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文档简介
2024届辽宁省新宾县中考适应性考试数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.在实数﹣3.5、2、0、﹣4中,最小的数是()A.﹣3.5 B.2 C.0 D.﹣42.一元二次方程x2-2x=0的解是()A.x1=0,x2=2 B.x1=1,x2=2 C.x1=0,x2=-2 D.x1=1,x2=-23.平面直角坐标系内一点关于原点对称点的坐标是()A. B. C. D.4.下列叙述,错误的是()A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形5.在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义:“水平底”a:任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h:任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah.例如:三点坐标分别为A(1,2),B(﹣3,1),C(2,﹣2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=1.若D(1,2)、E(﹣2,1)、F(0,t)三点的“矩面积”为18,则t的值为()A.﹣3或7B.﹣4或6C.﹣4或7D.﹣3或66.我国古代数学著作《九章算术》卷七“盈不足”中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?”意思是:几个人合伙买一件物品,每人出8元,则余3元;若每人出7元,则少4元,问几人合买?这件物品多少钱?若设有x人合买,这件物品y元,则根据题意列出的二元一次方程组为()A. B. C. D.7.如图,直线AB∥CD,∠C=44°,∠E为直角,则∠1等于()A.132° B.134° C.136° D.138°8.等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是()A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数9.下列调查中适宜采用抽样方式的是()A.了解某班每个学生家庭用电数量B.调查你所在学校数学教师的年龄状况C.调查神舟飞船各零件的质量D.调查一批显像管的使用寿命10.下列各组数中,互为相反数的是()A.﹣2与2 B.2与2 C.3与 D.3与311.“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了210本图书,如果设该组共有x名同学,那么依题意,可列出的方程是()A.x(x+1)=210 B.x(x﹣1)=210C.2x(x﹣1)=210 D.x(x﹣1)=21012.下列运算正确的是()A.6-3=3B.-32=﹣3C.a•a2=a2D.(2a二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.已知关于x的一元二次方程kx2+3x﹣4k+6=0有两个相等的实数根,则该实数根是_____.14.已知一组数据4,x,5,y,7,9的平均数为6,众数为5,则这组数据的中位数是_____.15.在△ABC中,AB=1,BC=2,以AC为边作等边三角形ACD,连接BD,则线段BD的最大值为_____.16.如图,∠1,∠2是四边形ABCD的两个外角,且∠1+∠2=210°,则∠A+∠D=____度.17.已知双曲线经过点(-1,2),那么k的值等于_______.18.如图,数轴上点A表示的数为a,化简:a_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)如图,在平面直角坐标系中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,),点M是抛物线C2:(<0)的顶点.(1)求A、B两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)当△BDM为直角三角形时,求的值.20.(6分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,AB,DC的延长线交于点E.(1)求证:AC平分∠DAB;(2)若BE=3,CE=3,求图中阴影部分的面积.21.(6分)如图,抛物线与x轴交于A,B,与y轴交于点C(0,2),直线经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P为直线AC上方抛物线上一动点;①连接PO,交AC于点E,求的最大值;②过点P作PF⊥AC,垂足为点F,连接PC,是否存在点P,使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.22.(8分)如图,在Rt△ABC中,,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.求证:CE=AD;当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明理由;若D为AB中点,则当=______时,四边形BECD是正方形.23.(8分)如图,AB是⊙O的直径,点C是弧AB的中点,点D是⊙O外一点,AD=AB,AD交⊙O于F,BD交⊙O于E,连接CE交AB于G.(1)证明:∠C=∠D;(2)若∠BEF=140°,求∠C的度数;(3)若EF=2,tanB=3,求CE•CG的值.24.(10分)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处,如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边CD的长.如图2,在(Ⅰ)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当动点M、N在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明变化规律.若不变,求出线段EF的长度.25.(10分)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是:水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1:1(即DB:EB=1:1),如图所示,已知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)26.(12分)如图,已知BD是△ABC的角平分线,点E、F分别在边AB、BC上,ED∥BC,EF∥AC.求证:BE=CF.27.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,以点为圆心,8为半径的圆与轴交于,两点,过作直线与轴负方向相交成的角,且交轴于点,以点为圆心的圆与轴相切于点.(1)求直线的解析式;(2)将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移,当第一次与外切时,求平移的时间.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、D【解析】
根据任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可【详解】在实数﹣3.5、2、0、﹣4中,最小的数是﹣4,故选D.【点睛】掌握实数比较大小的法则2、A【解析】试题分析:原方程变形为:x(x-1)=0x1=0,x1=1.故选A.考点:解一元二次方程-因式分解法.3、D【解析】
根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),即关于原点的对称点,横纵坐标都变成相反数”解答.【详解】解:根据关于原点对称的点的坐标的特点,∴点A(-2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,-3),故选D.【点睛】本题主要考查点关于原点对称的特征,解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.4、D【解析】【分析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理对选项逐一进行分析,即可判断出答案.【详解】A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,正确,不符合题意;B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形,正确,不符合题意;C.对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确,不符合题意;D.对角线相等的平行四边形是矩形,故D选项错误,符合题意,故选D.【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定等,熟练掌握相关判定定理是解答此类问题的关键.5、C【解析】
由题可知“水平底”a的长度为3,则由“矩面积”为18可知“铅垂高”h=6,再分>2或t<1两种情况进行求解即可.【详解】解:由题可知a=3,则h=18÷3=6,则可知t>2或t<1.当t>2时,t-1=6,解得t=7;当t<1时,2-t=6,解得t=-4.综上,t=-4或7.故选择C.【点睛】本题考查了平面直角坐标系的内容,理解题意是解题关键.6、D【解析】
根据题意可以找出题目中的等量关系,列出相应的方程组,从而可以解答本题.【详解】由题意可得:,故选D.【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程组.7、B【解析】过E作EF∥AB,求出AB∥CD∥EF,根据平行线的性质得出∠C=∠FEC,∠BAE=∠FEA,求出∠BAE,即可求出答案.解:过E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠C=∠FEC,∠BAE=∠FEA,∵∠C=44°,∠AEC为直角,∴∠FEC=44°,∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°,∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°,故选B.“点睛”本题考查了平行线的性质的应用,能正确作出辅助线是解此题的关键.8、B【解析】
根据一次函数的定义,可得答案.【详解】设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意,得x+2y=180,所以,y=﹣x+90°,即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系,故选B.【点睛】本题考查了实际问题与一次函数,根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.9、D【解析】
根据全面调查与抽样调查的特点对各选项进行判断.【详解】解:了解某班每个学生家庭用电数量可采用全面调查;调查你所在学校数学教师的年龄状况可采用全面调查;调查神舟飞船各零件的质量要采用全面调查;而调查一批显像管的使用寿命要采用抽样调查.故选:D.【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查:全面调查与抽样调查的优缺点:全面调查收集的到数据全面、准确,但一般花费多、耗时长,而且某些调查不宜用全面调查.抽样调查具有花费少、省时的特点,但抽取的样本是否具有代表性,直接关系到对总体估计的准确程度.10、A【解析】
根据只有符号不同的两数互为相反数,可直接判断.【详解】-2与2互为相反数,故正确;2与2相等,符号相同,故不是相反数;3与互为倒数,故不正确;3与3相同,故不是相反数.故选:A.【点睛】此题主要考查了相反数,关键是观察特点是否只有符号不同,比较简单.11、B【解析】
设全组共有x名同学,那么每名同学送出的图书是(x−1)本;则总共送出的图书为x(x−1);又知实际互赠了210本图书,则x(x−1)=210.故选:B.12、D【解析】试题解析:A.6与3不是同类二次根式,不能合并,故该选项错误;B.(-3)2C.a⋅aD.(2a故选D.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、﹣1【解析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△=0,即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程,解之即可得出k值,将其代入原方程中解之即可得出原方程的解.【详解】解:∵关于x的一元二次方程kx1+3x-4k+6=0有两个相等的实数根,∴,解得:k=,∴原方程为x1+4x+4=0,即(x+1)1=0,解得:x=-1.故答案为:-1.【点睛】本题考查根的判别式、一元二次方程的定义以及配方法解一元二次方程,牢记“当△=0时,方程有两个相等的实数根”是解题的关键.14、1.1【解析】【分析】先判断出x,y中至少有一个是1,再用平均数求出x+y=11,即可得出结论.【详解】∵一组数据4,x,1,y,7,9的众数为1,∴x,y中至少有一个是1,∵一组数据4,x,1,y,7,9的平均数为6,∴(4+x+1+y+7+9)=6,∴x+y=11,∴x,y中一个是1,另一个是6,∴这组数为4,1,1,6,7,9,∴这组数据的中位数是×(1+6)=1.1,故答案为:1.1.【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数等概念,熟练掌握众数、平均数、中位数的概念、判断出x,y中至少有一个是1是解本题的关键.15、3【解析】
以AB为边作等边△ABE,由题意可证△AEC≌△ABD,可得BD=CE,根据三角形三边关系,可求EC的最大值,即可求BD的最大值.【详解】如图:以AB为边作等边△ABE,
,
∵△ACD,△ABE是等边三角形,
∴AD=AC,AB=AE=BE=1,∠EAB=∠DAC=60o,
∴∠EAC=∠BAD,且AE=AB,AD=AC,
∴△DAB≌△CAE(SAS)
∴BD=CE,
若点E,点B,点C不共线时,EC<BC+BE;
若点E,点B,点C共线时,EC=BC+BE.
∴EC≤BC+BE=3,
∴EC的最大值为3,即BD的最大值为3.
故答案是:3【点睛】考查了旋转的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,以及三角形的三边关系,恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键.16、210.【解析】
利用邻补角的定义求出∠ABC+∠BCD,再利用四边形内角和定理求得∠A+∠D.【详解】∵∠1+∠2=210°,∴∠ABC+∠BCD=180°×2﹣210°=150°,∴∠A+∠D=360°﹣150°=210°.故答案为:210.【点睛】本题考查了四边形的内角和定理以及邻补角的定义,利用邻补角的定义求出∠ABC+∠BCD是关键.17、-1【解析】
分析:根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,将点(-1,2)代入,得:,解得:k=-1.18、1.【解析】
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可.【详解】由数轴可得:0<a<1,则a+=a+=a+(1﹣a)=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出a的取值范围是解题的关键.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)A(,0)、B(3,0).(2)存在.S△PBC最大值为(3)或时,△BDM为直角三角形.【解析】
(1)在中令y=0,即可得到A、B两点的坐标.(2)先用待定系数法得到抛物线C1的解析式,由S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式,根据二次函数最值原理求出最大值.(3)先表示出DM2,BD2,MB2,再分两种情况:①∠BMD=90°时;②∠BDM=90°时,讨论即可求得m的值.【详解】解:(1)令y=0,则,∵m<0,∴,解得:,.∴A(,0)、B(3,0).(2)存在.理由如下:∵设抛物线C1的表达式为(),把C(0,)代入可得,.∴C1的表达式为:,即.设P(p,),∴S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC=.∵<0,∴当时,S△PBC最大值为.(3)由C2可知:B(3,0),D(0,),M(1,),∴BD2=,BM2=,DM2=.∵∠MBD<90°,∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况:当∠BMD=90°时,BM2+DM2=BD2,即+=,解得:,(舍去).当∠BDM=90°时,BD2+DM2=BM2,即+=,解得:,(舍去).综上所述,或时,△BDM为直角三角形.20、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)连接OC,如图,利用切线的性质得CO⊥CD,则AD∥CO,所以∠DAC=∠ACO,加上∠ACO=∠CAO,从而得到∠DAC=∠CAO;(2)设⊙O半径为r,利用勾股定理得到r2+27=(r+3)2,解得r=3,再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°,然后根据扇形的面积公式,利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可.【详解】解:(1)连接OC,如图,∵CD与⊙O相切于点E,∴CO⊥CD,∵AD⊥CD,∴AD∥CO,∴∠DAC=∠ACO,∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO,∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB;(2)设⊙O半径为r,在Rt△OEC中,∵OE2+EC2=OC2,∴r2+27=(r+3)2,解得r=3,∴OC=3,OE=6,∴cos∠COE=,∴∠COE=60°,∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=•3•3﹣.【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.也考查了圆周角定理和扇形的面积公式.21、(1);(2)①有最大值1;②(2,3)或(,)【解析】
(1)根据自变量与函数值的对应关系,可得A,C点坐标,根据代定系数法,可得函数解析式;(2)①根据相似三角形的判定与性质,可得,根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点D,求得D(,0),得到DA=DC=DB=,过P作x轴的平行线交y轴于R,交AC于G,情况一:如图,∠PCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG,情况二,∠FPC=2∠BAC,解直角三角形即可得到结论.【详解】(1)当x=0时,y=2,即C(0,2),当y=0时,x=4,即A(4,0),将A,C点坐标代入函数解析式,得,解得,抛物线的解析是为;
(2)过点P向x轴做垂线,交直线AC于点M,交x轴于点N,∵直线PN∥y轴,∴△PEM~△OEC,∴把x=0代入y=-x+2,得y=2,即OC=2,设点P(x,-x2+x+2),则点M(x,-x+2),∴PM=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x=-(x-2)2+2,∴=,∵0<x<4,∴当x=2时,=有最大值1.②∵A(4,0),B(-1,0),C(0,2),∴AC=2,BC=,AB=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点D,∴D(,0),∴DA=DC=DB=,∴∠CDO=2∠BAC,∴tan∠CDO=tan(2∠BAC)=,过P作x轴的平行线交y轴于R,交AC的延长线于G,情况一:如图,∴∠PCF=2∠BAC=∠PGC+∠CPG,∴∠CPG=∠BAC,∴tan∠CPG=tan∠BAC=,即,令P(a,-a2+a+2),∴PR=a,RC=-a2+a,∴,∴a1=0(舍去),a2=2,∴xP=2,-a2+a+2=3,P(2,3)情况二,∴∠FPC=2∠BAC,∴tan∠FPC=,设FC=4k,∴PF=3k,PC=5k,∵tan∠PGC=,∴FG=6k,∴CG=2k,PG=3k,∴RC=k,RG=k,PR=3k-k=k,∴,∴a1=0(舍去),a2=,xP=,-a2+a+2=,即P(,),综上所述:P点坐标是(2,3)或(,).【点睛】本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是待定系数法;解(2)的关键是利用相似三角形的判定与性质得出,又利用了二次函数的性质;解(3)的关键是利用解直角三角形,要分类讨论,以防遗漏.22、(1)详见解析;(2)菱形;(3)当∠A=45°,四边形BECD是正方形.【解析】
(1)先求出四边形ADEC是平行四边形,根据平行四边形的性质推出即可;(2)求出四边形BECD是平行四边形,求出CD=BD,根据菱形的判定推出即可;(3)求出∠CDB=90°,再根据正方形的判定推出即可.【详解】(1)∵DE⊥BC,∴∠DFP=90°,∵∠ACB=90°,∴∠DFB=∠ACB,∴DE//AC,∵MN//AB,∴四边形ADEC为平行四边形,∴CE=AD;(2)菱形,理由如下:在直角三角形ABC中,∵D为AB中点,∴BD=AD,∵CE=AD,∴BD=CE,∴MN//AB,∴BECD是平行四边形,∵∠ACB=90°,D是AB中点,∴BD=CD,(斜边中线等于斜边一半)∴四边形BECD是菱形;(3)若D为AB中点,则当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由:∵∠A=45°,∠ACB=90°,∴∠ABC=45°,∵四边形BECD是菱形,∴DC=DB,∴∠DBC=∠DCB=45°,∴∠CDB=90°,∵四边形BECD是菱形,∴四边形BECD是正方形,故答案为45°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,菱形的判定、正方形的判定,直角三角形斜边中线的性质等,综合性较强,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.23、(1)见解析;(2)70°;(3)1.【解析】
(1)先根据等边对等角得出∠B=∠D,即可得出结论;(2)先判断出∠DFE=∠B,进而得出∠D=∠DFE,即可求出∠D=70°,即可得出结论;(3)先求出BE=EF=2,进而求AE=6,即可得出AB,进而求出AC,再判断出△ACG∽△ECA,即可得出结论.【详解】(1)∵AB=AD,∴∠B=∠D,∵∠B=∠C,∴∠C=∠D;(2)∵四边形ABEF是圆内接四边形,∴∠DFE=∠B,由(1)知,∠B=∠D,∴∠D=∠DFE,∵∠BEF=140°=∠D+∠DFE=2∠D,∴∠D=70°,由(1)知,∠C=∠D,∴∠C=70°;(3)如图,由(2)知,∠D=∠DFE,∴EF=DE,连接AE,OC,∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∴BE=DE,∴BE=EF=2,在Rt△ABE中,tanB==3,∴AE=3BE=6,根据勾股定理得,AB=,∴OA=OC=AB=,∵点C是的中点,∴,∴∠AOC=90°,∴AC=OA=2,∵,∴∠CAG=∠CEA,∵∠ACG=∠ECA,∴△ACG∽△ECA,∴,∴CE•CG=AC2=1.【点睛】本题是几何综合题,涉及了圆的性质,圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数,相似三角形的判定和性质,圆内接四边形的性质,等腰三角形的性质等,综合性较强,有一定的难度,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.本题中求出BE=2也是解题的关键.24、(1)10;(2).【解析】
(1)先证出∠C=∠D=90°,再根据∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可证出△OCP∽△PDA;根据△OCP与△PDA的面积比为1:4,得出CP=AD=4,设OP=x,则CO=8﹣x,由勾股定理得x2=(8﹣x)2+42,求出x,最后根据AB=2OP即可求出边AB的长;(2)作MQ∥AN,交PB于点Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根据ME⊥PQ,得出EQ=PQ,根据∠QMF=∠BNF,证出△MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,由(1)中的结论求出PB=,最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变【详解】(1)如图1,∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴∠1+∠3=90°,∵由折叠可得∠APO=∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3,又∵∠D=∠C,∴△OCP∽△PDA;∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,∴,∴CP=AD=4设OP=x,则CO=8﹣x,在Rt△PCO中,∠
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