的图象向右平行移动个单位长度后得到函数图象,则函数的解析式为()A. B.C. D.3.设,,是非零向量.若,则()A. B. C. D.4.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,,平面平面ABCD,当点C到平面ABE的距离最大时,该四棱锥的体积为()A. B. C. D.16.设递增的等比数列的前n项和为,已知,,则()A.9 B.27 C.81 D.7.执行如图所示的程序框图,若输出的,则输入的整数的最大值为()A.7 B.15 C.31 D.638.函数的定义域为()A. B. C. D.9.函数的图象可能是()A. B. C. D.10.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为、、元).甲、乙租车费用为元的概率分别是、,甲、乙租车费用为元的概率分别是、,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A. B. C. D.11.集合的真子集的个数为()A.7 B.8 C.31 D.3212.设是虚数单位,复数()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等差数列满足,,则的值为________.14.如图,某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数,则这段曲线的函数解析式为______________.15.已知函数则______.16.若关于的不等式在时恒成立,则实数的取值范围是_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)当时,①求函数在点处的切线方程;②比较与的大小;(2)当时,若对时,,且有唯一零点,证明:.18.(12分)如图,在平面直角坐标系中,以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点,且点的纵坐标是.(1)求的值:(2)若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标为,求的值.19.(12分)已知数列满足,,,且.(1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.20.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴,垂足为,与抛物线交于不同的两点,且过的直线与椭圆交于两点,设且.(1)求点的坐标;(2)求的取值范围.21.(12分)如图所示,已知平面,,为等边三角形,为边上的中点,且.(Ⅰ)求证:面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求该几何体的体积.22.(10分)已知函数.(1)若对任意x0,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1x2),证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
先确定摸一次中奖的概率,5个人摸奖,相当于发生5次试验,根据每一次发生的概率,利用独立重复试验的公式得到结果.【详解】从6个球中摸出2个,共有种结果,两个球的号码之和是3的倍数,共有摸一次中奖的概率是,5个人摸奖,相当于发生5次试验,且每一次发生的概率是,有5人参与摸奖,恰好有2人获奖的概率是,故选:.【点睛】本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率,考查独立重复试验的概率,解题时主要是看清摸奖5次,相当于做了5次独立重复试验,利用公式做出结果,属于中档题.2、C【解析】
根据辅助角公式化简三角函数式,结合为函数的一条对称轴可求得,代入辅助角公式得的解析式.根据三角函数图像平移变换,即可求得函数的解析式.【详解】函数,由辅助角公式化简可得,因为为函数图象的一条对称轴,代入可得,即,化简可解得,即,所以将函数的图象向右平行移动个单位长度可得,则,故选:C.【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用,三角函数对称轴的应用,三角函数图像平移变换的应用,属于中档题.3、D【解析】试题分析:由题意得:若,则;若,则由可知,,故也成立,故选D.考点:平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.4、A【解析】
计算,得到答案.【详解】根据题意,故,表示的复数在第一象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力和理解能力.5、B【解析】
过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设,将表示成关于的函数,再求函数的最值,即可得答案.【详解】过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因为底面ABCD是边长为1的正方形,,所以.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面平面ABE,所以点H到平面ABE的距离,即为H到EF的距离.不妨设,则,.因为,所以,所以,当时,等号成立.此时EH与ED重合,所以,.故选:B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意辅助线及面面垂直的应用.6、A【解析】
根据两个已知条件求出数列的公比和首项,即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由,得,解得或.因为.且数列递增,所以.又,解得,故.故选:A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7、B【解析】试题分析:由程序框图可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后输出,此时,则的最大值为15,故选B.考点:程序框图.8、C【解析】
函数的定义域应满足故选C.9、A【解析】
先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.10、B【解析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元,或同为2元,或同为3元,由独立事件的概率公式计算即得.【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是,∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为.故选:B.【点睛】本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.11、A【解析】
计算,再计算真子集个数得到答案.【详解】,故真子集个数为:.故选:.【点睛】本题考查了集合的真子集个数,意在考查学生的计算能力.12、D【解析】
利用复数的除法运算,化简复数,即可求解,得到答案.【详解】由题意,复数,故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、11【解析】
由等差数列的下标和性质可得,由即可求出公差,即可求解;【详解】解:设等差数列的公差为,,又因为,解得故答案为:【点睛】本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用,属于基础题.14、,【解析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值,可得,,结合图象求得该函数的最小正周期,可得出,再将点代入函数解析式,求出的值,即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知,,,,,从题图中可以看出,从时是函数的半个周期,则,.又,,得,取,所以,.故答案为:,.【点睛】本题考查由图象求函数解析式,考查计算能力,属于中等题.15、【解析】
先由解析式求得(2),再求(2).【详解】(2),,所以(2),故答案为:【点睛】本题考查对数、指数的运算性质,分段函数求值关键是“对号入座”,属于容易题.16、【解析】
利用对数函数的单调性,将不等式去掉对数符号,再依据分离参数法,转化成求构造函数最值问题,进而求得的取值范围。【详解】由得,两边同除以,得到,,,设,,由函数在上递减,所以,故实数的取值范围是。【点睛】本题主要考查对数函数的单调性,以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)①见解析,②见解析;(2)见解析【解析】
(1)①把代入函数解析式,求出函数的导函数得到,再求出,利用直线方程的点斜式求函数在点处的切线方程;②令,利用导数研究函数的单调性,可得当时,;当时,;当时,.(2)由题意,,在上有唯一零点.利用导数可得当时,在上单调递减,当,时,在,上单调递增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,则,再由在上恒成立,得在上单调递减,进一步得到在上单调递增,由此可得.【详解】解:(1)①当时,,,,又,切线方程为,即;②令,则,在上单调递减.又,当时,,即;当时,,即;当时,,即.证明:(2)由题意,,而,令,解得.,,在上有唯一零点.当时,,在上单调递减,当,时,,在,上单调递增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,则,在上恒成立,在上单调递减,又,,.在上单调递增,.【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数研究函数的单调性,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属难题.18、(1)(2)【解析】
(1)依题意,任意角的三角函数的定义可知,,进而求出.在利用余弦的和差公式即可求出.(2)根据钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,得出,进而得出,利用正弦的和差公式即可求出,结合为锐角,为钝角,即可得出的值.【详解】解:因为锐角的终边与单位圆交于点,点的纵坐标是,所以由任意角的三角函数的定义可知,.从而.(1)于是.(2)因为钝角的终边与单位圆交于点,且点的横坐标是,所以,从而.于是.因为为锐角,为钝角,所以从而.【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.19、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)根据题目所给递推关系式得到,由此证得数列为等比数列,并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前项和【详解】(1)已知,则,且,则为以3为首相,3为公比的等比数列,所以,.(2)由(1)得:,,①,②①-②可得,则即.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列,考查累加法求数列的通项公式,考查错位相减求和法,属于中档题.20、(1);(2).【解析】
(1)设出的坐标,代入,结合在抛物线上,求得两点的横坐标,进而求得点的坐标.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,结合,求得的表达式,结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】(1)可知,设则,又,所以解得所以.(2)据题意,直线的斜率必不为所以设将直线方程代入椭圆的方程中,整理得,设则①②因为所以且将①式平方除以②式得所以又解得又,所以令,则所以【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线和椭圆的位置关系,考查向量数量积的坐标运算,考查向量模的坐标运算,考查化归与转化的数学思想方法,考查运算求解能力,属于难题.21、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明四边形为平行四边形,证得,由此证得平面.(II)利用,证得平面,从而得到平面,由此证得平面平面.(III)作交于点,易得面,利用棱锥的体积公式,计算出棱锥的体积.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,则,,故四边形为平行四边形.故.又面,平面,所以面.(Ⅱ)为等边三角形,为中点,所以.又,所以面.又,故面,所以面平面.(Ⅲ)几何体是四棱锥,作交于点,即面,.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证
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